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Inhaltsverzeichnis

Teil A

A 1.0
Die nebenstehende Skizze zeigt die Figur, die durch die Strecken \([AB]\) und \([AC]\) sowie den Kreisbogen \(\widetilde{BC}\) mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r = \(\overline{MB}\) begrenzt wird.
Es gilt:
\(\overline{AD}=2\,\text{cm};\) \(\overline{MA}=\overline{MB}=\overline{MC}=5\,\text{cm};\) \(\sphericalangle MDC=90^{\circ}.\)
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
A 1.1
Berechne das Maß des Winkels \(CMD\) und die Länge b des Kreisbogens \(\widetilde{BC}.\)
\([\)Teilergebnis: \(\sphericalangle CMD=53,13^{\circ}]\)
(3 P)
A 1.2
Ermittle rechnerisch den Flächeninhalt der Figur aus A 1.0.
(2 P)
A 2.0
Gegeben sind die Parabel p mit der Gleichung \(y=0,25x^2- 3x+8\) und die Gerade g mit der Gleichung \(y=-0,25x+6,5.\) Es gilt: \(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}.\)
Die Punkte A und B sind die Schnittpunkte der Parabel p und der Gerade g.
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
A 2.1
Berechne die Koordinaten der Punkte A und B.
(3 P)
A 2.2
Punkte \(P_n(x\mid0,25x^2-3x+8)\) auf p und Punkte \(Q_n(x\mid-0,25x+6,5)\) auf g haben dieselbe Abszisse \(x.\) Für die Strecken \([P_nQ_n]\) gilt: \(y_Q{_n} \gt y_P{_n}.\) Die Mittelpunkte \(M_n\) der Strecken \([P_nQ_n]\) sind zugleich Mittelpunkte von Kreisen \(k_n\) mit den Durchmessern \(\overline{P_nQ_n}.\)
Zeichne die Strecke \([P_1Q_1]\) sowie den Mittelpunkt \(M_1\) und den Kreis \(k_1\) mit dem Durchmesser \(\overline {P_1Q_1}\) für \(x=7\) in das Koordinatensystem zu A 2.0 ein.
(2 P)
A 2.3
Zeige rechnerisch, dass für die Länge der Strecken \([P_nQ_n]\) in Abhängigkeit von der Abszisse \(x\) der Punkte \(P_n\) gilt: \(\overline{P_nQ_n}(x)=(-0,25x^2+2,75x-1,5)\,\text{LE}.\)
(1 P)
A 2.4
Unter den Kreisen \(k_n\) gibt es einen Kreis \(k_0\) mit maximalen Umfang \(u_{max}.\)
Berechne \(u_{max}.\)
(2 P)
A 2.5
Ein Kreis \(k_3\) hat den 4-fachen Durchmesser eines Kreises \(k_2.\)
Hat \(k_3\) dann den 16-fachen Flächeninhalt von \(k_2\)? Begründe deine Antwort.
(2 P)
A 3.0
Die nebenstehende Skizze zeigt den Axialschnitt ABCDEF eines Körpers mit der Rotationsachse GK. Der Punkt G ist der Schnittpunkt der Geraden CD und FE.
Es gilt:
\(\overline{AB}=\overline{CF}=5\,\text{cm};\) \(\overline{AF}=\overline{BC}=4\,\text{cm};\)
\(\overline{ED}=2,4\,\text{cm};\) \(\sphericalangle GFK=50^{\circ};\)
\([AF]\mid\mid[GK]\mid\mid[BC].\)
Berechne das Volumen des Rotationskörpers auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
\([\)Zwischenergebnisse:
\(\overline{GK}=2,98\,\text{cm};\) \(\overline{GH}=1,43\,\text{cm}]\)
(5 P)
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