Teil A

Aufgabe A 1

1.0

Der Wertverlust verschiedener E-Bike-Modelle liegt zwischen $14$ und $33$ Prozent jährlich. Der Restwert $y$ Euro des E-Bikes „Blitz“ (Neupreis $3.500$ Euro) nach $x$ Jahren lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f:y=3.500\cdot 0,85^x$ ( $\mathbb{G} = \mathbb{R}_0^+$ x $\mathbb{R}^+$ ) bestimmen.

1.1

Ergänze die Wertetabelle auf Ganze gerundet und zeichne sodann den Graphen der Funktion $f$ in das Koordinatensystem.

Tabelle anzeigen

$x$	0	1	2	3	4	5	6	7	8
$3.500\cdot 0,85^x$

Abb. 1

(2P)

1.2

Berechne den Wertverlust des E-Bikes „Blitz“ in Euro nach den ersten drei Jahren.

(1P)

1.3

Ermittle mithilfe des Graphen der Funktion $f$ nach welcher Zeit sich der Wert des E-Bikes „Blitz“ halbiert hat.

(2P)

Aufgabe A 2

2.0

Die Zeichnung zeigt das Trapez $ABCD$ mit $[AB] \mid \mid [CD]$ .

Es gilt: $\overline{AB} = 9\,\text{cm}$ ; $\overline{CD} = 4,5\,\text{cm}$ ; $\overline{AL} = 3\,\text{cm}$ ; $\overline{DL} = 4\,\text{cm}$ .

Abb. 2

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

2.1

Berechne das Maß $\delta$ des Winkels $ADC$ .

(2P)

2.2

Verlängert man die Seite $[AB]$ über $B$ hinaus um $x\,\text{cm}$ und verkürzt gleichzeitig die Strecke $[DL]$ von $D$ aus um $x\,\text{cm}$ , so entsteht für $x \in \mathbb{R}; x\in$ $]0;4[$ Trapeze $AB_nC_nD_n$ mit $[AB_n] \mid \mid [C_nD_n]$ und $\overline{C_nD_n}=4,5\,\text{cm}$ .

Zeichne das Trapez $AB_1C_1D_1$ für $x=2$ in die Zeichnung zu A 2.0 ein.

(1P)

2.3

Gib den Wert für $x$ an, für den man das gleichschenklige Trapez $AB_2C_2D_2$ erhält.

(1P)

2.4

Berechne den Flächeninhalt $A$ der Trapeze $AB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von $x$ .

[Ergbenis: $A(x)=(-0,5x^2-4,75x+27)\,\text{cm}^2$ ]

(2P)

2.5

Begründe durch Rechnung, dass es unter den Trapezen $AB_nC_nD_n$ für $x\in$ $]0;4[$ kein Trapez mit einem Flächeninhalt von $28\,\text{cm}^2$ gibt.

(3P)

Aufgabe A 3

3.0

Eine Schreinerei stellt Spielzeugkreisel aus Holz her. Die nebenstehende Zeichnung des Axialschnitts eines Rotationskörpers mit der Rotationsachse $BM$ dient als Vorlage für solche Spielzeugkreisel.

Es gilt: $\overline{AC} = 5\,\text{cm}$ ; $\overline{BM} = 4,5\,\text{cm}$ ; $\overline{AN} = \overline{BN}$ ; $\sphericalangle BFE = 77^{\circ}$ .

Abb. 3

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

3.1

Berechne die Länge der Strecke $[FM]$ und die Länge der Strecke $[GN]$ .

[Ergbenisse: $\overline{FM}=1,04\,\text{cm}$ ; $\overline{GN}=0,58\,\text{cm}$ ]

(2P)

3.2

Berechne das Volumen $V$ eines solchen Spielzeugkreisels.

(3P)

Bildnachweise [nach oben]

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[2]

[3]

1.1

$\blacktriangleright$ Wertetabelle ergänzen und Funktion zeichnen

Berechne die Werte der Wertetabelle mit deinem Taschenrechner, indem du die $x$ -Werte in die Funktiongleichung der Funktion $f$ einsetzt. Anschließend zeichnest du die Punkte in das Koordinatensystem ein und verbindest sie.

