Aufgabe B3

B 3.0

Die Parabel Formula: p mit dem Scheitelpunkt $Formula: S(2 \mid −7)$ $Formula: S(2 \mid −7)$ verläuft durch den Punkt $Formula: P(4\mid −5).$ $Formula: P(4\mid −5).$ Sie hat eine Gleichung der Form Formula: y = ax^2 + bx + c mit $Formula: a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ $Formula: a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ und $Formula: b, c, x, y \in \mathbb{R}.$ $Formula: b, c, x, y \in \mathbb{R}.$

Die Gerade Formula: g hat die Gleichung Formula: y = 0{,}5x mit $Formula: x, y \in \mathbb{R}.$ $Formula: x, y \in \mathbb{R}.$

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B 3.1

Zeige durch Rechnung, dass für die Gleichung der Parabel Formula: p gilt:

$Formula: y = 0{,}5x^2 − 2x − 5.$ $Formula: y = 0{,}5x^2 − 2x − 5.$

Zeichne sodann die Parabel Formula: p sowie die Gerade Formula: g für $Formula: x \in [−3; 7]$ $Formula: x \in [−3; 7]$ in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit $Formula: 1\;\text{cm}; −3 \leq x \leq 7; −7 \leq y \leq 6$ $Formula: 1\;\text{cm}; −3 \leq x \leq 7; −7 \leq y \leq 6$

5 P

B 3.2

Punkte $Formula: A_n(x \mid 0{,}5x^2 − 2x − 5)$ $Formula: A_n(x \mid 0{,}5x^2 − 2x − 5)$ auf der Parabel Formula: p und Punkte $Formula: B_n(x \mid0{,}5x)$ $Formula: B_n(x \mid0{,}5x)$ auf der Geraden Formula: g haben dieselbe Abszisse Formula: x. Sie sind für $Formula: x \in ]−1{,}53; 6{,}53[$ $Formula: x \in ]−1{,}53; 6{,}53[$ zusammen mit Punkten Formula: C_n die Eckpunkte von Dreiecken Formula: A_nB_nC_n. Die Punkte liegen ebenfalls auf der Geraden und ihre Abszisse ist stets um Formula: 3 kleiner als die Abszisse der Punkte Formula: B_n.

Zeichne die Dreiecke Formula: A_1B_1C_1 für Formula: x = 2 und Formula: A_2B_2C_2 für Formula: x = 5{,}5 in das Koordinatensystem zu B 3.1 ein.

2 P

B 3.3

Zeige rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $Formula: \overline{A_nB_n}$ $Formula: \overline{A_nB_n}$ in Abhängigkeit von Formula: x gilt:

$Formula: \left|\overline{A_nB_n}\right|(x) = (−0{,}5x^2 + 2{,}5x + 5)\;\text{LE}.$ $Formula: \left|\overline{A_nB_n}\right|(x) = (−0{,}5x^2 + 2{,}5x + 5)\;\text{LE}.$

1 P

B 3.4

Unter den Strecken $Formula: \overline{A_nB_n}$ $Formula: \overline{A_nB_n}$ hat die Strecke $Formula: \overline{A_0B_0}$ $Formula: \overline{A_0B_0}$ die maximale Länge.

Berechne die Länge der Strecke $Formula: \overline{A_0B_0}$ $Formula: \overline{A_0B_0}$ sowie den zugehörigen Flächeninhalt des Dreiecks Formula: A_0B_0C_0.

2,5 P

B 3.5

In allen Dreiecken Formula: A_nB_nC_n haben die Winkel Formula: C_nB_nA_n das gleiche Maß.

