Teil A

Aufgabe A1

1.0 Die Skizze zeigt den Grundriss eines Hafenbeckens.
Ein Schiff befindet sich an der Position $S$ .
Es gilt:
$\sphericalangle BAC=58^{\circ}$ ; $\sphericalangle ACB=16^{\circ}$ ; $\sphericalangle SBA=68^{\circ}$ ; $\overline{AB}=182\,\text{m}$ ; $\overline{AC}=635\,\text{m}$ ; $\overline{BS}=353\,\text{m}$ .

Runde im Folgenden auf ganze Meter.

1.1 Berechne die Länge der Strecke $[BC]$ .

[Ergebnis: $\overline{BC}=560\,\text{m}$ ]

(1P)

1.2 Bestimme durch Rechnung, wie weit die Position $S$ vom Punkt $C$ entfernt ist.

[Teilergebnis: $\sphericalangle CBS=38^{\circ}$ ; Ergebnis: $\overline{SC}=356\,\text{m}$ ]

(2P)

1.3 Das Schiff entfernt sich von $C$ , bis es die Position $P$ erreicht. $P$ liegt auf der Halbgeraden $[CS$ und hat die kleinstmögliche Entfernung vom Punkt $A$ .

Berechne die Länge der Strecke $[AP]$ .

(2P)

Aufgabe A2

2.0 Gegeben sind die Parabel $p$ mit $y=-0,25(x-3)^2-2,5$ und die Gerade $g$ mit $y=-0,5x+4$ ( $\mathbb{G}=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ ).

2.1 Zeige durch Rechnung, dass sich die Gleichung der Parabel $p$ auf die Form $y=-0,25x^2+1,5x-4,75$ bringen lässt und zeichne die Parabel $p$ für $x=[-1;7]$ und die Gerade $g$ in das Koordinatensystem ein.

(3P)

2.2 Punkte $A_n(x\mid -0,5x+4)$ auf der Geraden $g$ und Punkte $D_n(x\mid -0,25x^2+1,5x-4,75)$ auf der Parabel $p$ haben dieselbe Abszisse $x$ und sind Eckpunkte von Rechtecken $A_nB_nC_nD_n$ mit $\overline{A_nB_n}=1,5\cdot \overline{A_nD_n}$ .

Zeichne das Rechteck $A_1B_1C_1D_1$ für $x=5$ in das Koordinatensystem zu A 2.1 ein.

(1P)

2.3 Berechne die Länge der Seiten $[A_nD_n]$ der Rechtecke $A_nB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ und ermittle sodann rechnerisch den Umfang $u(x)$ der Rechtecke $A_nB_nC_nD_n$ .

[Ergebnis: $u(x)=(1,25x^2-10x+43,75)\,\text{LE}$ ]

(2P)

2.4 Die Rechtecke $A_2B_2C_2D_2$ und $A_3B_3C_3D_3$ haben einen Umfang von $28,75\,\text{LE}$ .

Berechne die zugehörigen Werte für $x$ .

(2P)

2.5 Um wie viel Prozent nimmt der Flächeninhalt $A$ der Rechtecke $A_nB_nC_nD_n$ aus A 2.2 zu, wenn man die Seitenlänge $[A_nD_n]$ verdoppelt?

Kreuze an.

▢	▢	▢	▢
$100\,\%$	$150\,\%$	$200\,\%$	$300\,\%$

(1P)

Aufgabe A3

3.0 Die nachfolgende Skizze zeigt den Axialschnitt eines Rotationskörpers mit der Rotationsachse $ME$ und dient als Vorlage für eine Lampe, die aus einer Plexiglasscheibe und einem Lampenschirm besteht.

Es gilt:
$\overline{AB}=45\,\text{cm}$ ; $\overline{BC}=2\,\text{cm}$ ; $\overline{KL}=36\,\text{cm}$ ; $\overline{ME}=13,5\,\text{cm}$ ; $\overline{MF}=12\,\text{cm}$ .

Für den Durchmesser $[GH]$ des Halbkreisbogens $\,\Large^\frown\small{\hspace{-0.78cm}HG}$ gilt: $\overline{GH}=9\,\text{cm}$ .

