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Inhaltsverzeichnis

Teil B

B 1.0

Die Parabel $p$ verläuft durch die Punkte $P(-2|19)$ und $Q(4|-5)$ . Sie hat eine Gleichung der Form $y=0,5x^2+bx+c$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ und $b,c \in\mathbb{R}$ .
Die Gerade $g$ besitzt die Gleichung $y=0,5x-2$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ .

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B 1.1

Zeige durch Berechnung der Werte für $b$ und $c$ , dass die Parabel $p$ die Gleichung $y=0,5x2−5x+7$ besitzt.
Zeichne die Parabel $p$ und die Gerade $g$ für $x∈[0;10]$ in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit $1~\text{cm}~;\quad$ $0\leq x\leq 10~;\quad$ $−6\leq y\leq 8$

(4P)

B 1.2

Punkte $A_n(x|0,5x^2-5x+7)$ auf der Parabel $p$ und Punkte $C_n(x|0,5x-2)$ auf der Gerade $g$ besitzen dieselbe Abszisse $x$ . Diese Punkte bilden zusammen mit Punkten $B_n$ und $D_n$ Rauten $A_nB_nC_nD_n$ , wobei gilt: $\overline{B_nD_n}=~\text{LE}$ und $y_{C_n} > y_{A_n}$ .

Zeichne die Rauten $A_1B_1C_1D_1$ für $x=3$ und $A_2B_2C_3D_2$ für $x=6$ in das Koordinatensystem zu $B~1.1$ ein.

(2P)

B 1.3

Ermittel rechnerisch, für welche Werte von $x$ es Rauten $A_nB_nC_nD_n$ gibt.

Gebe das Intervall für $x$ an.

(3P)

B 1.4

Zeige, dass für die Länge der Strecken $[A_nC_n]$ in Abhängigkeit von der abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt:

$\overline{A_nC_n}(x)=...$

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Berechne dann das Maß $\phi$ des Winkels $D_2C_2B_2$ und die Seitenlänge $\overline{A_2B_2}$ der Raute $A_2B_2C_2D_2$ .

(4P)

B 1.5

Bestimme die Koordinaten der Punkte $B_n$ in Abhängigeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ .

(2P)

B 1.6

Begründe rechnerisch, dass der Flächeninhalt $A$ der Rauten $A_nB_nC_nD_n$ stets kleiner als $~\text{FE}$ ist.

(2P)

B 2.0

Die nebenstehnde Skizze zeigt ein Schrägbild des geraden Prismas $ABCDEFGH$ , dessen Grundfläche die Raute $ABCD$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $M$ ist. Die Strecken $[EG]$ und $[FH]$ schneiden sich im Punkt $N$ .

Es gilt:
$\overline{AC}=10~\text{cm}; \quad$ $\overline{BD}=6~\text{cm} \quad$ $\overline{AE}=10~\text{cm}.$

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Skizze

Abb. 1: Skizze Prisma $ABCDEFGH$

(X BE)

B 2.1

Zeichne das Schrägbild des Prismas $ABCDEFGH$ , wobei die Strecke $[AC]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: $q=\dfrac{1}{2}; \quad \omega=45^{\circ}$

Berechne dann die Länge der Strecke $[ME]$ und das Maß $\phi$ des Winkes $MEN$ .
[Ergebnisse: $\overline{ME}=11,18~\text{cm};\quad \phi=63,43^{\circ}$ ]

(4P)

B 2.2

Punkte $S_n$ liegen auf der Strecke $[ME]$ mit $\overline{ES_n}(x)=x~\text{cm}$ , $x \in [0;11,18[$ und $x\in \mathbb{R}$ .

Zeichne das Dreieck $S_1GE$ für $x=3$ in das Schrägbild zu $B~2.1$ ein. Berechne dann den Flächeninhalt des Dreiecks $S_1GE$ und die Länge der Strecke $[S_1G]$ .

3P

B 2.3

Die Punkte $S_n$ sind Spitzen von Pyramiden $ABCDS_n$ mit der Grundfläche $ABCD$ und den Höhen $[Q_nS_n].$ Dabie liegen die Punkte $Q_n$ auf der Strecke $[AM]$ .

Zeichne die Pyramide $ABCDS_2$ sowie ihre Höhe $[Q_2S_2]$ in das Schrägbild zu $B~2.1$ in.
Dabei gilt: $\sphericalangle MAS=54^{\circ}$ .

Zeige, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $ABCDS_n$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $V(x)=(100-8,9x)~\text{cm}^3$ .

[Teilergebnis: $\overline{Q_nS_n}(x)=(10-0,89x)~\text{cm}$ ]

(X BE)

B 2.4

Berechne das Volumen der Pyramide $ABCDS_2$ .

(4P)

B 2.5

Begründe, dass es keine Pyramide $ABCDS_n$ gibt, deren Volumen halb so groß wie das Volumen des Prsimas $ABCDEFGH$ ist.

