Aufgabe B3
Nebenstehende Skizze zeigt das Trapez 
mit 
und der Höhe 
Es gilt: 
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichne das Trapez sowie die Diagonale 
und die Höhe
Begründe sodann, warum für das Maß des Winkels 
gilt: 
Ermittle rechnerisch die Längen der Strecken 
und 
[Ergebnisse: 
]
Berechne die Länge der Strecke 
und den Flächeninhalt des Trapezes 
[Teilergebnis: 
]
Punkte 
liegen auf der Strecke 
mit 
Kreise mit dem Mittelpunkt 
und den Radien 
schneiden die Strecke 
in Punkten 
Zeichne für 
den Punkt 
sowie den zugehörigen Kreisbogen 
mit dem Mittelpunkt in die Zeichnung zu B 3.1 ein.
Begründe sodann, weshalb der Punkt 
auf keinem der Kreisbögen 
liegt.
Durch die Strecken 
und 
sowie die Kreisbögen werden Kreissektoren begrenzt.
Zeige, dass für den Flächeninhalt dieser Kreissektoren in Abhängigkeit von 
gilt:
Berechne, für welche Belegung von der Flächeninhalt des zugehörigen Kreissektors halb so groß wie der Flächeninhalt des Trapezes ist.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?
Die Winkel und 
sind Ergänzungswinkel an den Parallelen 
und 
Folglich gilt: 
Es gilt
und aufgrund der Innenwinkelsumme von 
des Dreiecks 
:
Aus dem Sinussatz folgt damit:
![Formula: \begin{array}{rclcl}\displaystyle \frac{\left|\overline{CD}\right|}{\sin\left(\measuredangle CBD\right)} &=& \displaystyle \frac{\left|\overline{BC}\right|}{\sin\left(\measuredangle BDC\right)} \\[3ex]\displaystyle \frac{\left|\overline{CD}\right|}{\sin\left(25^\circ\right)} &=& \displaystyle \frac{10\,\text{cm}}{\sin\left(40^\circ\right)} &\quad& \mid \cdot \sin\left(25^\circ\right) \\[3ex]\left|\overline{CD}\right| &=& \displaystyle \frac{10 \,\text{cm}}{\sin\left(40^\circ\right)} \cdot \sin\left(25^\circ\right) \\[3ex]\left|\overline{CD}\right| &\approx& 6{,}57\,\text{cm}\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/e166fe5c426f50381502d71109901296184472b0f0d930cc2e844ac49b917445_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rclcl}\displaystyle \frac{\left|\overline{CD}\right|}{\sin\left(\measuredangle CBD\right)} &=& \displaystyle \frac{\left|\overline{BC}\right|}{\sin\left(\measuredangle BDC\right)} \\[3ex]\displaystyle \frac{\left|\overline{CD}\right|}{\sin\left(25^\circ\right)} &=& \displaystyle \frac{10\,\text{cm}}{\sin\left(40^\circ\right)} &\quad& \mid \cdot \sin\left(25^\circ\right) \\[3ex]\left|\overline{CD}\right| &=& \displaystyle \frac{10 \,\text{cm}}{\sin\left(40^\circ\right)} \cdot \sin\left(25^\circ\right) \\[3ex]\left|\overline{CD}\right| &\approx& 6{,}57\,\text{cm}\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/e166fe5c426f50381502d71109901296184472b0f0d930cc2e844ac49b917445_dark.svg)
Mit dem Kosinussatz gilt schließlich:
![Formula: \begin{array}{rcl} \left|\overline{BD}\right|^2 &=& \left|\overline{BC}\right|^2 + \left|\overline{CD}\right|^2 - 2 \cdot \left|\overline{BC}\right| \cdot \left|\overline{CD}\right| \cdot \cos \left( \measuredangle DCB \right) \\[3ex] \left|\overline{BD}\right|^2 &=& (10 \,\text{cm})^2 + (6{,}57 \,\text{cm}) ^2 - 2 \cdot 10 \,\text{cm} \cdot 6{,}57 \,\text{cm} \cdot \cos \left( 115^\circ \right) &\quad& \mid \sqrt{\ } \\[3ex] \left|\overline{BD}\right| &=& \sqrt{(10 \,\text{cm})^2 + (6{,}57 \,\text{cm})^2 - 2 \cdot 10 \,\text{cm} \cdot 6{,}57 \,\text{cm} \cdot \cos \left(115^\circ \right)} \\[3ex] \left|\overline{BD}\right| &\approx& 14{,}10\,\text{cm}\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/e9c774aac0409517f99de4d27050c4d10144bd33689a2f821fda5b7d6f062759_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rcl} \left|\overline{BD}\right|^2 &=& \left|\overline{BC}\right|^2 + \left|\overline{CD}\right|^2 - 2 \cdot \left|\overline{BC}\right| \cdot \left|\overline{CD}\right| \cdot \cos \left( \measuredangle DCB \right) \\[3ex] \left|\overline{BD}\right|^2 &=& (10 \,\text{cm})^2 + (6{,}57 \,\text{cm}) ^2 - 2 \cdot 10 \,\text{cm} \cdot 6{,}57 \,\text{cm} \cdot \cos \left( 115^\circ \right) &\quad& \mid \sqrt{\ } \\[3ex] \left|\overline{BD}\right| &=& \sqrt{(10 \,\text{cm})^2 + (6{,}57 \,\text{cm})^2 - 2 \cdot 10 \,\text{cm} \cdot 6{,}57 \,\text{cm} \cdot \cos \left(115^\circ \right)} \\[3ex] \left|\overline{BD}\right| &\approx& 14{,}10\,\text{cm}\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/e9c774aac0409517f99de4d27050c4d10144bd33689a2f821fda5b7d6f062759_dark.svg)
Es gilt 
Damit folgt für das rechtwinklige Dreieck 
:
![Formula: \begin{array}{rclcl}\displaystyle \sin\left(\measuredangle DBE\right) &=& \displaystyle \frac{\left|\overline{DE}\right|}{\left|\overline{BD}\right|} \\[3ex]\displaystyle \sin\left(40^\circ\right) &=& \displaystyle \frac{\left|\overline{DE}\right|}{14{,}10\,\text{cm}} &\quad& \mid \, \cdot \, 14{,}10\,\text{cm} \\[3ex]\displaystyle \sin\left(40^\circ\right)\cdot 14{,}10\,\text{cm} &=& \left|\overline{DE}\right| \\[3ex]9{,}06\,\text{cm} &\approx& \left|\overline{DE}\right|\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/ce3b4e0b1ea2891768a567e00e157bf81159feba08613fe61365c27a862080cb_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rclcl}\displaystyle \sin\left(\measuredangle DBE\right) &=& \displaystyle \frac{\left|\overline{DE}\right|}{\left|\overline{BD}\right|} \\[3ex]\displaystyle \sin\left(40^\circ\right) &=& \displaystyle \frac{\left|\overline{DE}\right|}{14{,}10\,\text{cm}} &\quad& \mid \, \cdot \, 14{,}10\,\text{cm} \\[3ex]\displaystyle \sin\left(40^\circ\right)\cdot 14{,}10\,\text{cm} &=& \left|\overline{DE}\right| \\[3ex]9{,}06\,\text{cm} &\approx& \left|\overline{DE}\right|\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/ce3b4e0b1ea2891768a567e00e157bf81159feba08613fe61365c27a862080cb_dark.svg)
Damit beträgt der Flächeninhalt des Trapezes:
In dem rechtwinkligen Dreieck gilt:
![Formula: \begin{array}{rclcl}\displaystyle \cos\left(\measuredangle DBE\right) &=& \dfrac{\left|\overline{BE}\right|}{\left|\overline{DB}\right|} \\[3ex]\displaystyle \cos\left(40^\circ\right) &=& \dfrac{\left|\overline{BE}\right|}{14{,}10\,\text{cm}} &\quad& \mid \, \cdot \, 14{,}10\,\text{cm} \\[3ex]\left|\overline{BE}\right| &=& 14{,}10 \,\text{cm} \cdot \cos\left(40^\circ\right) \\[3ex]\left|\overline{BE}\right| &\approx& 10{,}8\,\text{cm}\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/19b670d8186b147ee020524f43a5fdc5b78ab33439162e4dfaf47bfd8497ace9_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rclcl}\displaystyle \cos\left(\measuredangle DBE\right) &=& \dfrac{\left|\overline{BE}\right|}{\left|\overline{DB}\right|} \\[3ex]\displaystyle \cos\left(40^\circ\right) &=& \dfrac{\left|\overline{BE}\right|}{14{,}10\,\text{cm}} &\quad& \mid \, \cdot \, 14{,}10\,\text{cm} \\[3ex]\left|\overline{BE}\right| &=& 14{,}10 \,\text{cm} \cdot \cos\left(40^\circ\right) \\[3ex]\left|\overline{BE}\right| &\approx& 10{,}8\,\text{cm}\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/19b670d8186b147ee020524f43a5fdc5b78ab33439162e4dfaf47bfd8497ace9_dark.svg)
Wegen 
kann folglich der Punkt E auf keinem der Kreisbögen liegen.
