Aufgabe B2

B 2.0

Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild des geraden Prismas Formula: ABCDEF, dessen Grundfläche das gleichschenklige Dreieck mit der Basis Formula: [AB] ist. Formula: M ist der Mittelpunkt der Strecke Formula: [A B].

Es gilt: $Formula: \overline{CM}=8 \;\mathrm{cm} ;\, \overline{CF}=11 \;\mathrm{cm} ;\,\overline{AB}=10 \;\mathrm{cm}.$ $Formula: \overline{CM}=8 \;\mathrm{cm} ;\, \overline{CF}=11 \;\mathrm{cm} ;\,\overline{AB}=10 \;\mathrm{cm}.$

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Skizze eines schrägen Quaders mit markierten Punkten A, B, C, D, E, F und M sowie eingezeichneten Diagonalen

B 2.1

Zeichne das Schrägbild des Prismas Formula: ABCDEF mit der Strecke Formula: [FM], wobei die Strecke Formula: [CM] auf der Schrägbildachse und der Punkt Formula: C links vom Punkt Formula: M liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: $Formula: q=\frac{1}{2} ;\, \omega=45^{\circ}.$ $Formula: q=\frac{1}{2} ;\, \omega=45^{\circ}.$

Berechne sodann die Länge der Strecke Formula: [FM] und das Maß des Winkels Formula: CFM.

$Formula: \Bigl[$ $Formula: \Bigl[$ Teilergebnisse: $Formula: \left.\overline{FM}=13{,}60 \;\mathrm{cm} ; \; \measuredangle CFM=36{,}03^{\circ}\right]$ $Formula: \left.\overline{FM}=13{,}60 \;\mathrm{cm} ; \; \measuredangle CFM=36{,}03^{\circ}\right]$

4 P

B 2.2

Für Punkte Formula: P_n auf der Strecke Formula: [FM] gilt: $Formula: \overline{FP_n}(x) = x \;\text{cm} \;\ \left(x \in \mathbb{R} ;\, x \in[0 ; 13{,}60[ \right)$ $Formula: \overline{FP_n}(x) = x \;\text{cm} \;\ \left(x \in \mathbb{R} ;\, x \in[0 ; 13{,}60[ \right)$

Zeichne das Dreieck Formula: CP_1F für Formula: x = 4 in das Schrägbild zu B 2.1 ein.

Berechne sodann den Flächeninhalt des Dreiecks Formula: CP_1F sowie die Länge der Strecke Formula: [CP_1].

3 P

B 2.3

Das Dreieck Formula: ABC ist die Grundfläche von Pyramiden Formula: ABCP_n mit den Höhen Formula: [P_nK_n], wobei $Formula: K_n \in[CM]$ $Formula: K_n \in[CM]$ gilt.

Zeichne die Pyramide Formula: ABCP_1 und die Höhe Formula: [P_1K_1] in das Schrägbild zu B 2.1 ein.

1 P

B 2.4

Zeige, dass sich das Volumen Formula: V der Pyramiden Formula: ABCP_n in Abhängigkeit von Formula: x wie folgt darstellen lässt: $Formula: V(x) = (146{,}67 − 10{,}80x )\;\text{cm}^3.$ $Formula: V(x) = (146{,}67 − 10{,}80x )\;\text{cm}^3.$

3 P

B 2.5

Das Volumen der Pyramide Formula: ABCP_2 beträgt $Formula: 15\,\text{%}$ $Formula: 15\,\text{%}$ des Volumens des Prismas Formula: ABCDEF.

Ermittle durch Rechnung den zugehörigen Wert für Formula: x.

2 P

B 2.6

Unter den Punkten Formula: P_n hat der Punkt Formula: P_0 die kürzeste Entfernung zu Formula: C.

Zeichne die Pyramide Formula: ABCP_0 in das Schrägbild zu B 2.1 ein.

Berechne sodann das Maß des Winkels Formula: AP_0B.

4 P

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B 2.1

Geometrische Skizze eines Quaders mit markierten Punkten A–F und M, vertikalen Kanten sowie mehreren Diagonalen und Verbindungslinien.

