Teil B

B 1.0

Nebenstehende Skizze zeigt das Trapez $ABCD$ .
Es gilt:
$\overline {AB}=7\,\text {cm}; \overline {BC}=10\, \text {cm}; \overline {AC}=14\, \text {cm}$ ; $\sphericalangle CAD=50^{\circ};AB \mid\mid CD$ .
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B 1.1

Zeichne das Trapez $ABCD$ und berechne das Maß $ß$ des Winkels $CBA$ sowie das Maß $\epsilon$ des Winkels $BAC$ .
[Ergebnisse: $\beta=109,62 ^{\circ}; \epsilon=42,28^{\circ}$ ]

(4 P)

B 1.2

Die Strecke $[BP]$ ist die kürzeste Verbindung des Punktes $B$ zur Strecke $[AC]$ .
Ergänze in der Zeichnung zu B 1.1 die Strecke $[BP]$ .
Berechne sodann den Umfang $\text u$ des Dreiecks $ABP$ .

(3 P)

B 1.3

Berechne den Flächeninhalt $A$ des Trapezes $ABCD$ .
[Ergebnis: $A=83,51 \text {cm}^2$ ]

(3 P)

B 1.4

Der Kreis $\text k$ mit dem Mittelpunkt $\text M$ berührt die Strecke $[AC]$ im Punkt $E$ und die Strecke $[AD]$ im Punkt $\text F$ . Für den Radius $\text r$ gilt: $r=\overline {ME}=\overline {MF}=2 \, \text {cm}$ .
Ergänze in der Zeichnung zu B 1.1 den Kreis $k$ mit dem Mittelpunkt $M$ .
Berechne sodann den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Kreises $k$ am Flächeninhalt des Trapezes $ABCD$ .

(3 P)

B 1.5

Berechne den Flächeninhalt der Figur, die durch die Strecken $[AE]$ und $[AF]$ sowie den Kreisbogen $FE$ mit dem zugehörigen Mittelpunkt $M$ begrenzt ist.

(4 P)

B 2.0

Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide $ABCDS$ mit der Höhe $[AS]$ , deren Grundfläche das Drachenviereck $ABCD$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $M$ ist.
Es gilt: $\overline {AC}=9 \, \text {cm}$ ; $\overline {AM}=3 \, \text {cm}$ ; $\overline {BD}=8 \, \text {cm}$ ; $\overline {AS}=10 \, \text {cm}$ .
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B 2.1

Zeichne das Schrägbild der Pyramide $ABCDS$ , wobei die Strecke $[AC]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: $q=\dfrac{1}{2}$ ; $\omega=45 ^{\circ}$ . Links vom Punkt A sind 5 cm freizuhalten.

Berechne sodann die Länge der Strecke $[MS]$ und das Maß $\varphi$ des Winkels $SMA$ .
[Ergebnisse: $\overline {MS}=10,44 \, \text {cm}$ ; $\varphi=73,30^{\circ}$ ]

(4 P)

B 2.2

Für Punkte $P_n$ auf der Strecke $[MS]$ gilt: $\overline {SP_n}(x)= \text x \, \text {cm}$ ( $x\in\mathbb{R}$ und $0\lt x\lt 10,44)$ .
Verlängert man die Diagonale $[AC]$ über den Punkt $A$ hinaus um $1,5\, \text {x} \, \text {cm}$ , so erhält man Punkte $A_n$ und es entstehen neue Pyramiden $A_nBCDP_n$ .
Zeichne die Pyramide $A_1BCDP_1$ und die zugehörige Höhe [ $P_1F_1$ ] mit dem Höhenfußpunkt $F_1\in[A_1C]$ für $x=3$ in das Schrägbild zu B 2.1 ein.

(2 P)

B 2.3

Berechne das Maß $\alpha$ des Winkels $MA_1P_1$ .

(3 P)

B 2.4

Zeige rechnerisch, dass für das Volumen $V$ der Pyramide $A_nBCDP_n$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $\text {V(x)}=(-1,92 \text x^2+8,48 \text x + 120) \text {cm}^3$ .
[Teilergebnis: $\overline {P_nF_n}(x)=(10-0,96 \text x)\text {cm}$ ]

(3 P)

B 2.5

Unter den Pyramiden $A_nBCDP_n$ hat die Pyramide $A_0BCDP_0$ das maximale Volumen $V_{max}$ . Berechne, um wie viel Prozent $V_{max}$ größer als das Volumen der ursprüglichen Pyramide $ABCDS$ ist.

