Teil A

A 0.0

Die Anzahl der Ladestationen für Elektrofahrzeuge in Deutschland soll laut einer Prognose in den nächsten Jahren exponentiell wachsen. Diese Entwicklung kann man näherungsweise durch die Funktion $f: y=5000\cdot 1,75^x \quad$ $(\mathbb{G} = \mathbb{R}^{+}_{0} \times \mathbb{R}^{+}_{0})$ beschreiben, wobei $x$ die Anzahl der Jahre und $y$ die Anzahl der Ladestationen darstellt.

A 1.1

Ergänze die Wertetabelle auf Tausender gerundet und zeichne dann den Graphen der Funktion $f$ in das Koordinatensystem ein.

$x$	$5000 \cdot 1,75^x$
$0$
$1$
$2$
$3$
$4$

Abb. 1: Koordinatensystem

(2P)

A 1.2

Ermittle mithilfe des Graphen, nach welcher Zeit die ursprüngliche Anzahl der Ladestationen erstmals um $600\%$ zugenommen haben wird.

(2P)

A 1.3

Gebe an, welche jährliche Zunahme in Prozent in dieser Prognose angenommen wurde.

(1P)

A 2.0

Die nebenstehde Zeichnung zeigt das Viereck $ABDC$ .

Es gilt:
$\overline{AB}=7,8 ~\text{cm};\quad \overline{AD}=5,2~\text{cm}; \\ \overline{BC}=8,6~\text{cm}; \\ \sphericalangle BAD^{\circ};\quad \sphericalangle CBA=70^{\circ}$

Runde im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.

Abb. 2: Zeichnung des Vierecks $ABCD$

A 2.1

Berchne die Länge der Diagonalen $[BD]$ und den Flächeninhalt $A$ des Dreiecks $BCD$ .
[Ergebnisse: $\overline{BD}=9,4~\text{cm}$ ; $A=23,9 ~\text{cm}^2$ ]

(4P)

A 2.2

Der Punkt $E$ liegt auf der Strecke $[BC]$ . Die Dreiecke $ABE$ und $BCD$ besitzen den gleichen Flächeninhalt.
Berechne die Länge der Strecke $[AE]$ .
[Teilergebnis: $\overline{BE}=6,5~\text{cm}$ ; Ergebnis: $\overline{AE}=8,3~\text{cm}$ ]

(2P)

A2.3

Der Kreis um $E$ mit dem Radius $3~\text{cm}$ schneidet die Strecke $[AE]$ im Punkt $P$ und die Strecke $[BE]$ im Punkt $Q$ .

Zeichne den Kreisbogen $\widetilde{PQ}$ in die Zeichnung zu $A~2.0$ ein.

Berechne dann den Flächeninhalt des Kreissektors, der durch die Strecken $[QE],~[EP]$ und den Kreisbogen $\widetilde{PQ}$ begrenzt wird.

(2P)

A 3.0

Die nebenstehende Skizze zeigt den Axialschnitt $ABCD$ eines Rotationskörpers mit Rotationsachse $MS$ .
Dieser Körper dient als Muster zur Herstellung einer Praline.

Die Praline besteht aus Schokolade und einer kugelförmigen Cremefüllung. Der Anteil der Schokolade am Volumen der Praline beträgt $89\%$ .

Es gilt:
$\overline{MS}=5~\text{cm};\quad \overline{MN}=2~\text{cm}; \\ \sphericalangle ADM = 71,6^{\circ}$

Runde im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.

Abb.3: Skizze Axialschnitt $ABCD$

(2P)

A 3.1

Zeige rechnerisch, dass für die Strecke $[MD]$ und $[AN]$ gilt:
$\overline{MD}=1,7~\text{cm}$ und $\overline{AN}=1,0 ~\text{cm}$ .

(2P)

A 3.2

Berechne das Volumen $V$ der Cremefüllung.

