Aufgabe B3

B 3.0

Die Parabel Formula: p mit dem Scheitelpunkt $Formula: S(2 \mid −7)$ $Formula: S(2 \mid −7)$ verläuft durch den Punkt $Formula: P(4\mid −5).$ $Formula: P(4\mid −5).$ Sie hat eine Gleichung der Form Formula: y = ax^2 + bx + c mit $Formula: a \in \mathbb{R} \ {0}$ $Formula: a \in \mathbb{R} \ {0}$ und $Formula: b, c, x, y \in \mathbb{R}.$ $Formula: b, c, x, y \in \mathbb{R}.$

Die Gerade Formula: g hat die Gleichung Formula: y = 0{,}5x mit $Formula: x, y \in \mathbb{R}.$ $Formula: x, y \in \mathbb{R}.$

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B 3.1

Zeige durch Rechnung, dass für die Gleichung der Parabel Formula: p gilt:

$Formula: y = 0{,}5x^2 − 2x − 5.$ $Formula: y = 0{,}5x^2 − 2x − 5.$

Zeichne sodann die Parabel Formula: p sowie die Gerade Formula: g für $Formula: x \in [−3; 7]$ $Formula: x \in [−3; 7]$ in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit $Formula: 1\;\text{cm}; −3 \leq x \leq 7; −7 \leq y \leq 6$ $Formula: 1\;\text{cm}; −3 \leq x \leq 7; −7 \leq y \leq 6$

5 P

B 3.2

Punkte $Formula: A_n(x \mid 0,5x^2 − 2x − 5)$ $Formula: A_n(x \mid 0,5x^2 − 2x − 5)$ auf der Parabel Formula: p und Punkte $Formula: B_n(x \mid0,5x)$ $Formula: B_n(x \mid0,5x)$ auf der Geraden Formula: g haben dieselbe Abszisse Formula: x. Sie sind für $Formula: x \in ]−1{,}53; 6{,}53[$ $Formula: x \in ]−1{,}53; 6{,}53[$ zusammen mit Punkten Formula: C_n die Eckpunkte von Dreiecken Formula: A_nB_nC_n. Die Punkte liegen ebenfalls auf der Geraden und ihre Abszisse ist stets um Formula: 3 kleiner als die Abszisse der Punkte Formula: B_n.

Zeichne die Dreiecke Formula: A_1B_1C_1 für Formula: x = 2 und Formula: A_2B_2C_2 für Formula: x = 5{,}5 in das Koordinatensystem zu B 3.1 ein.

2 P

B 3.3

Zeige rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $Formula: \overline{A_nB_n}$ $Formula: \overline{A_nB_n}$ in Abhängigkeit von Formula: x gilt:

$Formula: \left|\overline{A_nB_n}\right|(x) = (−0,5x^2 + 2,5x + 5)\;\text{LE}.$ $Formula: \left|\overline{A_nB_n}\right|(x) = (−0,5x^2 + 2,5x + 5)\;\text{LE}.$

1 P

B 3.4

Unter den Strecken $Formula: \overline{A_nB_n}$ $Formula: \overline{A_nB_n}$ hat die Strecke $Formula: \overline{A_0B_0}$ $Formula: \overline{A_0B_0}$ die maximale Länge.

Berechne die Länge der Strecke $Formula: \overline{A_0B_0}$ $Formula: \overline{A_0B_0}$ sowie den zugehörigen Flächeninhalt des Dreiecks Formula: A_0B_0C_0.

2,5 P

B 3.5

In allen Dreiecken Formula: A_nB_nC_n haben die Winkel Formula: C_nB_nA_n das gleiche Maß.

Berechne das zugehörige Maß $Formula: \beta.$ $Formula: \beta.$

[Ergebnis: $Formula: \beta = 63,43^\circ$ $Formula: \beta = 63,43^\circ$ ]

1,5 P

B 3.6

Unter den Dreiecken Formula: A_nB_nC_n gibt es die gleichschenkligen Dreiecke Formula: A_3B_3C_3 mit der Basis $Formula: \overline{A_3C_3}$ $Formula: \overline{A_3C_3}$ sowie Formula: A_4B_4C_4 mit der Basis $Formula: \overline{A_4C_4}.$ $Formula: \overline{A_4C_4}.$

Begründe rechnerisch, dass die Länge der Schenkel bei diesen gleichschenkligen Dreiecken stets $Formula: 3{,}35\;\text{LE}$ $Formula: 3{,}35\;\text{LE}$ beträgt.

Berechne anschließend die zugehörigen Werte für Formula: x.

3 P

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?