(2P)

B 1.1

$\blacktriangleright$ Gleichung der Parabel finden

Die angegebenen Punkte $P(-2|19)$ und $Q(4|-5)$ werden in die gegebene Funktion $y=0,5x^2+bx+c$ eingesetzt:

\( \)

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Durch Umformung erhältst du:

$c=3$

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Durch Einsetzen von $c$ in $\text{II}$ erhalt man für $b$ :

$\begin{array}[t]{rll} -13&=&4b+7 &\quad \scriptsize \mid -7 \; \\[5pt] -20&=&4b &\quad \scriptsize \mid :4 \; \\[5pt] -5&=&b \end{array}$

Somit erhält man die Gleichung $y=0,5x^2-5x+7$ für die Parabel.

$\blacktriangleright$ $p$ und $g$ in Koordinatensystem einzeichnen

Graph

Abb. 1: Graph der Parabel $p$ und Geraden $g$

B 1.2

$\blacktriangleright$ Rauten einzeichnen

Durch einzeichnen der Punkte

$\begin{array}[t]{rll} & A_1(3|-3,5) &\quad \scriptsize\; \\[5pt] & A_2(3|-5) &\quad \scriptsize\; \\[5pt] & C_1(3|-0,5) &\quad \scriptsize\; \\[5pt] & C_2(3|1) &\quad \scriptsize\; \\[5pt] \end{array}$

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erhältst du die senkrechte Diagonale der Rauten. Zeichnest du in der Mitte jeweils eine $2~\text{LE}$ lange Horizontale, kommt man auf die Punkte $B_1$ , $D_1$ und $B_2$ , $D_2$ , sodass die Rauten eingezeichnet werden können:

Graph

Abb. 2: Graph mit eingezeichneten Rauten $A_1B_1C_1D_1$ und $A_2B_2C_2D_3$

B 1.3

$\blacktriangleright$ Intervall berechnen

Rauten $A_nB_nC_nC_n$ gibt es für alle $x$ , die zwischen den Schnittpunkten von $p$ und $g$ liegen. Dazu berechnest du zunächst die Schnittpunkte zwischen $p$ und $g$ , indem du die Gleichungen gleichsetzt:

$x_1=9$ und $x_2=2$

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Das Intervall zwischen den $x$ -Werten $x=2$ und $x=9$ lässt sich schreiben als $x \in ]2;9[$ .
Also gibt es Rauten $A_nB_nC_nD_n$ für alle $x \in ]2;9[$ .

B 1.4

$\blacktriangleright$ Gleichung für die Länge $\overline{A_nC_n}$ aufstellen

Die Strecke $\overline{A_nC_n}$ kann durch die Differenz der $y$ -Werte der Geraden $g$ und der Parabel $p$ angegeben werden. Damit gilt:

$\overline{A_nC_n}(x)=-0,5x^2+5,5x-9$

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$\blacktriangleright$ Winkel $D_2C_2B_2$ berechnen

Die Raute lässt sich durch die Strecken $\overline{A_2C_2}$ und $\overline{B_2D_2}$ in 4 rechtwinklige Dreiecke aufteielen. Mit dem Tangens erhältst du für $\dfrac{\phi}{2}$ :

$\tan\left(\dfrac{\phi}{2}\right)=\dfrac{ 0,5 \cdot \overline{A_2C_2} } {0,5 \cdot \overline{B_2D_2}}=\dfrac{ \overline{A_2C_2} } { \overline{B_2D_2}}$

Aus der Aufgabenstellung von B 1.2 erhältst du $\overline{B_2D_2}=2 ~\text{LE}$ . Die Strecke $\overline{A_2C_2}$ wird über die zuvor ausgerechnete Bedingung

$\overline{A_2C_2}= 6~\text{LE}$

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berechnet. Somit gilt mit dem Tangens:

$\phi \approx 36,86 ^{\circ}$

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Skizze

Abb. 3: Skizze der Raute $A_2B_2C_2D_2$

$\blacktriangleright$ Seitenlänge $\overline{A_2B_2}$ berechnen

Mit dem Satz des Pythagoras erhältst du:

$\overline{A_2B_2} \approx 3,16 ~\text{LE}$

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B 1.5

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Punkte $B_n$

Die Punkte $B_n$ liegen jeweils 1 LE rechts des Mittelpunkts $M_n$ der Raute. Den $y$ -Wert erhältst du durch Addieren der Strecke $0,5\cdot \overline{A_nC_n}$ zu den $y$ -Werten von $A_n$ . Für den $y$ -Wert des Mittelpunktes $M_n$ gilt:

$y_{M_n}= 0,25x^2-2,25x+2,5$

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Und folglich für die Punkte $B_n$ :

$B_n\left( x+1 \,\bigg \vert \, y_{M_n} \right)$

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B 1.6

$\blacktriangleright$ Maximalen Flächeninhalt berechnen

Für den Flächeninhalt der Rauten gilt:

$A=\dfrac{1}{2}\cdot \overline{AC} \cdot \overline{BD}$

Dieser wird größtmöglich bei maximaler Länge der Strecke $\overline{AC}(x)=-0,5x^2+5,5x-9$ . Du kannst erkennen, dass der Graph von $\overline{AC}(x)$ einer nach unten geöffneten Parabel entspricht. Um den $x$ -Wert des Scheitels bestimmen zu können, musst du die Gleichung durch quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktform umschreiben:

$\overline{A_nC_n}(x)\\= -0,5 \cdot (x-5,5)^2+6,125$

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Hier lässt sich das Maximum der Parabel, also der Scheitel, bei $x=5,5$ ablesen. Den größten Flächeninhalt erhält man also mit

$\overline{A_nC_n}(5,5)\approx 6,13 ~\text{LE}$ .