Berechnung der Länge $Formula: \overline{F M}$ $Formula: \overline{F M}$ mithilfe des Satzes des Pythagoras:

$Formula: \begin{array}{rcll} \overline{FM}^2 &=& \overline{CM}^2 + \overline{CF}^2 \\ \overline{FM}^2 &=& \left( 8 \; \text{cm} \right)^2 + \left( 11 \; \text{cm}\right)^2 &\quad \mid \sqrt{\ } \\ \overline{FM} &=& \sqrt{ \left( 8 \; \text{cm} \right)^2 + \left( 11 \; \text{cm}\right)^2 } \\ &=& \sqrt{ 64 \; \text{cm}^2 + 121 \; \text{cm}^2 } \\ &=& \sqrt{185 \; \text{cm}^2} \\ &\approx& 13,6 \; \text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \overline{FM}^2 &=& \overline{CM}^2 + \overline{CF}^2 \\ \overline{FM}^2 &=& \left( 8 \; \text{cm} \right)^2 + \left( 11 \; \text{cm}\right)^2 &\quad \mid \sqrt{\ } \\ \overline{FM} &=& \sqrt{ \left( 8 \; \text{cm} \right)^2 + \left( 11 \; \text{cm}\right)^2 } \\ &=& \sqrt{ 64 \; \text{cm}^2 + 121 \; \text{cm}^2 } \\ &=& \sqrt{185 \; \text{cm}^2} \\ &\approx& 13,6 \; \text{cm} \end{array}$

Berechnung des Winkels $Formula: \measuredangle C F M$ $Formula: \measuredangle C F M$ :

$Formula: \begin{array}{rcll} \tan( \measuredangle CFM ) &=& \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \\[5pt] &=& \dfrac{\overline{CM}}{\overline{CF}} \\[5pt] &=& \dfrac{8 \; \text{cm}}{11 \; \text{cm}} &\quad \mid \, \tan^{-1} \\[5pt] \measuredangle CFM &=& \tan^{-1} \left( \dfrac{8 \; \text{cm}}{11 \; \text{cm}} \right) \\[5pt] &\approx& 36{,}03^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \tan( \measuredangle CFM ) &=& \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \\[5pt] &=& \dfrac{\overline{CM}}{\overline{CF}} \\[5pt] &=& \dfrac{8 \; \text{cm}}{11 \; \text{cm}} &\quad \mid \, \tan^{-1} \\[5pt] \measuredangle CFM &=& \tan^{-1} \left( \dfrac{8 \; \text{cm}}{11 \; \text{cm}} \right) \\[5pt] &\approx& 36{,}03^{\circ} \end{array}$

B 2.2

Draufsicht einer Quader-Skizze mit Punkten A–F, diagonalen und Verbindungsstrecken, markierten Punkten P1 und M.

Es gilt $Formula: \measuredangle CFP_n = \measuredangle CFM \approx 36{,}03^{\circ}.$ $Formula: \measuredangle CFP_n = \measuredangle CFM \approx 36{,}03^{\circ}.$

Berechnung der Höhe $Formula: h_{\overline{CF}}$ $Formula: h_{\overline{CF}}$ des Dreiecks Formula: CP_1F auf der Grundseite Formula: CF:

$Formula: \begin{array}{rcll} \sin \left( \measuredangle CFP_1 \right) &=& \dfrac{h_{\overline{CF}}}{FP_1} \\[5pt] &=& \sin \left( 36{,}03^{\circ} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{h_{\overline{CF}}}{4 \; \text{cm}} &\quad \mid\, \cdot\, 4 \; \text{cm} \\[5pt] h_{\overline{CF}} &=& \sin \left( 36{,}03^{\circ} \right) \cdot 4 \; \text{cm} \\[5pt] &\approx& 2{,}3528 \; \text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \sin \left( \measuredangle CFP_1 \right) &=& \dfrac{h_{\overline{CF}}}{FP_1} \\[5pt] &=& \sin \left( 36{,}03^{\circ} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{h_{\overline{CF}}}{4 \; \text{cm}} &\quad \mid\, \cdot\, 4 \; \text{cm} \\[5pt] h_{\overline{CF}} &=& \sin \left( 36{,}03^{\circ} \right) \cdot 4 \; \text{cm} \\[5pt] &\approx& 2{,}3528 \; \text{cm} \end{array}$