(3 P)

B 2.6

Zwei der folgenden Graphen stellen nicht das Volumen der Pyramide $A_nBCDP_n$ in Abhängigkeit von $\text x$ dar. Gib diese an und begründe deine Entscheidung.

(2 P)

B 1.1

Skizze nicht längentreu, da Mobile-Optimierung und verschiedene Darstellung je nach Endgerät.

Kosinussatz:

$\begin{array}[t]{rll} b^2&=&a^2+c^2-2ac\cdot\cos(\beta)\quad\scriptsize \mid\;+2ac\cdot\cos(\beta)\;\mid\;-b^2 \\[5pt] 2ac\cdot\cos{\beta}&=&a^2+c^2-b^2\quad\scriptsize \mid\;:2ac\\[5pt] \cos{\beta}&=&\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\[5pt] \cos{\beta}&=&\dfrac{\overline{BC}^2+\overline{AB}^2-\overline{AC}^2}{2\cdot\overline{BC}\cdot\overline{AB}}\\[5pt] \cos{\beta}&=&\dfrac{10^2+7^2-14^2}{2\cdot 10\cdot 7}\\[5pt] \cos{\beta}&=&\dfrac{-47}{140}\\[5pt] \beta&\approx&109,62^\circ \end{array}$

Sinussatz:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{a}{\sin(\alpha)}&=&\dfrac{b}{\sin(\beta)} &\scriptsize \text{umformen} \\[5pt] \sin(\alpha)&=&\dfrac{a}{b}\cdot\sin(\beta) \\[5pt] \sin(\alpha)&=&\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AC}}\cdot\sin(\beta) \\[5pt] \sin(\alpha)&=&\dfrac{10}{14}\cdot\sin(109,62^\circ) \\[5pt] \alpha&\approx&42,28^\circ \end{array}$

B 1.2

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{\overline{BP}}{\overline{AB}} &\scriptsize\text{umformen} \\[5pt] \overline{BP}&=&\sin(\alpha)\cdot\overline{AB}\\[5pt] \overline{BP}&=&\sin(42,28^\circ)\cdot 7\,cm\\[5pt] \overline{BP}&\approx&4,71\,cm \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overline{AP}}{\overline{AB}} &\scriptsize\text{umformen} \\[5pt] \overline{AP}&=&\cos(\alpha)\cdot\overline{AB}\\[5pt] \overline{AP}&=&\cos(42,28^\circ)\cdot 7\,cm\\[5pt] \overline{AP}&\approx&5,18\,cm \end{array}$

$u=(7+4,71+5,18)\,cm=16,89\,cm$

B 1.3

$A=\dfrac{\overline{AB}+\overline{AB}}{2}\cdot h$

Höhe berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \cos(109,62^\circ-90^\circ)&=&\dfrac{h}{10\,cm} \quad\scriptsize \mid\;\cdot 10\,cm \\[5pt] h&=&\cos(19,62^\circ)\cdot 10\,cm\\[5pt] h&\approx&9,42\,cm \end{array}$

Winkel $\sphericalangle ADC$ berechnen:

$\sphericalangle ADC=180^\circ-(42,28^\circ+50^\circ)$ $=87,72^\circ$

$\overline{CD}$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{CD}}{\sin (50^\circ)}&=&\dfrac{14\,cm}{\sin(87,72^\circ)} \quad\scriptsize \mid\;\cdot \sin(50^\circ) \\[5pt] \overline{CD}&=&\dfrac{14\,cm\cdot\sin(50^\circ)}{\sin(87,72^\circ)}\\[5pt] \overline{CD}&\approx&10,73\,cm \end{array}$

Flächeninhalt berechnen:

$A=\dfrac{7+10,73}{2}\cdot 9,42\,cm^2=83,51\,cm^2$

B 1.4

Zeichne jeweils eine senkrechte Gerade durch die Punkte $E$ und $F$ ein. Der Schnittpunkt entspricht dem Mittelpunkt $M$ .

Flächeninhalt des Kreises berechnen:

$A_{Kreis}=\pi\cdot r^2$
$A_{Kreis}=\pi\cdot (2\,cm)^2\approx 12,57\,cm^2$

Anteil berechnen:

$\dfrac{12,57}{83,51}\cdot100\,\%\approx 15,05\,\%$

B 1.5

Die Figur ist aus zwei Dreiecken zusammengesetzt.

$A_{\text{Figur}}=2\cdot 0,5\cdot \overline{AE}\cdot\overline{ME}-\dfrac{\sphericalangle FME}{360^\circ}\cdot\overline{ME}^2\cdot\pi$

$\overline{AE}$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \tan\left(\frac{50^\circ}{2}\right)&=&\dfrac{2\,cm}{\overline{AE}}\quad \scriptsize \mid\;\cdot\overline{AE}\quad\mid\; :\tan\left(\dfrac{50^\circ}{2}\right) \\[5pt] \overline{AE}&=&\dfrac{2\,cm}{\tan\left(\frac{50^\circ}{2}\right)}\\[5pt] \overline{AE}&\approx&4,29\,cm \end{array}$

Winkel berechnen:

$\sphericalangle FME=360^\circ-2\cdot 90^\circ-50^\circ$ $=130^\circ$

$A_{\text{Figur}}\approx 4,04\,cm^2$

Vollständige Lösung anzeigen

B 2.1

Abbildung nicht längentreu, die Abbildung beinhaltet die Lösung aus B 2.2.

$\overline{MS}=\sqrt{3^2+10^2}\,cm\approx 10,44\,cm$

$\tan(\varphi)=\dfrac{10}{3}$

$\varphi\approx 73,30^\circ$

B 2.2

Abbildung nicht längentreu

B 2.3

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\sin(\alpha)}{\overline{MP_1}}&=&\dfrac{\sin(\varphi)}{\overline{A_1P_1}}\quad \scriptsize \mid\;\cdot\overline{MP_1} \\[5pt] \sin(\alpha)&=&\dfrac{\sin(\varphi)}{\overline{A_1P_1}}\cdot\overline{MP_1} \\[5pt] \end{array}$

$\overline{A_1P_1}$ berechnen:

$\overline{A_1P_1}\approx 8,92\,cm$

Vollständige Lösung anzeigen

$\alpha$ berechnen:

$\dfrac{\sin(\alpha)}{10,44-3}=\dfrac{\sin(73,30^\circ)}{8,92}$

$\alpha\approx 53,03^\circ$

B 2.4

$V=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\overline{A_nC}\cdot\overline{BD}\cdot\overline{P_nF_n}$

$\overline{P_nF_n}(x)$ berechnen:

$\dfrac{\overline{P_nF_n}(x)}{10\,cm}=\dfrac{(10,44-x)\,cm}{10,44\,cm}$

$\overline{P_nF_n}(x)=\dfrac{(10,44-x)\,cm}{10,44\,cm}\cdot10 cm$

$\overline{P_nF_n}(x)=(10-0,96x)\,cm$

Einsetzen in die obige Gleichung ergibt:

$V(x)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot(9+1,5x)\cdot 8\cdot(10-0,96x)\,cm^3$

$V(x)=(-1,92x^2+8,48x+120)\,cm^3$

B 2.5

$V(x)=(-1,92x^2+8,48x+120)\,cm^3$

$V_{max}=129,36\,cm^3$

Volumen der Pyramide $ABCDS$ berechnen:

$V_{ABCDS}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 9\cdot 8\cdot 10\,cm^3$ $=120\,cm^3$

Verhältnis berechnen:

$\dfrac{129,36}{120}\cdot 100\,\%=107,80\,\%$

Das Volumen von $V_{max}$ ist demnach um $7,8\,\%$ größer als $V_{ABCDS}.$

B 2.6

Graph $A$ kann es nicht sein, da der Wert des Volumens kleiner als $120\,cm^3$ ist. Bei Graph $C$ erhält man für $x=0$ nicht den Wert $V(0)=120\,cm^3.$