Berechne das zugehörige Maß $Formula: \beta.$ $Formula: \beta.$

$Formula: \bigl[$ $Formula: \bigl[$ Ergebnis: $Formula: \beta = 63{,}43^\circ \bigr]$ $Formula: \beta = 63{,}43^\circ \bigr]$

1,5 P

B 3.6

Unter den Dreiecken Formula: A_nB_nC_n gibt es die gleichschenkligen Dreiecke Formula: A_3B_3C_3 mit der Basis $Formula: \overline{A_3C_3}$ $Formula: \overline{A_3C_3}$ sowie Formula: A_4B_4C_4 mit der Basis $Formula: \overline{A_4C_4}.$ $Formula: \overline{A_4C_4}.$

Begründe rechnerisch, dass die Länge der Schenkel bei diesen gleichschenkligen Dreiecken stets $Formula: 3{,}35\;\text{LE}$ $Formula: 3{,}35\;\text{LE}$ beträgt.

Berechne anschließend die zugehörigen Werte für Formula: x.

3 P

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B 3.1

Scheitelpunkt $Formula: S(2\mid-7)$ $Formula: S(2\mid-7)$ und Punkt $Formula: P(4\mid-5)$ in die allgemeine Scheitelpunktsform und nach Formula: a auflösen:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll}-5&=&a\cdot(4-2)^2-7 & \\[5pt]-5&=&4a -7&\mid\; +7\\[5pt]2&=&4a &\mid\; :4\\[5pt]a&=&0{,}5\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll}-5&=&a\cdot(4-2)^2-7 & \\[5pt]-5&=&4a -7&\mid\; +7\\[5pt]2&=&4a &\mid\; :4\\[5pt]a&=&0{,}5\end{array}$

Scheitelpunktsform in Normalform umformen:

$Formula: \begin{array}{rcll} y &=& 0{,}5 \cdot \left( x - 2 \right)^2 -7 \\[5pt] &=& 0{,}5 \cdot \left( x^2 - 4x + 4 \right) - 7 \\[5pt] &=& 0{,}5x^2 - 2x + 2 - 7 \\[5pt] &=& 0{,}5x^2 - 2x -5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} y &=& 0{,}5 \cdot \left( x - 2 \right)^2 -7 \\[5pt] &=& 0{,}5 \cdot \left( x^2 - 4x + 4 \right) - 7 \\[5pt] &=& 0{,}5x^2 - 2x + 2 - 7 \\[5pt] &=& 0{,}5x^2 - 2x -5 \end{array}$

Koordinatensystem mit Parabel, zwei Geraden, Gitter und Achsen

B 3.2

Einzeichnen der Dreiecke Formula: A_1B_1C_1 und Formula: A_2B_2C_2:

Gitter-Koordinatensystem mit Parabel, zwei Geraden und markierten Punkten A1, A2, B1, B2, C1, C2

B 3.3

$Formula: \begin{array}{ll} \left|\overline{A_n B_n}\right|(x) &=& \left[ g(x) - p(x) \right] \; \text{LE} &\quad x \in \mathbb{R} ; x \in]-1{,}53 ; 6{,}53[ \\ &=& \left[0{,}5 x-\left(0{,}5 x^2-2 x-5\right)\right]\;\text{LE} \\ &=& \left(-0{,}5 x^2+2{,}5 x+5\right)\;\text{LE} & \end{array}$ $Formula: \begin{array}{ll} \left|\overline{A_n B_n}\right|(x) &=& \left[ g(x) - p(x) \right] \; \text{LE} &\quad x \in \mathbb{R} ; x \in]-1{,}53 ; 6{,}53[ \\ &=& \left[0{,}5 x-\left(0{,}5 x^2-2 x-5\right)\right]\;\text{LE} \\ &=& \left(-0{,}5 x^2+2{,}5 x+5\right)\;\text{LE} & \end{array}$

B 3.4

Aus B3.3 gilt für die Länge der Strecke $Formula: \left| \overline{A_nB_n} \right| :$ $Formula: \left| \overline{A_nB_n} \right| :$

$Formula: \begin{array}{ll}\left|\overline{A_n B_n}\right|(x)=\left(-0{,}5 x^2+2{,}5 x+5\right)\;\text{LE} & x \in \mathbb{R} ; x \in]-1,53 ; 6,53[ \\ & \end{array}$ $Formula: \begin{array}{ll}\left|\overline{A_n B_n}\right|(x)=\left(-0{,}5 x^2+2{,}5 x+5\right)\;\text{LE} & x \in \mathbb{R} ; x \in]-1,53 ; 6,53[ \\ & \end{array}$