Für den maximalen Flächeninhalt der Rauten gilt damit:

$A_{\text{max}} \approx 6,13 ~\text{FE}$

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Somit ist der Flächeninhalt aller Rauten $A_nB_nC_nD_n$ kleiner als $7~\text{FE}$ .

B 2.1

$\blacktriangleright$ Schrägbild zeichnen

Das Schrägbild des Prsimas $ABCDEFGH$ mit $q=\dfrac{1}{2}$ und $\omega=45^{\circ}$ sieht folgendermaßen aus:

Skizze

Abb.4: Schrägbild des Prismas

$\blacktriangleright$ Strecke [ME] berechnen

Im rechtwinkligen Dreieck $AME$ lässt sich die Seite $[ME]$ mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen:

$\overline{ME} \approx 11,18 ~\text{cm}^2$

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$\blacktriangleright$ Winkel $\phi=\sphericalangle MEN$ berechnen

Da im Prisma $\overline{AE}=\overline{MN}$ gilt, lässt sich der Winkel $\phi$ über den Tangens berechnen:

$\phi\approx 63,43 ^{\circ}$

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B 2.2

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Dreiecks

Der Flächeinhalt eines Dreiecks lässt sich über $A=\dfrac{1}{2}\cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$ berechnen. In diesem Fall erhältst du für den Flächeninhalt $A_{S_1GE}$ :

$A_{S_1GE}\approx 13,42 ~\text{cm}^2$

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Skizze

Abb. 5: Skizze Dreieck $S_1EG$

$\blacktriangleright$ Länge der Strecke

Mit dem Kosinussatz gilt:

$\overline{S_1G}\approx 9,06 ~\text{cm}$

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B 2.3

$\blacktriangleright$ Pyramide einzeichnen

Skizze

Abb. 6: Pyramide $ABCDS_2$

$\blacktriangleright$ Volumen zeigen

Für das Volumen einer Pyramide gilt $A=\dfrac{1}{3}\cdot Grundfläche \cdot Höhe$ , wobei für die Grundfläche $ABCD$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2}\overline{AC}\cdot \overline{BD} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& 0,5 \cdot 10~\text{cm} \cdot 6~\text{cm} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& 30 ~\text{cm}^2 \end{array}$

Für die Höhe $[Q_nS_n]$ gilt mit dem Strahlensatz:

$\overline{Q_nS_n}(x)=(10-0,89x)~\text{cm}$

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Somit folgt für das Volumen $V$ :

$V=(100-8,9x)~\text{cm}^3$

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B 2.4

$\blacktriangleright$ Volumen berechnen

Die einzige Angabe über die Pyramide $ABCDS_2$ ist in B 2.3 mit dem Winkel $\sphericalangle MAS_2=54^{\circ}$ gegeben. Um die zuvor berechnete Formel anwenden zu können wird allerdings der $x$ -Wert benötigt. Diesen erhältst du mit Hilfe des Sinussatzes im Dreieck $AS_2E$ mit:

$\dfrac{x}{\sin(\sphericalangle S_2AE)}= \dfrac{\overline{AE}}{\sin(\sphericalangle ES_2A)}$

Wobei du den der Winkel $\sphericalangle S_2AE$ über
$\sphericalangle S_2AE=90^{\circ}-54^{\circ}=36^{\circ}$ berechnen kannst. Mit der Winkelsumme im Dreieck $AES_2$ erhältst du dann:

$\sphericalangle ES_2A=117,43^{\circ}$

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Skizze

Abb. 7: Skizze Dreieick $S_2AE$

Somit ergibt sich für $x$ :

$x \approx 6,62 ~\text{cm}$

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Für das Volumen wird der gerade berechnete $x$ -Wert in die Formel aus B 2.3 eingesetzt:

$V_{\text{ABCDS}_2}\approx 41,08 ~\text{cm}^3$

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B 2.5

$\blacktriangleright$ Volumen des Prismas

Das Volumen des Prismas $ABCDEFGH$ ist gegeben durch:

$V_{\text{Prisma}}=300 ~\text{cm}^3$

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$\blacktriangleright$ Begründe

Das Volumen der Pyramide

$V(x)=(100-8,9x)~\text{cm}^3$ ,

wird größtmöglich für $x=0$ mit $V(0)=V_{\text{max}}=100 ~\text{cm}^3$ .
Wegen $0,5 \cdot V_{\text{Prisma}}=150~\text{cm}^3>V_{\text{max}}$ , gibt es keine Pyramide, deren Volumen halb so groß wie das Volumen des Prismas ist.