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

3.1 Berechne das Volumen $V$ der Plexiglasscheibe.

(1P)

3.2 Ermittle rechnerisch den Inhalt $A$ der Außenfläche den Lampenschirms.

(4P)

Aufgabe A1

1.1 $\blacktriangleright$ Länge der Strecke $\overline{BC}$ berechnen

Um die Strecke $\overline{BC}$ zu berechnen, muss der Kosinussatz angewandt werden:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha).$

Die Strecken $\overline{AB}$ , $\overline{AC}$ und der Winkel $\sphericalangle BAC$ des Dreiecks ABC sind gegeben. Wähle nun $a = 182$ , $b = 635$ , $\alpha = 58^{\circ}$ :

$\begin{array}[t]{rll} c^2 &=& a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha) \\[5pt] &=& 182^2 + 635^2 - 2 \cdot 182 \cdot 635 \cdot \cos(58^{\circ}) \\[5pt] &\approx& 33.124 + 40.3225 - 122.485,5387 \\[5pt] &=& 313.863,4613. \end{array}$

Ziehe die Wurzel aus $c^2$ :

$c = \sqrt{c^2} = \sqrt{313.863,4613} \approx 560\,\text{m}.$

Die Strecke $\overline{BC}$ ist $560\,\text{m}$ lang.

1.2 $\blacktriangleright$ Länge der Strecke $\overline{SC}$ berechnen

Die Entfernung von C nach S ist genau die Strecke $\overline{SC}$ . Um diese Strecke zu bestimmen, wende erneut den Kosinussatz an. Die Strecken $\overline{BS}$ und $\overline{BC}$ des Dreiecks $BCS$ sind gegeben. Um den Kosinussatz anwenden zu können muss noch der gegenüberliegende Winkel der Strecke $\overline{SC}$ , $\sphericalangle SBC$ , bestimmt werden.

1. Schritt: $\sphericalangle SBC$ bestimmen

Bezeichne den Schnittpunkt der Strecken $\overline{AC}$ und $\overline{BS}$ als D. Die Winkel des Dreicks $ABD$ sind bis auf den Winkel bei D gegeben. Die Winkelsumme eines Dreiecks beträgt $180^{\circ}$ . Somit ist der Winkel $\sphericalangle ADB$ gegeben durch

$\sphericalangle ADB = 180^{\circ} - \sphericalangle BAC - \sphericalangle SBA = 54^{\circ}.$

Daraus folgt, dass der Nebenwinkel von $\sphericalangle ADB$

$\sphericalangle CDB = 180^{\circ} -54^{\circ} = 126^{\circ}$ beträgt.

Nun sind zwei der drei Winkel des Dreiecks BCD gegeben, sodass der Winkel $\sphericalangle SBC$ erneut über die Winkelsumme des Dreiecks bestimmt werden kann:

$\sphericalangle SBC = 180^{\circ} - 126^{\circ} - 16^{\circ} = 38^{\circ}$

2. Schritt: Kosinussatz anwenden

Wende nun den Kosinussatz analog zur Teilaufgabe 1.1 an: Wähle $a = 353$ , $b = 560$ , $\alpha = 38^{\circ}$

$\begin{array}[t]{rll} c^2 &=& 353^2 + 560^2 - 2 \cdot 353 \cdot 560 \cdot \cos(38^{\circ}) \\[5pt] &\approx& 124.609 + 313.600 - 311.547,9315 \\[5pt] &=& 126.661,06885 \end{array}$

Ziehe nun die Wurzel aus $c^2$ :

$c = \sqrt{c^2} = \sqrt{126.661,06885} \approx 356$

Die Entfernung von $C$ nach $S$ beträgt $356\,\text{m}$ .

1.3 $\blacktriangleright$ Länge der Strecke $\overline{SC}$ berechnen

Der kleinste Abstand von A zur Halbgeraden $\overline{SC}$ ist der Punkt P der im Dreieck $ACP$ bei P einen rechten Winkel hat. Wende in diesem Fall den Sinussatz an:

$\dfrac{a}{sin(\alpha)} = \dfrac{b}{sin(\beta)} = \dfrac{c}{sin(\gamma)} = \dfrac{abc}{2A} = 2R$

1. Schritt: Bestimme den Winkel $\sphericalangle ACS$

Bestimme hierzu mit Hilfe des Sinussatzes zuerst den Winkel $\sphericalangle BCS$ . Wähle dabei $a = 353$ , $\alpha =\sphericalangle BCS$ , $b = 356$ , $\beta = 38°$ :

$\dfrac{a}{sin(\alpha)} = \dfrac{353}{sin(\sphericalangle BCS)} = \dfrac{356}{sin(38^{\circ})} = \dfrac{b}{sin(\beta)}$

Forme die Gleichung nach $sin(\sphericalangle BCS)$ um:

$\begin{array}[t]{rll} sin(\sphericalangle BCS) &=& \dfrac{sin(38^{\circ})}{356} \cdot 353 \\[5pt] &\approx& 0,610 \end{array}$

Somit folgt, dass der Winkel $\sphericalangle BCS \approx sin^{-1}(0.610) \approx 37.62^{\circ}$ beträgt. Um nun den gesuchten Winkel $\sphericalangle ACS$ herauszufinden, ziehe $\sphericalangle BCA$ von $\sphericalangle BCS$ ab:

$\begin{array}[t]{rll} \sphericalangle ACS &=& \sphericalangle BCS -\sphericalangle BCA \\[5pt] &=&37,62^{\circ} - 16^{\circ} \\[5pt] &=& 21,62^{\circ} \end{array}$

2. Schritt: Sinussatz anwenden

Jetzt ist alles gegeben, um die Strecke $\overline{AP}$ zu bestimmen:

$\dfrac{\overline{AP}}{sin(21.62^{\circ})} = \dfrac{635}{sin(90^{\circ})}$

Forme die Gleichung nach $\overline{AP}$ um:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AP} &=& \dfrac{635}{sin(90^{\circ})} \cdot sin(21.62^{\circ}) \\[5pt] &\approx&\dfrac{635}{1} \cdot 0.37 \\[5pt] &=& 234.95\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 235\,\text{m} \end{array}$

Somit ist die Länge der Strecke $\overline{AP} = 235$ m.

Aufgabe A2

2.1 $\blacktriangleright$ Termumformung; Schaubild zeichnen

1. Schritt: Termumformung

Löse die Klammer im Term auf, um auf die gesuchte Form zu kommen. Verwende dazu die zweite binomische Formel:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Somit erhält man

$\begin{array}[t]{rll} y &=& -0,25(x-3)^2 - 2,5 \\[5pt] &=& -0,25(x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x + 9) - 2,5 \\[5pt] &=&-0,25x^2 + 1,5x - 2,25 - 2,5 \\[5pt] &=& -0,25x^2 + 1,5x - 4,75 \end{array}$

2. Schritt: Parabel und Gerade zeichnen

Um die Parabel zu zeichnen, zeichne folgende Punkte in das Koordinatensystem ein

$x$	-1	0	1	2	3	4	5	6	7
$y=-0,25x^2 + 1,5x - 4,75$	-6,5	-4,75	-3,5	-2,75	-2,5	-2,75	-3,5	-4,75	-6,5

und orientiere dich beim Zeichnen der Parabel an diesen Punkten. Um die Gerade zu zeichnen, reicht es zwei Punkte, z.B.

$x$	0	1
$y=-0,5x + 4$	4	3,5

einzuzeichnen und anschließend eine Gerade durch diese zu ziehen.

2.2 $\blacktriangleright$ Rechteck $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ zeichnen

Um das Rechteck $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ zu zeichnen, berechne die Koordinaten der Punkte $A_{n}$ und $D_{n}$ . Die Koordinaten der Punkte $B_{n}$ und $C_{n}$ ergeben sich aus der Bedingung $\overline{A_{1}B_{1}} = 1,5 \cdot \overline{A_{1}D_{1}}$ .

1. Schritt: Berechne die Koordinaten der Punkte $A_{n}$ und $D_{n}$

Setze hierzu $x=5$ :

$A_{1} = (5 \,\ | \,\ -0,5 \cdot 5 + 4) = (5 \,\ | \,\ 1,5)$

$D_{1} = (5 \,\ | \,\ -0,25 \cdot 5^2 + 1,5 \cdot 5 - 4,75) = (5 \,\ | \,\ -3,5)$

2. Schritt: Berechne die Koordinaten der Punkte $B_{n}$ und $C_{n}$

Die Strecke $\overline{A_{1}D_{1}}$ beträgt 5 LE. Somit ist die Strecke

$\overline{A_{1}B_{1}} = 1,5 \cdot \overline{A_{1}D_{1}} = 1,5 \cdot 5 = 7,5$ LE,

d.h. es gibt zwei mögliche Punkte die vom Punkt $A_{1}$ den Abstand $7,5$ LE und als y-Koordinate $1,5$ haben: $(12,5 \,\ | \,\ 1,5)$ und $(-2,5, \,\ | \,\ 1,5)$ . Da aber die Beschriftung der Eckpunkte gegen den Uhrzeigersinn verläuft, sind die Koordinaten von $B_ {1}$ eindeutig festgelegt durch $(-2,5 \,\ | \,\ 1,5)$ und folglich die von $C_ {1}$ $(-2,5 \,\ | \,\ -3,5)$ .