(3P)

Bildnachweise [nach oben]

[1]-[3]

A 1.1

$\blacktriangleright$ Wertetabelle ausfüllen

Für die vollständige Wertetabelle folgt durch Einsetzen der $x$ -Werte in die gegebene Funktionsgleichung und anschließendem Runden auf Tausender:

$x$	$5000 \cdot 1,75^x$
$0$	$5000$
$1$	$9000$
$2$	$15000$
$3$	$27000$
$4$	$47000$

$\blacktriangleright$ Graph zeichnen

Für den Graphen folgt damit:

Abb. 1: Graph von $f$

A 1.2

$\blacktriangleright$ Anzahl der Jahre ermitteln

Eine Zunahme um $600\%$ der anfänglichen $5000$ Ladestationen führt zu einem Bestand von $5000+5000 \cdot 6 = 35000$ Ladestationen.
Anhand des Graphen folgt also, dass nach etwa $3,5$ Jahren die Anzahl der Ladestationen erstmals um $600\%$ zugenommen haben.

Abb. 2: Wert am Graph von $f$ ablesen

A 1.3

$\blacktriangleright$ Zunahme angeben

Anhand der Funktionsgleichung $y=5000 \cdot 1,75^x$ lässt sich erkennen, dass es nach einem Jahr $175\%$ der Ladestationen aus dem Vorjahr gibt. Dies enstpricht also einer jährlichen Zunahme von $75\%$ .

A 2.1

$\blacktriangleright$ Länge der Diagonalen berechnen

Im rechtwinkligen Dreieck $ABD$ gilt $\overline{AB}=7,8 ~\text{cm}$ und $\overline{AD}=5,2 ~\text{cm}$ . Mit dem Satz des Pythagoras gilt:

$\overline{BD}\approx 9,4 ~\text{cm}$

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Somit beträgt die Länge der Diagonalen $\overline{BD}$ etwa $9,4 ~\text{cm}$ .

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks lautet

$A=\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$ , also

$A_{BCD}=\dfrac{1}{2} \cdot \overline{BD}\cdot \overline{BC} \cdot \sin(\beta_2)$ .

Den Winkel $\beta_2=\sphericalangle CBD$ erhälst du durch $\beta_2=70^{\circ}-\beta_1$ .
$\beta_1=\sphericalangle ABD$ lässt sich mit Hilfe des Sinus bestimmen lässt:

$\beta_1 \approx 33,7^{\circ}$

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Damit folgt für $\beta_2= 70^{\circ}-33,7^{\circ}=36,3^{\circ}$

Abb. 3: Skizze mit Winkel $\beta_1$ und $\beta_2$

und für den Flächeninhalt $A_{BCD}$ :

$A_{BCD}\approx 23,9 ~\text{cm}^3$

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A 2.2

$\blacktriangleright$ Strecke $\overline{BE}$ bestimmen

Mit dem gegebenen Flächeninhalt des Dreiecks $ABE$ gilt:

$\overline{BE} \approx 6,5 ~\text{cm}$

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$\blacktriangleright$ Strecke $\overline{AE}$ bestimmen

Mit Hilfe des Kosinussatzes folgt für die Strecke $\overline{AE}$ :

$\overline{AE} \approx 8,3 ~\text{cm}$

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A 2.3

$\blacktriangleright$ Kreissektor einzeichnen

Für den Kreisbogen zwischen $P$ und $Q$ mit Radius $\overline{EP}=\overline{EQ}=3~\text{cm}$ um $E$ erhält man:

Abb. 4: Kreisbogen einzeichnen

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Kreissektors berechnen

Für den Flächeninhalt eines Kreissektors mit dem Winkels $\alpha$ und dem Radius $r$ gilt:

$A=\dfrac{\alpha}{360} \cdot \pi \cdot r^2$

Der Radius ist hier mit $r=3~\text{cm}$ gegeben. Um den Winkel $\epsilon=\sphericalangle BEA$ zu bestimmen, wird der Sinussatz angewendet:

$\epsilon \approx 62,0^{\circ}$

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Abb. 5: Skizze zum Flächeninhalt

Damit lässt sich der Flächeninhalt des Kreissektors betsimmen:

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{\epsilon}{360}\cdot \pi \cdot r^2 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& \dfrac{62^{\circ}}{360} \cdot \pi \cdot (3~\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &\approx& 4,9 ~\text{cm}^2 \end{array}$

A 3.1