Aufgabe B4
Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide 
mit der Höhe 
deren Grundfläche das Quadrat 
mit dem Diagonalenschnittpunkt 
ist.
Es gilt: 
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichne das Schrägbild der Pyramide 
wobei die Strecke 
auf der Schrägbildachse und der Punkt 
links vom Punkt 
liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: 
Berechne sodann die Länge der Strecke 
sowie das Maß des Winkels 
.
[Teilergebnisse: 
]
Für Punkte 
gilt: 
Sie sind die Spitzen von Pyramiden 
mit den Höhen 
Zeichne für 
die Pyramide 
und die Höhe 
in das Schrägbild zu B 4.1 ein.
Berechne sodann die Länge der Strecke 
sowie den Flächeninhalt des Dreiecks 
Zeige, dass für das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von 
gilt:
Unter den Pyramiden hat die Pyramide 
das maximale Volumen.
Gib den zugehörigen Wert von sowie das maximale Volumen an.
Die Pyramide 
hat ein Volumen von 
Berechne den zugehörigen Wert von 
Gib sodann das Intervall für an, so dass gilt: 
Die Höhe der Pyramide 
ist halb so lang wie die Höhe der Pyramide 
Begründe, weshalb das Volumen der Pyramide achtmal so groß wie das Volumen der Pyramide ist.
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Es gilt 
Nach dem Satz des Pythagoras folgt für das rechtwinklige Dreieck 
:
![Formula: \begin{array}{rcll} \lvert \overline{AS} \rvert^2 &=& \lvert \overline{AM} \rvert^2 + \lvert \overline{MS} \rvert^2 \\[1ex] \lvert \overline{AS} \rvert^2 &=& \left( 6 \,\text{cm} \right)^2 + \left( 8{,}5 \,\text{cm} \right)^2 &\quad& \mid \sqrt{\ } \\[1ex] \lvert \overline{AS} \rvert &=& \sqrt{\left( 6 \,\text{cm} \right)^2 + \left( 8{,}5 \,\text{cm} \right)^2} \\[1ex] \lvert \overline{AS} \rvert &\approx& 10{,}4 \,\text{cm} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/eaf45e85b56039128ed0ee1fd76d0764ffcef0ced3dc1bcf62ba74e82c7f66ca_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rcll} \lvert \overline{AS} \rvert^2 &=& \lvert \overline{AM} \rvert^2 + \lvert \overline{MS} \rvert^2 \\[1ex] \lvert \overline{AS} \rvert^2 &=& \left( 6 \,\text{cm} \right)^2 + \left( 8{,}5 \,\text{cm} \right)^2 &\quad& \mid \sqrt{\ } \\[1ex] \lvert \overline{AS} \rvert &=& \sqrt{\left( 6 \,\text{cm} \right)^2 + \left( 8{,}5 \,\text{cm} \right)^2} \\[1ex] \lvert \overline{AS} \rvert &\approx& 10{,}4 \,\text{cm} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/eaf45e85b56039128ed0ee1fd76d0764ffcef0ced3dc1bcf62ba74e82c7f66ca_dark.svg)
Für den Winkel gilt:
![Formula: \begin{array}{rcll} \tan \left( \measuredangle MAS \right) &=& \dfrac{ \left| \overline{MS} \right| }{ \left| \overline{AM} \right|} \\[1ex] &=& \dfrac{8{,}5 \, \text{cm}}{6 \, \text{cm}} &\quad& \mid \tan^{-1} \\[1ex] \measuredangle MAS &=& \tan^{-1} \left( \dfrac{8{,}5 \, \text{cm}}{6 \, \text{cm}} \right) \\[1ex] &\approx& 54{,}78^{\circ} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/081cf1a6340a76b57140ee7322d43c9fe18a3ddf5514b345cfbda6583ce9e372_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rcll} \tan \left( \measuredangle MAS \right) &=& \dfrac{ \left| \overline{MS} \right| }{ \left| \overline{AM} \right|} \\[1ex] &=& \dfrac{8{,}5 \, \text{cm}}{6 \, \text{cm}} &\quad& \mid \tan^{-1} \\[1ex] \measuredangle MAS &=& \tan^{-1} \left( \dfrac{8{,}5 \, \text{cm}}{6 \, \text{cm}} \right) \\[1ex] &\approx& 54{,}78^{\circ} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/081cf1a6340a76b57140ee7322d43c9fe18a3ddf5514b345cfbda6583ce9e372_dark.svg)