Für den Flächeninhalt eines Kreissektors gilt:
![Formula: \begin{align*} A(x) &= \left( \frac{65^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot (10 - x)^2 \right) \, \text{cm}^2 &\quad& \mid \, \text{2. binomische Formel} \\[3ex] &= \left( \frac{65^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi \cdot (100 - 20x + x^2) \right) \, \text{cm}^2 \\[3ex] &\approx \left( 0{,}5672 \cdot (100 - 20x + x^2) \right) \, \text{cm}^2 \\[3ex] &= \left( 56{,}72 - 11{,}344x + 0{,}5672x^2 \right) \, \text{cm}^2 \\[3ex] &\approx \left( 0{,}57x^2 - 11{,}34x + 56{,}72 \right) \, \text{cm}^2 \end{align*}](https://www.schullv.de/resources/formulas/e19181c7ff2e851946871ae41b7970f92ce5bd9fd59f6185d204477c02172ad5_light.svg)
![Formula: \begin{align*} A(x) &= \left( \frac{65^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot (10 - x)^2 \right) \, \text{cm}^2 &\quad& \mid \, \text{2. binomische Formel} \\[3ex] &= \left( \frac{65^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi \cdot (100 - 20x + x^2) \right) \, \text{cm}^2 \\[3ex] &\approx \left( 0{,}5672 \cdot (100 - 20x + x^2) \right) \, \text{cm}^2 \\[3ex] &= \left( 56{,}72 - 11{,}344x + 0{,}5672x^2 \right) \, \text{cm}^2 \\[3ex] &\approx \left( 0{,}57x^2 - 11{,}34x + 56{,}72 \right) \, \text{cm}^2 \end{align*}](https://www.schullv.de/resources/formulas/e19181c7ff2e851946871ae41b7970f92ce5bd9fd59f6185d204477c02172ad5_dark.svg)
Mit der 
-Formel folgt:
![Formula: \begin{align*} x_{1,2} &= -\dfrac{-11{,}34}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-11{,}34}{2}\right)^2 - 14{,}66} \\[3ex] &= 5{,}67 \pm \sqrt{32{,}1489-14{,}66} \\[3ex] x_1 &\approx 18{,}51\, (\text{nicht im Definitionsbereich } 0 \leq x \leq 10) \\ x_2 &\approx 1{,}39 \end{align*}](https://www.schullv.de/resources/formulas/6805cdd97fbb4e21c4ff1d07c4127ffb2c69b035ea07191c6a01480580e8c821_light.svg)
![Formula: \begin{align*} x_{1,2} &= -\dfrac{-11{,}34}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-11{,}34}{2}\right)^2 - 14{,}66} \\[3ex] &= 5{,}67 \pm \sqrt{32{,}1489-14{,}66} \\[3ex] x_1 &\approx 18{,}51\, (\text{nicht im Definitionsbereich } 0 \leq x \leq 10) \\ x_2 &\approx 1{,}39 \end{align*}](https://www.schullv.de/resources/formulas/6805cdd97fbb4e21c4ff1d07c4127ffb2c69b035ea07191c6a01480580e8c821_dark.svg)
Für 
ist der Flächeninhalt des zugehörigen Kreissektors halb so groß wie der Flächeninhalt des Trapezes .