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$3500 \cdot 0,85^x$	$3500$	$2975$	$2529$	$2149$	$1827$	$1553$	$1320$	$1122$	$954$

Abb. 1: Funktionsgraph

1.2

$\blacktriangleright$ Wertverlust berechnen

In dieser Aufgabe sollst du den Wertverlust $\Delta$ des E-Bikes nach den ersten drei Jahren berechnen. Um den Wertverlust des E-Bikes zu berechnen,ermittelst du, um wie viele Einheiten der Funktionswert nach drei Jahren gesunken ist. Somit kannst du den Wert des E-Bikes zu Beginn mit $f(x=0)$ berechnen und den Wert nach den ersten drei Jahren mit $f(x=3)$ . Dadurch ässt sich der Wertverlust $\Delta$ wie folgt berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \Delta&=& f(0)-f(3) \\[5pt] &=& 3.500€-2.149€ \\[5pt] &=& 1.351€ \end{array}$

Der Wertverlust des E-Bikes "Blitz" nach drei Jahren beträgt 1351€.

1.3

$\blacktriangleright$ Zeit bestimmen

Du sollst mit Hilfe des Graphen bestimmen, wann sich der Wert des E-Bikes „Blitz“ halbiert hat, wann das E-Bike also die hälfte des Neupreises wert ist.

Berechne zuerst die Hälfte des Neupreises:

$3.500€ : 2 =1.750€$ .

Die Funktionswerte der Funktion $f$ geben den Restwert des E-Bikes an. Die Variable $x$ gibt die Zeit in Jahren an.

Um den Zeitpunkt $x$ zu ermitteln, zudem sich der Wert des E-Bikes halbiert hat, musst du den Wert $y=1.750$ auf der $y-$ Achse mit dem Graph von $f$ durch eine Parallele zur $x-$ Achse verbinden. Anschließend musst du an dieser Stelle den $x-$ Wert ablesen. Dieser entspricht dann dem gesuchten Zeitpunkt.

Abb. 2

Der Wert des E-Bikes hat sich nach ungefähr $4,3$ Jahren halbiert.

2.1

$\blacktriangleright$ Winkel berechnen

Du sollst nun das Maß $\delta$ des Winkels $ADC$ berechnen. Der Winkel $ADC$ setzt sich hierbei aus dem Winkel $ADL$ und dem Winkel $LDC$ zusammen. Für den Winkel $LDC$ gilt $\sphericalangle LDC = 90^{\circ}$ . Somit musst du noch den Winkel $ADL$ bestimmen.

Hierfür kannst du den Tangens verwenden. Achte darauf deinen Taschenrechner ins Gradmaß umzustellen.

$\tan(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Dadurch folgt für den Winkel $ADL$ :

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\sphericalangle ADL)&=&\dfrac{\overline{AL}}{\overline{DL}} \\[5pt] &=&\dfrac{3 \text{ cm}}{4 \text{ cm}} \\[5pt] \tan(\sphericalangle ADL)&=& 0,75 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \tan^{-1}() \\[5pt] \sphericalangle ADL&=& \tan^{-1}(0,75) \\[5pt] \sphericalangle ADL&=& 36,87^{\circ} \end{array}$

Für das Maß $\delta$ des Winkels $ADC$ folgt somit:

$\begin{array}[t]{rll} \delta&=&\sphericalangle ADL + \sphericalangle LDC\\[5pt] &=& 36,87^{\circ} + 90^{\circ} \\[5pt] &=& 126,87^{\circ} \\[5pt] \end{array}$

Somit gilt $\delta=126,87^{\circ}$ .

2.2

$\blacktriangleright$ Trapez $AB_1C_1D_1$ einzeichnen

Nun sollst du das neue Trapez $AB_1C_1D_1$ einzeichnen. Hierbei ist gegeben, dass $x=2 \text{ cm}$ gilt. Das bedeutet, dass sich die Seite $[AB]$ über $B$ hinaus um $2 \text{ cm}$ verlängert und sich die Strecke $[DL]$ von $D$ aus um $2 \text{ cm}$ verkürzt.

Das neue Trapez sieht dann wie folgt aus:

Abb. 3: Trapez

2.3

$\blacktriangleright$ Wert für $x$ ermitteln

Nun sollst du den Wert für $x$ angeben, für den man das gleichschenklige Trape $AB_2C_2D_2$ erhält. Hierbei hast du gegeben, dass die Länge der Strecke $\overline{C_nD_n}$ konstant $4,5 \text{ cm}$ beträgt und die Strecke $\overline{AL}$ konstant $3 \text{ cm}$ bleibt. Das Trapez ist gleichschenklig falls $\overline{AD_n}=\overline{B_nC_n}$ gilt.

Dies ist genau dann der Fall, wenn die Länge der Seite $\overline{AB_n}= 2 \cdot \overline{AL} + \overline{C_nD_n}$ gilt. Dadurch kannst du die Länge der Seite $AB_2$ bestimmen. Nun weißt du, dass die Länge der Seite $AB_2$ durch die Verlängerung der Seite $AB$ um $x \text{ cm}$ entsteht.

