Teil B
Aufgabe B1
1.0
Die Parabel 
mit dem Scheitelpunkt 
hat eine Gleichung der Form 
).
Die Gerade 
hat die Gleichung 
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
mit dem Scheitelpunkt hat eine Gleichung der Form ).
Die Gerade hat die Gleichung
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1.1
Zeige durch Rechnung, dass für die Gleichung der Parabel gilt:
Zeichne sodann die Parabel und die Gerade für ![\(x\in[ -4 ; 9]\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/13aefeb290296b25b0d7f5165f0c56f5a3acbe9b23c732563e243ae34269f808_light.svg)
in ein Koordinatensystem ein.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 
; 
gilt:
Zeichne sodann die Parabel und die Gerade für in ein Koordinatensystem ein.
Für die Zeichnung: Längeneinheit ;
(3 P)
1.2
Punkte 
auf der Geraden und Punkte 
auf der Parabel haben dieselbe Abszisse 
und sind zusammen mit Punkten 
und 
Eckpunkte von Trapezen 
Es gilt: ![\([A_nB_n]\,\bigg \vert \bigg \vert \,[C_nD_n]; \overrightarrow{A_nD_n}=\pmatrix{2\\1}; \overrightarrow{C_nD_n}=5\,\text{LE}.\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6c91f2087bc9486f377f91f9c9605df044e70d9b9a4e41f6eb02f1d54711060d_light.svg)
Zeichne die Trapeze 
für 
und 
für 
in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.
auf der Geraden und Punkte auf der Parabel haben dieselbe Abszisse und sind zusammen mit Punkten und Eckpunkte von Trapezen
Es gilt:
Zeichne die Trapeze für und für in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.
(2 P)
1.3
Ermittle rechnerisch, für welche Belegungen von es Trapeze 
gibt.
es Trapeze gibt.
(3 P)
1.4
Berechne den Flächeninhalt 
der Trapeze in Abhängigkeit von 
Bestimme sodann den maximalen Flächeninhalt 
der Trapeze und gib den zugehörigen Wert für an.
[Zwischenergebnis: 
]
der Trapeze in Abhängigkeit von
Bestimme sodann den maximalen Flächeninhalt der Trapeze und gib den zugehörigen Wert für an.
[Zwischenergebnis: ]
(4 P)
1.5
Der Punkt 
des Trapezes 
liegt auf der 
-Achse.
Ermittle durch Rechnung die Koordinaten des Punktes 
des Trapezes liegt auf der -Achse.
Ermittle durch Rechnung die Koordinaten des Punktes
(2 P)
1.6
Die kongruenten Trapeze 
und 
sind gleichschenklig.
Zeige, dass die Strecken ![\([A_4B_4]\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d7fabbc50266204fdf11e4f7b1f5f1da911120f7913d61f2d2cc1d0a76116233_light.svg)
und ![\([A_5B_5]\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6061cbd9d5db3af4a23f7dd309f86669d1e774953906f5c5520492025fde03cf_light.svg)
jeweils 
lang sind.
Berechne sodann das Maß 
der Winkel 
bzw. 
und sind gleichschenklig.
Zeige, dass die Strecken und jeweils lang sind.
Berechne sodann das Maß der Winkel bzw.
(3 P)
Aufgabe B2
2.0
Nebenstehende Skizze zeigt das Fünfeck 
, das aus dem Drachenviereck 
mit der Symmetrieachse 
und dem Dreieck 
besteht.
Es gilt:
![\([AB] \,\bigg \vert \bigg \vert \, [ED].\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/29beb8c4c31fae45d860229a544e96c821bdf1d9f8b145a51965a2464504093f_light.svg)
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
, das aus dem Drachenviereck mit der Symmetrieachse und dem Dreieck besteht.
Es gilt:
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
2.1
Zeichne das Fünfeck sowie die Strecken ![\([AD]\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0eaa295054a50f38c33c935411352e46bc249f6284a1aaa5bf4ee7b8a757666f_light.svg)
und ![\([AC].\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/2df56578211ce644b45c466b4d4e0fe92a06542b5f20493017e1c4060d31e7f2_light.svg)
sowie die Strecken und
(2 P)
2.2
Begründe, weshalb 
und 
gilt.
Berechne sodann die Länge der Strecke ![\([ED].\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/01343f6a33d711ae5e1d82bf0f1006156423123299936a084c09f0025172374d_light.svg)
[Teilergebnis: 
]
und gilt.
Berechne sodann die Länge der Strecke
[Teilergebnis: ]
(3 P)
2.3
Berechne die Länge der Strecke ![\([BC]\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3e8fc13fada3aa80a718f89720a463b219e0ad127ab3ed1f1aab8d572f2ffcbc_light.svg)
und den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Drachenvierecks am Flächeninhalt des Fünfecks 
[Teilergebnis: 
]
und den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Drachenvierecks am Flächeninhalt des Fünfecks
[Teilergebnis: ]
(4 P)
2.4
Auf der Strecke [AE] liegen Punkte 
, für die gilt: 
mit ![\(x\in\mathbb{R} , x\in]
0 ; 7,78[.\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4ee70298ca15a6837e966e6dbf6eae67125a0973a8fcec4b07a1b581d7cf621c_light.svg)
Punkte 
liegen auf dem Kreisbogen 
mit dem Mittelpunkt 
Ferner gilt: ![\([S_nR_n] \,\bigg \vert \,\,\bigg \vert \, [ED].\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ad4f7ad6b6afad59a4459bb01aedea9cc1b45cece70277c244b785fbba09f3c1_light.svg)
Zeichne den Kreisbogen und die Strecke 
für 
in die Zeichnung zu B 2.1 ein.
, für die gilt: mit Punkte liegen auf dem Kreisbogen mit dem Mittelpunkt
Ferner gilt:
Zeichne den Kreisbogen und die Strecke für in die Zeichnung zu B 2.1 ein.
(2 P)
2.5
Der Punkt 
ist der Schnittpunkt des Kreisbogens 
mit der Symmetrieachse des Drachenvierecks .
Ergänze die Zeichnung zu B 2.1 um das Dreieck 
und berechne die Länge der Strecke ![\([S_2R_2].\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ea5668c8ca7020d7cde7d83187e02909016ab87a9a4ecf37cf14c9da72ab8774_light.svg)
[Zwischenergebnis: 
]
ist der Schnittpunkt des Kreisbogens mit der Symmetrieachse des Drachenvierecks .
Ergänze die Zeichnung zu B 2.1 um das Dreieck und berechne die Länge der Strecke
[Zwischenergebnis: ]
(3 P)
2.6
Die Bogenlänge 
des Kreisbogens 
mit dem Mittelpunkt 
beträgt 
Berechne das Maß des Winkels 
und den zugehörigen Wert für
des Kreisbogens mit dem Mittelpunkt beträgt
Berechne das Maß des Winkels und den zugehörigen Wert für
(3 P)
Lösungen B1
1.1
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& 0,1(x-5)^2-4,5&\quad \scriptsize \; \\[5pt]
y&=& 0,1(x^2-10x+25)-4,5&\quad \scriptsize \; \\[5pt]
y&=& 0,1x^2-x+2,5-4,5&\quad \scriptsize \; \\[5pt]
y&=&0,1x^2-x-2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d081d678f509766df8f4a345ed6ecb88a71c68e29f2002725040c68db7b392cb_light.svg)
1.2
1.3
Vollständige Lösung anzeigen
Für 
![\(\left]-3,52;8,52\right[\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/aa1ac5cdc8a6b917b751a49056d1309d043cdf4d7f3a08cd9138c9333dc3e358_light.svg)
gibt es Trapeze
1.4
für 
1.5
Aus 
folgt: 
.
folgt: .
1.6
![\(\begin{array}[t]{rll}
\text{tan}\gamma&=&\dfrac{2}{1} &\quad \scriptsize \; \\[5pt]
\gamma&=&63,43^{\circ}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/860b38ab854da2ecc19d31cbe32926fe58984cc6de49c00338731dd7d8d9c31d_light.svg)
Lösungen B2
2.1
2.2
Wegen ![\([AB] \,\bigg \vert \bigg \vert \,[ED]\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/81c467db583f65a8f7de7b0542314b07eddf28c5de201d26a160c418d99fd4a3_light.svg)
gilt: 
.
Im Drachenviereck gilt: 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sphericalangle EDC&=&45^{\circ}+90^{\circ} &\quad \scriptsize \; \\[5pt]
\sphericalangle EDC&=&135^{\circ}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c4b0f5218eafbee12487e6164c169a018bae2786860ff7385d9d010b6dbd99e6_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sphericalangle DAE&=&90^{\circ}-45^{\circ} &\quad \scriptsize \; \\[5pt]
\sphericalangle DAE&=&45^{\circ}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/57f65fb0be677b3f8e82a4504c0f2afe314b8a7df2509e73c0ec7d6ec88b31ca_light.svg)
Wegen 
ist das Dreieck somit gleichschenklig-rechtwinklig mit 
.
![\(\begin{array}[t]{rll}
\text{sin}(45^{\circ})&=&\dfrac{\overline{ED}}{11\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot11\,\text{cm} \\[5pt]
\overline{ED}&=&7,78\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/cd44b051e0d5532f5d143a275d6fd89b25f8adf7ba32062746e5edb903021ea5_light.svg)
2.3
![\(\begin{array}[t]{rll}
\text{tan}(0,5\cdot\sphericalangle BAD)&=& \dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}}&\quad \scriptsize \; \\[5pt]
\text{tan}(0,5\cdot45^{\circ} )&=& \dfrac{\overline{BC}}{11\,\text{cm}}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot 11\,\text{cm} \\[5pt]
\overline{BC}&=&4,56\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0ae5fe6e48398a5e6e4853fbd81231305415f0fcb39d3913482da12d0ec6a988_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{ABCD}&=&2\cdot0,5\cdot\overline{AB}\cdot\overline{BC} &\quad \scriptsize \; \\[5pt]
A_{ABCD}&=&2\cdot0,5\cdot11\,\text{cm}\cdot4,56\,\text{cm} &\quad \scriptsize \; \\[5pt]
A_{ABCD}&=&50,16\,\text{cm}^2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6519e2787bb2c1d74ffe40d40e09a54b3696cce947688ccd6b1fe00483d7339a_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{ABCD}&=&(A_{ABCD}+0,5\cdot\overline{AE}\cdot\overline{ED}) &\quad \scriptsize \; \\[5pt]
A_{ABCD}&=&(A_{ABCD}+0,5\cdot7,78\,\text{cm}\cdot7,78\,\text{cm}) &\quad \scriptsize \; \\[5pt]
A_{ABCD}&=&80,42\,\text{cm}^2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1eaaff572b1add22e2d5f29e034b7ef0333894739036e5d9a195c8098f635a87_light.svg)
2.4
Einzeichnen des Kreisbogens und der Strecke ![\([S_1R_1]\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/85c2290005c66211b2b45870a8e8369699786c0fd7b3054114051c5fa68d7a1f_light.svg)
.
und der Strecke .
2.5
Einzeichnen des Dreiecks
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sphericalangle R_2AE&=&90^{\circ}-0,5\cdot 45^{\circ} &\quad \scriptsize \; \\[5pt]
\sphericalangle R_2AE&=&67,5^{\circ}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/702baef31cd1488f9b2546ba929ae942ee145b909916a1aa5a70c45bdfa496eb_light.svg)
Wegen 
gilt 
. Daraus folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sphericalangle AER_2&=&180^{\circ}-2\cdot67,5^{\circ} &\quad \scriptsize \; \\[5pt]
\sphericalangle AER_2&=&45^{\circ}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/87b1248787e091482c81d338480a19157276580fed9e3f64e4a12ec2d8b32175_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\text{sin}\sphericalangle AER_2&=&\dfrac{\overline{S_2R_2}}{ER_2} &\quad \scriptsize \; \\[5pt]
\text{sin}(45^{\circ})&=&\dfrac{\overline{S_2R_2}}{7,78\,\text{cm}}&\quad \scriptsize \; \\[5pt]
\overline{S_2R_2}&=&5,50\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5c932507666ac458b8184a35649c018a7ea5b36cf0885c275b57f4074515767f_light.svg)
Wegen gilt . Daraus folgt:
2.6
![\(\begin{array}[t]{rll}
3&=&\dfrac{\sphericalangle R_3ED}{360^{\circ}}\cdot2\cdot7,78\cdot\pi &\quad \scriptsize \; \\[5pt]
\sphericalangle R_3ED&=&22,09^{\circ}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/33701c427a8584368b4e3df7a60b2751c8ade3920c8aee394e3c705ac0e86e27_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sphericalangle S_3ER_3&=&90^{\circ}-22,09^{\circ} &\quad \scriptsize \; \\[5pt]
\sphericalangle S_3ER_3&=&67,91^{\circ}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b086b8de32cf7ed8100815940b8346e1c319d951a873fea5e052df31eb9f8dc5_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\text{cos}\sphericalangle S_3ER_3&=&\dfrac{\overline{ES_3}}{\overline{ER_3}} &\quad \scriptsize \; \\[5pt]
\text{cos}(67,91^{\circ})&=&\dfrac{x}{7,78}\quad \scriptsize \; \\[5pt]
x&=&2,93\quad \scriptsize \; \\[5pt]
\mathbb{L} &=&\{ 2,93\}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c39a39acc7e7544877ddfb088b75271c7b12ca54e3210d06c6eb5615bb91a403_light.svg)
![\(x \in\mathbb{R}\,\ , \,x \in\,\ ]0;7,78[\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4de6ac87f93421945d3e639e44c562c92f847a5635da42912788316efe0e8f27_light.svg)