Berechnung des Flächeninhalts $Formula: A_{C P_1 F}$ $Formula: A_{C P_1 F}$ :

$Formula: \begin{array}{rcll} A_{CP_1F} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \overline{CF} \cdot h_{\overline{CF}} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot 11 \; \text{cm} \cdot 2{,}3528 \; \text{cm} \\[5pt] &\approx& 12{,}94 \; \text{cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} A_{CP_1F} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \overline{CF} \cdot h_{\overline{CF}} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot 11 \; \text{cm} \cdot 2{,}3528 \; \text{cm} \\[5pt] &\approx& 12{,}94 \; \text{cm}^2 \end{array}$

Berechnung der Länge $Formula: \overline{C P_1}$ $Formula: \overline{C P_1}$ mithilfe des Kosinussatzes:

$Formula: \begin{array}{rcll} \overline{C P_1}^2 &=& \overline{C F}^2+{\overline{F P_1}}^2-2 \cdot \overline{C F} \cdot \overline{F P_1} \cdot \cos (\measuredangle C F M) \\[5pt] &=& \left( 11 \; \text{cm} \right)^2 + \left( 4 \; \text{cm} \right)^2 - 2 \cdot 11 \; \text{cm} \cdot 4 \; \text{cm} \cdot \cos\left(36{,}03^{\circ} \right) &\quad \mid \sqrt{\ } \\[5pt] \overline{C P_1} &=& \sqrt{ \left( 11 \; \text{cm} \right)^2 + \left( 4 \; \text{cm} \right)^2 - 2 \cdot 11 \; \text{cm} \cdot 4 \; \text{cm} \cdot \cos\left(36{,}03^{\circ} \right) } \\[5pt] &\approx& 8{,}11 \; \text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \overline{C P_1}^2 &=& \overline{C F}^2+{\overline{F P_1}}^2-2 \cdot \overline{C F} \cdot \overline{F P_1} \cdot \cos (\measuredangle C F M) \\[5pt] &=& \left( 11 \; \text{cm} \right)^2 + \left( 4 \; \text{cm} \right)^2 - 2 \cdot 11 \; \text{cm} \cdot 4 \; \text{cm} \cdot \cos\left(36{,}03^{\circ} \right) &\quad \mid \sqrt{\ } \\[5pt] \overline{C P_1} &=& \sqrt{ \left( 11 \; \text{cm} \right)^2 + \left( 4 \; \text{cm} \right)^2 - 2 \cdot 11 \; \text{cm} \cdot 4 \; \text{cm} \cdot \cos\left(36{,}03^{\circ} \right) } \\[5pt] &\approx& 8{,}11 \; \text{cm} \end{array}$

B 2.3

Geometrische Skizze eines Quaders mit markierten Punkten (A,B,C,D,E,F,P1,K1,M) und mehreren Diagonalen/Verbindungsstrecken.

10 BE

B 2.4

Für das Volumen Formula: V einer Pyramide gilt:

$Formula: V=\tfrac{1}{3} \cdot G \cdot h$ $Formula: V=\tfrac{1}{3} \cdot G \cdot h$

mit Grundfläche Formula: G und Höhe Formula: h.

Die Grundfläche Formula: G (Dreieck Formula: A B C ) ist konstant:

$Formula: G= A_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \; \text{cm} \cdot 8 \; \text{cm}=40 \;\text{cm}^2.$ $Formula: G= A_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \; \text{cm} \cdot 8 \; \text{cm}=40 \;\text{cm}^2.$

Berechnung der Höhe $Formula: h = \overline{P_n K_n}(x)$ $Formula: h = \overline{P_n K_n}(x)$ mithilfe des Strahlensatzes:

Im Dreieck Formula: C F M verhält sich die Höhe der Pyramide $Formula: \overline{P_nK_n}(x)$ $Formula: \overline{P_nK_n}(x)$ zur Prismenhöhe $Formula: \overline{CF}$ $Formula: \overline{CF}$ wie die Teilstrecke $Formula: \overline{FP_n}(x)$ $Formula: \overline{FP_n}(x)$ zu der gesamten Strecke $Formula: \overline{FM}$ $Formula: \overline{FM}$ .

$Formula: \begin{array}{rcll} \dfrac{\overline{P_nK_n}(x)}{\overline{CF}} &=& \dfrac{\overline{FP_n}(x)}{\overline{FM}} \\[5pt] \dfrac{\overline{P_n K_n}(x)}{11\;\text{cm}} &=& \dfrac{(13{,}60-x)\;\text{cm}}{13{,}60\;\text{cm}} &\mid\; \cdot \,11\;\text{cm} \\[5pt] \overline{P_n K_n}(x) &=& 11\;\text{cm} \cdot\left(1-\dfrac{x \; \text{cm}}{13{,}60\;\text{cm}}\right) \\[5pt] \overline{P_n K_n}(x) &=& (11-0{,}81x)\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \dfrac{\overline{P_nK_n}(x)}{\overline{CF}} &=& \dfrac{\overline{FP_n}(x)}{\overline{FM}} \\[5pt] \dfrac{\overline{P_n K_n}(x)}{11\;\text{cm}} &=& \dfrac{(13{,}60-x)\;\text{cm}}{13{,}60\;\text{cm}} &\mid\; \cdot \,11\;\text{cm} \\[5pt] \overline{P_n K_n}(x) &=& 11\;\text{cm} \cdot\left(1-\dfrac{x \; \text{cm}}{13{,}60\;\text{cm}}\right) \\[5pt] \overline{P_n K_n}(x) &=& (11-0{,}81x)\;\text{cm} \end{array}$

Berechnung des Volumens Formula: V(x) :

$Formula: \begin{array}{rcll} V(x) &=& \dfrac{1}{3} \cdot 40 \; \text{cm}^2 \cdot(11-0,81 x)\;\text{cm} \\[5pt] &=& \left(146{,}67 - 10{,}80x \right) \; \text{cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} V(x) &=& \dfrac{1}{3} \cdot 40 \; \text{cm}^2 \cdot(11-0,81 x)\;\text{cm} \\[5pt] &=& \left(146{,}67 - 10{,}80x \right) \; \text{cm}^3 \end{array}$

Somit ist die Gleichung Formula: V(x) bewiesen.

B 2.5

Berechnung des Volumens des Prismas Formula: ABCDEF :

$Formula: V_{ABCDEF}= A_{ABC} \cdot \overline{CF} = 40 \; \text{cm}^2 \cdot 11 \;\text{cm}=440\;\text{cm}^3$ $Formula: V_{ABCDEF}= A_{ABC} \cdot \overline{CF} = 40 \; \text{cm}^2 \cdot 11 \;\text{cm}=440\;\text{cm}^3$

Das Volumen der Pyramide Formula: ABCP_2 soll $Formula: 15\,\text{%}$ $Formula: 15\,\text{%}$ des Volumens des Prismas betragen:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} V(x) &=& 0{,}15 \cdot 440 \\[5pt] 146{,}67-10{,}80x &=& 66 &\mid\; -146{,}67 \\[5pt] -10{,}80x&=& -80{,}67 &\mid\; \div (-10{,}80)\\[5pt] x&\approx& 7{,}47\\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} V(x) &=& 0{,}15 \cdot 440 \\[5pt] 146{,}67-10{,}80x &=& 66 &\mid\; -146{,}67 \\[5pt] -10{,}80x&=& -80{,}67 &\mid\; \div (-10{,}80)\\[5pt] x&\approx& 7{,}47\\[5pt] \end{array}$

Der zu der Pyramide Formula: ABCP_2 zugehörige $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Wert ist etwa Formula: x = 7{,}47 .

B 2.6

Geometrische Zeichnung mit Würfelstruktur, markierten Punkten (A–F, P0, P1, K1, M) und verbundenen Linien/Dreiecken

Da der Punkt Formula: P_0 den kleinsten Abstand zu Punkt Formula: C besitzt, steht die Strecke $Formula: \overline{C P_0}$ $Formula: \overline{C P_0}$ senkrecht auf der Strecke $Formula: \overline{FM}$ $Formula: \overline{FM}$ .

Berechnung der Länge $Formula: \overline{F P_0}$ $Formula: \overline{F P_0}$ im rechtwinkligen Dreieck Formula: C F P_0 :

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \cos \left( \measuredangle CFP_0 \right) &=& \dfrac{\overline{FP_0}}{\overline{CF}} \\[5pt] \cos \left(36{,}03^{\circ}\right)&=& \dfrac{\overline{F P_0}}{11\;\text{cm}} &\mid\; \cdot\, 11\;\text{cm} \\[5pt] \overline{F P_0}&=& 11\;\text{cm} \cdot \cos \left(36{,}03^{\circ}\right) \\[5pt] &\approx& 8{,}90\;\text{cm} \\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \cos \left( \measuredangle CFP_0 \right) &=& \dfrac{\overline{FP_0}}{\overline{CF}} \\[5pt] \cos \left(36{,}03^{\circ}\right)&=& \dfrac{\overline{F P_0}}{11\;\text{cm}} &\mid\; \cdot\, 11\;\text{cm} \\[5pt] \overline{F P_0}&=& 11\;\text{cm} \cdot \cos \left(36{,}03^{\circ}\right) \\[5pt] &\approx& 8{,}90\;\text{cm} \\[5pt] \end{array}$

Berechnung des Winkels $Formula: \measuredangle AP_0 B:$ $Formula: \measuredangle AP_0 B:$

Für den Teilwinkel $Formula: \sphericalangle A P_0 M$ $Formula: \sphericalangle A P_0 M$ gilt:

$Formula: \begin{array}{rcll} \tan \left( \measuredangle A P_0 M \right) &=& \dfrac{\overline{AM}}{\overline{P_0M}} \\[5pt] &=& \dfrac{0{,}5 \cdot \overline{AB}}{\overline{FM} - \overline{FP_0}} \\[5pt] &=& \dfrac{0{,}5 \cdot 10 \; \text{cm}}{13{,}6 \; \text{cm} - 8{,}9 \; \text{cm}} \\[5pt] &=& \dfrac{5 \; \text{cm}}{4{,}7 \; \text{cm}} &\quad \mid \, \tan^{-1} \\[5pt] \measuredangle AP_0M &=& \tan^{-1} \left( \dfrac{5 \; \text{cm}}{4{,}7 \; \text{cm}} \right) \\ &\approx& 46{,}77^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \tan \left( \measuredangle A P_0 M \right) &=& \dfrac{\overline{AM}}{\overline{P_0M}} \\[5pt] &=& \dfrac{0{,}5 \cdot \overline{AB}}{\overline{FM} - \overline{FP_0}} \\[5pt] &=& \dfrac{0{,}5 \cdot 10 \; \text{cm}}{13{,}6 \; \text{cm} - 8{,}9 \; \text{cm}} \\[5pt] &=& \dfrac{5 \; \text{cm}}{4{,}7 \; \text{cm}} &\quad \mid \, \tan^{-1} \\[5pt] \measuredangle AP_0M &=& \tan^{-1} \left( \dfrac{5 \; \text{cm}}{4{,}7 \; \text{cm}} \right) \\ &\approx& 46{,}77^{\circ} \end{array}$

Da das Prisma symmetrisch ist, gilt:

$Formula: \measuredangle AP_0 B = 2 \cdot \measuredangle AP_0 M = 2 \cdot 46{,}77^{\circ} = 93{,}54^{\circ}.$ $Formula: \measuredangle AP_0 B = 2 \cdot \measuredangle AP_0 M = 2 \cdot 46{,}77^{\circ} = 93{,}54^{\circ}.$

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