Somit ergibt sich für die Länge der Seite $AB_2$ :

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB_2}&=& 2\cdot \overline{AL} + \overline{CD}\\[5pt] &=& 2\cdot 3\text{ cm} + 4,5\text{ cm} \\[5pt] &=& 10,5 \text{ cm} \\[10pt] \end{array}$

Anschließend kannst du den entsprechenden $x$ -Wert wie folgt berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB_2}&=& \overline{AB}+x \\[5pt] 10,5\text{ cm}&=& 9\text{ cm}+x &\quad \scriptsize \mid\; -9\text{ cm}\\[5pt] x&=& 1,5\text{ cm} \end{array}$

Damit das Trapez $AB_2C_2D_2$ gleichschenklig ist, muss $x=1,5 \text{ cm}$ gelten.

2.4

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Trapezes berechnen

Bei dieser Aufgabe sollst du den Flächeninhalt der Trapeze $AB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von $x$ berechnen. Hierfür verwendest du die Flächeninhaltsformel für Trapeze.

$A=\frac{1}{2}\cdot (a+c)\cdot h$

Dabei sind $a$ und $c$ die zwei sich gegenüberliegende parallelen Seiten und $h$ die Höhe des Trapezes, also der Abstand zwischen den parallelen Seiten. Die Länge der Seite $a$ entspricht somit der Länge der Seite $AB_n$ und die Länge der Seite $b$ der Länge der Seite $DC$ .

Du weißt bereits, dass für die Länge der Seiten $C_nD_n$ für jedes $x$ $\overline{C_nD_n}=4,5 \text{ cm}$ gilt. Aus der oberen Teilaufgabe gilt $\overline{AB_n}=9 \text{ cm} + x$ . Die Höhe des Trapezes ergibt sich aus der Länge der Seite $D_nL$ . Es gilt $\overline{D_nL}= 4\text{ cm} - x$ . Daraus ergibt sich für den Flächeninhalt des Trapezes in Abhängigkeit von $x$ :

$\begin{array}[t]{rll} A(x)&=& \frac{1}{2}\cdot (a+c) \cdot h \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(9\text{ cm}+x\text{ cm}+4,5\text{ cm}\right)\cdot \left(4\text{ cm}-x\text{ cm}\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(13,5\text{ cm}+x\text{ cm}\right)\cdot \left(4\text{ cm}-x\text{ cm}\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(13,5\cdot 4-13,5x+4x-x^2\right)\text{ cm}^2\\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(-x^2-9,5x+54\right)\text{ cm}^2 \\[5pt] &=& \left(-0,5x^2-4,75x+27\right)\text{ cm}^2 \end{array}$

Das Volumen der Trapeze $AB_nC_nD_n$ beträgt $V(x)=\left(-0,5x^2-4,75x+27\right)\text{ cm}^2$ .

2.5

$\blacktriangleright$ Volumen begründen

In dieser Aufgabe sollst du durch Rechnung begründen, dass unter den Trapezen $AB_nC_nD_n$ für $x\in ]0;4[$ kein Trapez mit einem Flächeninhalt von $28 \text{ cm}^2$ gibt. Um dies begründen zu können, setzt du die in Aufgabe 2.4 berechnete Flächeninhaltsformel gleich $28\text{ cm}^2$ und zeigst, dass die Werte für $x$ nicht im angegebenen Intervall liegen.

$\begin{array}[t]{rll} A(x)&=& 28 \text{ cm}^2 \\[5pt] 28\text{ cm}^2&=& \left(-0,5x^2-4,75x+27\right)\text{ cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\;:\text{ cm}^2 \\[5pt] 28&=& -0,5x^2-4,75x+27 &\quad \scriptsize \mid\;-28 \\[5pt] 0&=& -0,5x^2-4,75x-1 &\quad \scriptsize \mid\;:(-0,5)\\[5pt] 0&=& x^2+9,5x+2 \\[10pt] x_{1/2}&=& -\frac{9,5}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{9,5}{2}\right)^2-2}\\[5pt] &=& -4,75\pm\sqrt{4,75^2-2} \\[5pt] &=& -4,75\pm\sqrt{20,56} \\[5pt] &=& -4,75\pm4,53 \\[10pt] x_{1/2}&\notin&]0;4[ \end{array}$

Da die Lösungen für $x$ nicht im gegebenen Intervall $]0,4[$ liegen, gibt es kein Trapez mit dem Flächeninhalt $28 \text{ cm}^2$ mit $x$ in diesem Intervall.