Das ist eine nach unten geöffnete Parabel, also liegt das Maximum im Scheitelpunkt $Formula: S(x_S \mid y_S).$ $Formula: S(x_S \mid y_S).$

$Formula: x_S = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-2{,}5}{2 \cdot (-0{,}5 )} = 2{,}5$ $Formula: x_S = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-2{,}5}{2 \cdot (-0{,}5 )} = 2{,}5$

Berechnung der maximalen Streckenlänge:

$Formula: \begin{array}{ll}\\ \left|\overline{A_0 B_0}\right| = 0{,}5 \cdot (2{,}5^2 + 2{,}5 \cdot 2{,}5 + 5 \; \text{LE} \approx 8{,}13\;\text{LE}& \end{array}$ $Formula: \begin{array}{ll}\\ \left|\overline{A_0 B_0}\right| = 0{,}5 \cdot (2{,}5^2 + 2{,}5 \cdot 2{,}5 + 5 \; \text{LE} \approx 8{,}13\;\text{LE}& \end{array}$

Damit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks Formula: A_0B_0C_0 :

$Formula: \begin{array}{ll}\\A_{\max }=0{,}5 \cdot 8{,}13 \; \text{LE} \cdot 3\;\text{LE} \approx 12{,}20\;\text{FE} & \end{array}$ $Formula: \begin{array}{ll}\\A_{\max }=0{,}5 \cdot 8{,}13 \; \text{LE} \cdot 3\;\text{LE} \approx 12{,}20\;\text{FE} & \end{array}$

B 3.5

Da Formula: B_n und Formula: C_n beide auf der Geraden Formula: g mit Formula: y = 0{,}5 x liegen, hat die Strecke Formula: B_nC_n immer dieselbe Steigung Formula: 0{,}5 .

Außerdem ist Formula: A_nB_n senkrecht, weil dieselbe Abszisse haben.

Damit gilt für den Winkel zwischen der Geraden Formula: g und der Waagerechten:

$Formula: \begin{array}{rcll} \tan(\alpha) &=& 0{,}5 &\quad \mid \tan^{-1} \\ \alpha &=& \tan^{-1} (0{,}5) \approx 26{,}57^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \tan(\alpha) &=& 0{,}5 &\quad \mid \tan^{-1} \\ \alpha &=& \tan^{-1} (0{,}5) \approx 26{,}57^{\circ} \end{array}$

Gesucht ist aber der Winkel zur Senkrechten:

$Formula: \beta = 90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - 26{,}57^{\circ} = 63{,}43^{\circ}$ $Formula: \beta = 90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - 26{,}57^{\circ} = 63{,}43^{\circ}$

B 3.6

Für die gleichschenkligen Dreiecke Formula: A_3 B_3 C_3 und Formula: A_4 B_4 C_4 gilt:

$Formula: \left|\overline{A_3 B_3}\right|=\left|\overline{B_3 C_3}\right|$ $Formula: \left|\overline{A_3 B_3}\right|=\left|\overline{B_3 C_3}\right|$ und $Formula: \left|\overline{A_4 B_4}\right|=\left|\overline{B_4 C_4}\right|.$ $Formula: \left|\overline{A_4 B_4}\right|=\left|\overline{B_4 C_4}\right|.$

Außerdem ist aus B 3.5 bekannt: $Formula: \beta = 63{,43}^{\circ}.$ $Formula: \beta = 63{,43}^{\circ}.$

Die Abszisse von Formula: C_n ist immer um Formula: 3 kleiner als die von Formula: B_n, daher beträgt der waagerechte Abstand immer $Formula: 3 \; \text{LE}.$ $Formula: 3 \; \text{LE}.$

Im entstehenden rechtwinkligen Hilfsdreieck ist Formula: B_nC_n die Hypotenuse und die dem Winkel gegenüberliegende Seite ist $Formula: 3 \; \text{LE}$ $Formula: 3 \; \text{LE}$ lang. Also gilt:

$Formula: \begin{array}{rcll} \sin(\beta ) &=& \dfrac{3 \; \text{LE}}{ \left| \overline{B_nC_n} \right|} \\[5pt] \sin(63{,}43^{\circ}) &=& \dfrac{3 \; \text{LE}}{ \left| \overline{B_nC_n} \right|} &\quad \mid \, \cdot \left| \overline{B_nC_n} \right| {,} \div \sin(63{,}43^{\circ}) \\[5pt] \left| \overline{B_nC_n} \right| &=& \dfrac{3 \; \text{LE}}{\sin(63{,}43)^{\circ}} \approx 3{,}35 \; \text{LE} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \sin(\beta ) &=& \dfrac{3 \; \text{LE}}{ \left| \overline{B_nC_n} \right|} \\[5pt] \sin(63{,}43^{\circ}) &=& \dfrac{3 \; \text{LE}}{ \left| \overline{B_nC_n} \right|} &\quad \mid \, \cdot \left| \overline{B_nC_n} \right| {,} \div \sin(63{,}43^{\circ}) \\[5pt] \left| \overline{B_nC_n} \right| &=& \dfrac{3 \; \text{LE}}{\sin(63{,}43)^{\circ}} \approx 3{,}35 \; \text{LE} \end{array}$

Damit haben die Schenkel der gleichschenkligen Dreiecke stets die Länge $Formula: 3{,}35 \; \text{LE}.$ $Formula: 3{,}35 \; \text{LE}.$

Für die gleichschenkligen Dreiecke muss also gelten:

$Formula: \begin{array}{rcll} \left|\overline{A_n B_n}\right| (x) &=& 3{,}35 \\[5pt] -0{,}5 x^2+2{,}5 x+5 &=& 3{,}35 &\quad \mid - 3,36 \\[5pt] -0{,}5 x^2+2{,}5 x+1{,}65 &=& 0 &\quad \mid \div \left(- 0{,}5 \right) \\[5pt] x^2-5x-3{,}3 &=& 0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \left|\overline{A_n B_n}\right| (x) &=& 3{,}35 \\[5pt] -0{,}5 x^2+2{,}5 x+5 &=& 3{,}35 &\quad \mid - 3,36 \\[5pt] -0{,}5 x^2+2{,}5 x+1{,}65 &=& 0 &\quad \mid \div \left(- 0{,}5 \right) \\[5pt] x^2-5x-3{,}3 &=& 0 \end{array}$

Mit der $Formula: pq\text{-}$ $Formula: pq\text{-}$ Formel folgt:

$Formula: \begin{array}{rcll} x_{1,2} &=& - \dfrac{-5}{2} \pm \sqrt{ \left( \dfrac{-5}{2} \right)^2 - ( -3{,}3 ) } \\[5pt] &=& 2{,}5 \pm \sqrt{6{,}25 + 3{,}3 } \\[5pt] &=& 2{,}5 \pm \sqrt{9{,}55} \\ x_{1} &=& 2{,}5 + \sqrt{9{,}55} \approx 5{,}59 \\[5pt] x_2 &=& 2{,}5 - \sqrt{9{,}55} \approx -0{,}59 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} x_{1,2} &=& - \dfrac{-5}{2} \pm \sqrt{ \left( \dfrac{-5}{2} \right)^2 - ( -3{,}3 ) } \\[5pt] &=& 2{,}5 \pm \sqrt{6{,}25 + 3{,}3 } \\[5pt] &=& 2{,}5 \pm \sqrt{9{,}55} \\ x_{1} &=& 2{,}5 + \sqrt{9{,}55} \approx 5{,}59 \\[5pt] x_2 &=& 2{,}5 - \sqrt{9{,}55} \approx -0{,}59 \end{array}$

Damit sind die zugehörigen $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Werte der gleichschenkligen Dreiecke Formula: x = 5{,}59 und Formula: x = -0{,}59.

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