2.3 $\blacktriangleright$ Umfang des Rechtecks $A_{n}B_{n}C_{n}D_{n}$ berechnen

Stelle eine Formel für den Umfang des Rechtecks auf und vereinfache soweit wie möglich. Berechne anschließend die Länge der Seite/Seiten von der/denen der Umfang abhängt.

1. Schritt: Formel für den Umfang des Recktecks aufstellen

Der Umfang des Rechtecks $A_{n}B_{n}C_{n}D_{n}$ ist die Summe aller Seiten:

$\begin{array}[t]{rll} u &=& \overline{A_{n}B_{n}} + \overline{B_{n}C_{n}} + \overline{C_{n}D_{n}} + \overline{D_{n}A_{n}} \\[5pt] &=& 2 \cdot \overline{A_{n}B_{n}} + 2 \cdot \overline{A_{n}D_{n}} \\[5pt] &=& 2 \cdot 1,5 \cdot \overline{A_{n}D_{n}} + 2 \cdot \overline{A_{n}D_{n}} \\[5pt] &=& 5 \cdot \overline{A_{n}D_{n}} \end{array}$

Der Umfang des Rechtecks hängt also nur von der Strecke $\overline{A_{n}D_{n}}$ ab.

2. Schritt: Strecke $\overline{A_{n}D_{n}}$ berechnen

Die x-Koordinaten der Punkte $A_{n}$ und $D_{n}$ sind gleich, d.h. die Strecke $\overline{A_{n}D_{n}}$ ist somit die Differenz der beiden y-Koordinaten von $A_{n}$ und $D_{n}$ :

$\begin{array}[t]{rll} \overline{A_{n}D_{n}} &=& -0,5x + 4 - (-0,25x^2 + 1,5x - 4,75) \\[5pt] &=& -0,5x + 4 + 0,25x^2 - 1,5x + 4,75 \\[5pt] &=& 0,25x^2 - 2x + 8,75 \end{array}$

Setze das Ergebnis in die obige Formel für den Umfang ein und erhalte:

$\begin{array}[t]{rll} u(x) &=& 5 \cdot \overline{A_{n}D_{n}} \\[5pt] &=& 5 \cdot (0,25x^2 - 2x + 8,75) \\[5pt] &=& 1,25x^2 - 10x + 43,75 \end{array}$

2.4 $\blacktriangleright$ x-Koordinate von $A_{2}$ und $A_{3}$

Die Rechtecke $A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$ und $A_{3}B_{3}C_{3}D_{3}$ haben den Umfang $28,75$ LE, d.h. setze den Term für den Umfang $u(x) = 28,75$ und löse die Gleichung nach $x$ auf, sodass man die x-Koordinate für $A_2$ bzw. $A_3$ bekommt.

$\begin{array}[t]{rll} 28,75 &=& 1,25x^2 - 10x + 43,75 \quad \scriptsize \mid\; -28,75\\[5pt] 0 &=& 1,25x^2 - 10x + 15 \quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{4}{5} \\[5pt] 0 &=& x^2 - 8x + 12 \end{array}$

Bestimme nun die Nullstellen von $x^2 - 8x + 12$ mit Hilfe der pq-Formel:

Gleichung: $x^2 + px + q = 0$ , Lösung: $x_{1/2} = \dfrac{-p}{2} \pm \sqrt{{\left( \dfrac{p}{2} \right) }^2 -q}$

Somit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& \dfrac{-(-8)}{2} \pm \sqrt{\left( \dfrac{-8}{2} \right) ^2 -12} \\[5pt] &=& 4 \pm \sqrt{16-12} \\[5pt] &=& 4 \pm 2. \\[5pt] x_1 &=& 4 + 2 = 6, \\[5pt] x_2 &=& 4 - 2 = 2 \end{array}$

Die beiden Lösungen der Parabelgleichung sind $x_1 = 6$ und $x_2 = 2$ , d.h. wenn die x-Koordinate von $A$ gleich $6$ bzw. $2$ ist, ist der Umfang des Rechtecks $ABCD$ $28,75$ LE.

2.5 $\blacktriangleright$ Prozentuale Zunahme des Flächeninhalts des Rechtecks $A_{n}B_{n}C_{n}D_{n}$

Der Flächeninhalt eines Rechtecks A ist gegeben durch:

$A = \,\text{Länge} \cdot \,\text{Höhe}$

Berechne also den Flächeninhalt des Rechtecks mit der Länge $\overline{A_{n}B_{n}}$ und mit der Länge $1,5 \cdot \overline{A_{n}B_{n}}$ , bilde dann die Differenz und berechne den prozentualen Anteil mit Hilfe der Formel für die Prozentrechnung.

$\begin{array}[t]{rll} A &=& \overline{A_{n}B_{n}} \cdot \overline{A_{n}D_{n}} \\[5pt] &=& 1,5 \cdot \overline{A_{n}D_{n}} \cdot \overline{A_{n}D_{n}} \\[5pt] &=& 1,5 \cdot \overline{A_{n}D_{n}}^2 \end{array}$

Verdoppelt man nun die Strecke $\overline{A_{n}D_{n}}$ ist der Flächeninhalt $\tilde{A}$ :

$\begin{array}[t]{rll} \tilde{A}&=& 1,5 \cdot (2 \cdot \overline{A_{n}D_{n}})^2\\[5pt] &=& 1,5 \cdot 4 \cdot \overline{A_{n}D_{n}}^2 \\[5pt] &=& 6 \cdot \overline{A_{n}D_{n}}^2 \end{array}$

Die Differenz zwischen $\tilde{A}$ und $A$ beträgt

$\begin{array}[t]{rll} \tilde{A} - A &=& 6 \cdot \overline{A_{n}D_{n}}^2 - 1,5 \cdot \overline{A_{n}D_{n}}^2 \\[5pt] &=& 4,5 \cdot \overline{A_{n}D_{n}}^2 \end{array}$

Somit ist die prozentuale Zunahme des Flächeninhalts

$\dfrac{4,5 \cdot \overline{A_{n}D_{n}}^2}{1,5 \cdot \overline{A_{n}D_{n}}^2} = 3 = 300\,\%$

Aufgabe A3

3.1 $\blacktriangleright$ Volumen der Plexiglasscheibe

Da es sich bei der Plexiglasscheibe um einen Rotationskörper handelt, ist das Volumen gerade das Volumen des Zylinders der Höhe $\overline{BC}$ und des Radius‘ $\overline{AB}.$ Das Zylindervolumen ist gegeben durch

$V_{Zylinder} = G \cdot h = \pi \cdot r^2 \cdot h.$

$\pi \cdot 22,5^2 \cdot 2 \approx 3.180,86\,\text{cm}^3$ .

Somit beträgt das Volumen der Plexiglasscheibe $3.180,86\,\text{cm}^3$ .

3.2 $\blacktriangleright$ Inhalt A der Außenfläche des Lampenschirms

Um den Inhalt der Außenfläche des Lampenschirms zu berechnen, unterteil ihn in zwei Teile - den Kegelstumpf der Höhe $\overline{NM}$ und der Halbkugel mit dem Radius $\overline{GH}$ und addiere die beiden Flächen.

1. Schritt: Inhalt des Kegelstumpfs

Der Flächeninhalt der Mantelfläche eines Kegelstumpfes ist

$M = (R + r) \cdot \pi \cdot m.$

Dabei ist $R = \overline{ML}$ , $r = \overline{NH}$ , $m = \overline{HL}$ . Die Strecke $\overline{HL}$

$\overline{HL} = \sqrt{13,5^2 + 9^2} \approx 16,22\,\text{cm}$ .

Somit ist der Flächeninhalt der Mantelfläche des Kegelstumpfes

$M_{Kegelstumpf} = (18 + 4,5) \cdot \pi \cdot 16,22 \approx 1.146,52.\,\text{cm}^2$

2. Schritt: Inhalt der Halbkugel

Der Oberflächeninhalt einer Kugel ist

$A_O = 4 \pi r^2$

Der Oberflächeninhalt der Halbkugel mit Durchmesser $\overline{GH}$ (und Radius $\dfrac{\overline{GH}}{2}$ ) ist daher:

$A_{Halbkugel} = \dfrac{4 \cdot \pi \cdot 4,5^2}{2} \approx 127,23\,\text{cm}^2$

3. Schritt: Inhalt des Lampenschirms

Der Flächeninhalt des gesamten Lampenschirms ist somit:

$M_{Kegelstumpf} + A_{Halbkugel} = 1.146,52\,\text{cm}^2 + 127,23\,\text{cm}^2 = 1.273,45\,\text{cm}^2$