3.1

$\blacktriangleright$ Länge der Strecken $\overline{FM}$ und $\overline{GN}$ berechnen

In dieser Aufgabe sollst du die Länge der Strecke $[FM]$ und die Länge der Strecke $[GN]$ bestimmen. Hierbei hast du gegeben, dass der Winkel $\sphericalangle BFE= 77^{\circ}$ beträgt. Damit du die Länge der beiden Strecken berechnen kannst, benutzt du wieder den Tangens. Diesmal musst du die Formel aber umstellen, um die Streckenlängen bestimmen zu können.

Ermittle zuerst die Länge $\overline{AN}=\overline{BN}$ . Anschließend kannst im Dreieck $FMB$ die Länge der Strecke $[FM]$ und im Dreieck $GNB$ die Länge der Strecke $[GN]$ berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AN}&=& \frac{1}{2}\cdot \overline{AC} \\[5pt] &=& 2,5\text{ cm} \\[10pt] &=&\overline{BN}\\[5pt] \end{array}$

Für die Länge der Strecken $[FM]$ und $[GN]$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \tan\left(\alpha\right)&=&\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \\[10pt] \overline{FM} &=& \dfrac{\overline{BM}}{\tan\left(77^{\circ}\right)}\\[5pt] &=& \dfrac{4,5\text{ cm}}{\tan\left(77^{\circ}\right)}\\[5pt] &\approx& 1,04\text{ cm} \\[10pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{GN} &=& \dfrac{\overline{BN}}{\tan\left(77^{\circ}\right)}\\[5pt] &=& \dfrac{2,5\text{ cm}}{\tan\left(77^{\circ}\right)}\\[5pt] &\approx& 0,58\text{ cm} \\[10pt] \end{array}$

Somit beträgt die Länge der Strecke $\overline{FM}=1,04 \text{ cm}$ und die der Strecke $\overline{GN}=0,58\text{ cm}$ .

3.2

$\blacktriangleright$ Volumen berechnen

In dieser Aufgabe sollst du das Volumen $V$ eines solchen Spielzeugkreisels berechnen. Das Volumen des Spielzeugkreisels setzt sich zusammen aus einer halben Kugel und einem Kegelstumpf. Das Volumen der beiden Körper berechnest du mithilfe der jeweiligen Volumenformel. Für das Volumen einer Kugel gilt:

$V_{\text{Kugel}}= \frac{4}{3}\pi r^3$

Dabei bezeichnet $r$ den Radius der Kugel. Für das Volumen eines Kugelstumpfes gilt:

$V_{\text{Kegelstumpf}}= \dfrac{h\cdot\pi}{3}\cdot\left(R_1^2+R_1 \cdot R_2+R_2^2\right)$

Beim Kegelstupf bezeichnen $R_1$ und $R_2$ die Radien der jeweiligen Kreisflächen. Der Radius der Kugel ist hierbei mit $r=\overline{BN}$ gegeben. Für die Radien des Kegelstumpfes gelten $R_1=\overline{FM}$ und $R_2=\overline{GN}$ . Somit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Halbkugel}}&=& \frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi r^3 \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi \overline{BN}^3 \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi (2,5\text{ cm})^3 \\[5pt] &\approx& 32,72\text{ cm}^3 \\[10pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Kegelstumpf}}&=& \dfrac{h\cdot\pi}{3}\cdot\left(R_1^2+R_1 \cdot R_2+R_2^2\right) \\[5pt] &=& \dfrac{\overline{MN}\cdot\pi}{3}\cdot\left(\overline{FM}^2+\overline{FM} \cdot \overline{GN}+\overline{GN}^2\right) \\[5pt] &=& \dfrac{\left(\overline{BM}-\overline{BN}\right)\cdot\pi}{3}\cdot\left(\overline{FM}^2+\overline{FM} \cdot \overline{GN}+\overline{GN}^2\right) \\[5pt] &=& \dfrac{\left(4,5\text{ cm}-2,5\text{ cm}\right)\cdot\pi}{3}\cdot\left(\left(1,04\text{ cm}\right)^2+1,04\text{ cm} \cdot 0,58\text{ cm}+\left(0,58\text{ cm}\right)^2\right) \\[5pt] &=& \dfrac{2\text{ cm}\cdot\pi}{3}\cdot\left(\left(1,04\text{ cm}\right)^2+1,04\text{ cm} \cdot 0,58\text{ cm}+\left(0,58\text{ cm}\right)^2\right) \\[5pt] &\approx& 4,23 \text{ cm}^3 \\[10pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} V&=& V_{\text{Halbkugel}} + V_{\text{Kegelstumpf}} \\[5pt] &=& 32,72\text{ cm}^3+4,23\text{ cm}^3 \\[5pt] &=& 36,95\text{ cm}^3 \end{array}$

Das Volumen eines solchen Spielzeugskreisels beträgt $V=36,95\text{ cm}^3$ .

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