Es gilt 
Nach dem Kosinussatz folgt für das Dreieck 
:
In dem rechtwinkligen Dreieck 
gilt:
![Formula: \begin{array}{rcll} \sin \left( \measuredangle H_1AP_1 \right) &=& \dfrac{\left| \overline{H_1P_1} \right|}{\left| \overline{AP_1} \right|} \\[1ex] \sin \left( 54{,}78^{\circ} \right) &=& \dfrac{\left| \overline{H_1P_1} \right|}{10{,}40 \; \text{cm} - 5\,\text{cm}} &\quad& \mid \cdot \left( 10{,}40\,\text{cm} - 5\,\text{cm} \right) \\[1ex] \left| \overline{H_1P_1} \right| &=& \sin \left( 54{,}78^{\circ} \right) \cdot \left( 10{,}40\,\text{cm} - 5\,\text{cm} \right) \\[1ex] &\approx& 4{,}41\,\text{cm} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/928fabd588356cce322381e02f5c9fcb60cc9fcacce4fbd2d596ee2df487e4a1_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rcll} \sin \left( \measuredangle H_1AP_1 \right) &=& \dfrac{\left| \overline{H_1P_1} \right|}{\left| \overline{AP_1} \right|} \\[1ex] \sin \left( 54{,}78^{\circ} \right) &=& \dfrac{\left| \overline{H_1P_1} \right|}{10{,}40 \; \text{cm} - 5\,\text{cm}} &\quad& \mid \cdot \left( 10{,}40\,\text{cm} - 5\,\text{cm} \right) \\[1ex] \left| \overline{H_1P_1} \right| &=& \sin \left( 54{,}78^{\circ} \right) \cdot \left( 10{,}40\,\text{cm} - 5\,\text{cm} \right) \\[1ex] &\approx& 4{,}41\,\text{cm} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/928fabd588356cce322381e02f5c9fcb60cc9fcacce4fbd2d596ee2df487e4a1_dark.svg)
Damit folgt für den Flächeninhalt des Dreiecks :
Für die rechtwinkligen Dreiecke 
gilt:
![Formula: \begin{array}{rcll} \sin \left( \measuredangle H_nAP_n \right) &=& \dfrac{\left| \overline{H_nP_n} \right|}{\left| \overline{AP_n} \right|} \\[1ex] \sin \left( 54{,}78^{\circ} \right) &=& \dfrac{\left| \overline{H_nP_n} \right|}{\left( 10{,}40- x \right) \,\text{cm}} &\quad& \mid \cdot \left( 10{,}40- x \right) \,\text{cm} \\[1ex] \left| \overline{H_nP_n} \right| &=& \sin \left( 54{,}78^{\circ} \right) \cdot \left( 10{,}40- x \right) \,\text{cm} \\[1ex] &\approx& \left( 8{,}50 - 0{,}82x \right) \,\text{cm} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/17df0d2396f2c62d21b537ae246ed2bb4c518169cfedeccce9c2fe9bfe947c48_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rcll} \sin \left( \measuredangle H_nAP_n \right) &=& \dfrac{\left| \overline{H_nP_n} \right|}{\left| \overline{AP_n} \right|} \\[1ex] \sin \left( 54{,}78^{\circ} \right) &=& \dfrac{\left| \overline{H_nP_n} \right|}{\left( 10{,}40- x \right) \,\text{cm}} &\quad& \mid \cdot \left( 10{,}40- x \right) \,\text{cm} \\[1ex] \left| \overline{H_nP_n} \right| &=& \sin \left( 54{,}78^{\circ} \right) \cdot \left( 10{,}40- x \right) \,\text{cm} \\[1ex] &\approx& \left( 8{,}50 - 0{,}82x \right) \,\text{cm} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/17df0d2396f2c62d21b537ae246ed2bb4c518169cfedeccce9c2fe9bfe947c48_dark.svg)
Damit folgt für das Volumen der Pyramiden :
Für 
erhält man 
Für ![Formula: x \in [0; 3{,}25]](https://www.schullv.de/resources/formulas/5342331165f46434d511a1861139eaedae8d9eebec357d54f7b247c130b7c6f5_light.svg)
![Formula: x \in [0; 3{,}25]](https://www.schullv.de/resources/formulas/5342331165f46434d511a1861139eaedae8d9eebec357d54f7b247c130b7c6f5_dark.svg)
gilt:
Für das Volumen der Pyramide gilt:
