Teil B

Aufgabe B 1

1.0

Die Parabel $p$ mit dem Scheitel $S(4\mid -2)$ hat eine Gleichung der Form $y=0,25x^2 + bx + c$ mit $\mathbb{G} =$ $\mathbb{R}$ x $\mathbb{R}$ und $b, c \in \mathbb{R}$ .

Die Gerade $g$ hat die Gleichung $y=0,5x + 2$ mit $\mathbb{G} =$ $\mathbb{R}$ x $\mathbb{R}$ .

1.1

Zeige durch Rechnung, dass die Parabel $p$ die Gleichung $y=0,25x^2 - 2x + 2$ hat.

Zeichne sodann die Parabel $p$ sowie die Gerade $g$ für $x\in [-1;11]$ in ein Koordinatensystem ein.

Für die Zeichnung: Längeneinheit $1\,\text{cm}$ ; $-1\leqq x\leqq 11$ ; $-3\leqq y\leqq 11$

(3P)

1.2

Die Punkte $A(0\mid 2)$ und $C(10\mid 7)$ sind die Schnittpunkte der Parabel $p$ mit der Geraden $g$ . Sie sind zusammen mit Punkten $B_n(x\mid 0,25x^2 -2x +2)$ auf der Parabel $p$ Eckpunkte von Drachenvierecken $AB_1CD_1$ für $x=6$ in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein und gib das Intervall für $x$ an, für das es Drachenvierecke $AB_nCD_n$ gibt.

(2P)

1.3

Zeige rechnerisch, dass das Drachenviereck $AB_1CD_1$ bei $B_1$ rechtwinklig ist.

(3P)

1.4

Unter den Drachenvierecken $AB_nCD_n$ gibt es die Drachenvierecke $AB_2CD_2$ und $AB_3CD_3$ , bei denen die Eckpunkte $B_2$ und $B_3$ auf der $x$ -Achse liegen.

Bestimme rechnerisch die Koordinaten der Punkte $B_2$ und $B_3$ .

(2P)

1.5

Bestätige durch Rechnung, dass für den Flächeninhalt $A$ der Drachenvierecke $AB_nCD_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_n$ gilt:

$A(x)=(-2,5x^2 + 25x)FE$ .

(3P)

1.6

Unter den Drachenvierecken $AB_nCD_n$ gibt es die Raute $AB_4CD_4$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $M$ in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.

Ermittle sodann rechnerisch die Gleichung der Geraden $MB_4$ .

[Teilergebnis: $M(5\mid 4,5)$ ]

(4P)

Aufgabe B 2

2.0

Das rechtwinklige Dreieck $ABC$ mit der Hypotenuse $[BC]$ ist die Grundfläche der Pyramide $ABCS$ (siehe Skizze).

Die Spitze $S$ liegt senkrecht über dem Punkt $A$ .

Es gilt: $\overline{AC} = 10\,\text{cm}$ ; $\overline{AB} = 7\,\text{cm}$ ; $\overline{AS} = 9\,\text{cm}$ .

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Abb. 1

2.1

Zeichne das Schrägbild der Pyramide $ABCS$ , wobei die Strecke $[AC]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $C$ links vom Punkt $A$ liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: $q=0,5; \omega = 45^{\circ}$ .

Bestimme sodann rechnerisch die Länge der Strecke $[CS]$ und das Maß $\epsilon$ des Winkels $ACS$ . [Ergebnisse: $\overline{CS}=13,45\,\text{cm}$ ; $\epsilon = 41,99^{\circ}$ ]

(4P)

2.2

Für Punkte $F_n$ auf der Strecke $[AC]$ gilt $\overline{AF_n}(x)=x\,\text{cm}$ mit $x\in \mathbb{R}$ und $0\lt x\lt 10$ . Die Punkte $F_n$ sind Eckpunkte von Rechtecken $AD_nE_nF_n$ mit $D_n\in [AB]$ und $E_n\in [BC]$ .

Zeichne das Rechteck $AD_1E_1F_1$ für $x=4$ in das Schrägbild zu B 2.1 ein.

Berechne sodann die Länge der Strecken $[E_nF_n]$ in Abhängigkeit von $x$ und ermittle rechnerisch den Wert für $x$ , für den man das Quadrat $AD_0E_0F_0$ erhält.

[Ergebnis: $\overline{E_nF_n}(x)=(-0,7x+7)\,\text{cm}$ ]

(4P)

2.3

Berechne den Flächeninhalt $A$ der Rechtecke $AD_nE_nF_n$ in Abhängigkeit von $x$ .

Bestimme sodann den Wert für $x$ , für den der Flächeninhalt der Rechtecke $AD_nE_nF_n$ maximal wird.

(2P)

2.4

Der Punkt $T$ liegt auf der Strecke $[CS]$ mit $\overline{TS} = 2\,\text{cm}$ . $T$ ist die Spitze von Pyramiden $AD_nE_nF_nT$ mit den Rechtecken $AD_nE_nF_n$ als Grundflächen und der Höhe $h$ .

Zeichne die Pyramide $AD_1E_1F_1T$ und die Höhe $h$ in das Schrägbild zu B 2.1 ein. Zeige sodann, dass gilt: $h=7,66\,\text{cm}$ .

(3P)

2.5

Begründe, dass für das Maß $\alpha$ der Winkel $TF_nC$ gilt: $\alpha\lt 138,01^{\circ}$ .

Berechhne anschließend die untere Intervallgrenze für $\alpha$ .

[Teilergebnis: $\overline{AT}=7,80\,\text{cm}$ ]

(4P)

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[1]

Aufgabe B1

1.1

$\blacktriangleright$ Parabelgleichung bestimmen

In dieser Aufgabe sollst du durch Rechnung zeigen, dass die Parabel $p$ die Gleichung $y=0,25x^2-2x+2$ besitzt. Du hast in der Aufgabe den Scheitelpunkt $S(4 \mid -2)$ gegeben. Damit kannst du die Scheitelformel verwenden, um die Gleichung der Parabel herzuleiten.

$y=a\cdot (x-x_S)^2 + y_S$

Den Wert für $a=0,25$ hast du in der Aufgabe gegeben und $x_S$ und $y_S$ sind die $x$ - und $y$ -Koordinaten des Scheitelpunktes. Diese Werte kannst du in die Scheitelform einsetzen.

$\begin{array}[t]{rll} y&=& a \cdot (x-x_S)^2 + y_S) \\[5pt] &=& 0,25 \cdot (x-4)^2 -2) \\[10pt] &=& 0,25 \cdot (x^2 -8x +16) -2 \\[10pt] &=& 0,25 x^2 -2x +2\\[10pt] \end{array}$

Somit hast du gezeigt, dass die Parabel $p$ die Gleichung $y=0,25x^2 -2x +2$ besitzt.

$\blacktriangleright$ Parabel $\boldsymbol{p}$ und Gerade $\boldsymbol{g}$ skizzieren

Die Gerade $g$ kannst du mit Hilfe eines Steigungsdreiecks und dem $y$ -Achsenabschnitt einzeichnen. Für den Graphen der Parabel $p$ ist es am einfachsten, wenn du als erstes eine Wertetabelle anlegst und anschließend die Punkte einzeichnest und verbindest.

$x$ -Wert	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$
$y$ -Wert	$2$	$-1$	$-2$	$-1$	$2$

Abb. 1: Funktionen im Koordinatensystem

1.2

$\blacktriangleright$ Drachenviereck einzeichnen

Bei dieser Aufgabe sollst du das Drachenviereck $AB_1CD_1$ für $x=6$ einzeichnen. Hierbei hast du gegeben, dass die Punkte $A(0 \mid 2)$ und $C(10 \mid 7)$ die Schnittpunkte der Parabel $p$ mit der Geraden $g$ sind. Außerdem weißt du, dass die Punkte $B_n$ die Koordinaten $B_n(x \mid 0,25x^2-2x+2)$ haben. Auch ist in der Aufgabe gegeben, dass die Gerade $g$ die Symmetrieachse des Drachenvierecks ist. Bestimme als erstes die Koordinaten des Punktes $B_1$ , zeichnest die Punkte $A$ , $C$ und $B_1$ in das Koordinatensystem ein und spiegle den Punkt $B_1$ an der Geraden $g$ um den vierten Punkt $D_1$ zu erhalten.

$B_1(6 \mid -1)$

Abb. 2: Drachenviereck

Nun sollst du noch das Intervall für $x$ angeben, für das es Drachenvierecke $AB_nCD_n$ gibt. Drachenvierecke gibt es solange der Punkt $B_n$ innerhalb der beiden Schnittpunkte liegt. Folglich muss gelten $x\in$ ]0;10[.

1.3

$\blacktriangleright$ Rechtwinkligkeit nachweisen

Du sollst nun rechnerisch zeigen, dass das Drachenviereck, aus der Aufgabe zuvor, bei $B_1$ rechtwinklig ist. Wenn du dir vorstellst, dass durch die Punkte $A$ und $B_1$ und durch die Punkte $B_1$ und $C$ jeweils eine Gerade festgelegt ist, weißt du, dass zwei Geraden sich orthogonal schneiden, wenn folgende Formel erfüllt ist.

$m_g \cdot m_h = -1$

Ist diese Gleichung erfüllt, dann ist der Winkel im Punkt $B_1$ rechtwinklig. Die Steigung der Geraden kannst du mit der folgenden Formel berechnen.

$m_g \cdot m_h = -1$

$m_{AB_1}=\dfrac{-1-2}{6-0}=-\dfrac{3}{6}=-\dfrac{1}{2}$

$m_{AB_1}=\dfrac{7-(-1)}{10-6}=\dfrac{8}{4}=2$

$m_{AB_1} \cdot m_{AB_1} = -\frac{1}{2}\cdot 2 = -1$

Da gilt $m_{AB_1} \cdot m_{AB_1} = -1$ hast du geziegt, dass das Drachenviereck im Punkt $B_1$ rechtwinklig ist.

1.4

$\blacktriangleright$ Koordinaten von $B_2$ und $B_3$ berechnen

Nun sollst du die Koordinaten der Punkte $B_2$ und $B_3$ berechnen. Hierfür setzt du die Parabelgleichung gleich Null, denn alle Punkte auf der $x$ -Achse haben den Funktionswert Null. Diese Gleichung löst du nach $x$ auf und erhältst so die $x$ -Koordinaten der beiden Punkte. Am einfachste kannst du die Nullstellen berechnen, wenn du die Gleichung so umstellst, dass du die $pq$ -Formel anwenden kannst.

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 4+\sqrt{8}=1,17 \\[5pt] x_2&=& 4-\sqrt{8}=6,83 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Damit lauten die Koordinaten von $B_2\left(1,17 \mid 0\right)$ und $B_3\left(6,83\mid 0\right)$ .

1.5

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Drachendvierecks berechnen

In dieser Aufgabe berechnest du den Flächeninhalt des Drachendreiecks. Das Drachendreieck besteht aus zwei kongruenten Dreiecken, da $g$ die Symmetrieachse ist. Also kann der gesamte Flächeninhalt als Rechteck mit den Seiten $\overrightarrow{AB_n}$ und $\overrightarrow{AC}$ aufgefasst werden. Berechne also zuerst die beiden Seiten und anschließend kannst du den Flächeninhalt berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB_n}&=& \pmatrix{x-0 \\ 0,25x^2-2x+2-2 } \\[5pt] &=& \pmatrix{x \\ 0,25x^2-2x }\\[5pt] \overrightarrow{AC}&=& \pmatrix{10-0 \\ 7-2 } \\[5pt] &=& \pmatrix{10 \\ 5 }\\[15pt] A(x)&=& 2\cdot \frac 1 2 \mid\overrightarrow{AB_n}\cdot\overrightarrow{AC}\mid \\[5pt] &=& \,\bigg \vert \,\begin{matrix} x & 10 \\ 0,25x^2-2x & 5 \end{matrix} \,\bigg \vert \, \\[5pt] &=& x\cdot 5 - \left(10 \cdot \left(0,25x^2-2x\right)\right) \\[5pt] &=& 5x - \left(2,5x^2-20x\right) \\[5pt] &=& -2,5x^2+25x \end{array}$

Der Flächeninhalt des Drachenvierecks beträgt also $A(x)=-2,5x^2+25x$ .

1.6

$\blacktriangleright$ Raute $\boldsymbol{AB_4CD_4}$ zeichnen

In dieser Aufgabe sollst du eine Raute einzeichnen die durch die vier Punkte $A$ , $B_4$ , $C$ und $D_n$ festgelegt ist. Du weißt bereits, dass die Raute einen Diagonalschnittpunkt $M$ hat. Die Diagonalen einer Raute schneiden sich orthogonal in einem Mittelpunkt, welcher die Diagonalen halbiert.

Eine Diagonal hast du schon gezeichnet. Das ist die Gerade $g$ die durch die Eckpunkte $A$ und $C$ beschrenkt wird. Du kannst somit auf die Hälfte der Strecke den Mittelpunkt einzeichnen. Ausgehend vom Mittelpuntk kannst du dann die Punkte $B_4$ und $D_4$ konstruieren, indem du mit der Gleichen Länge eine orthogonale Strecke zur Gerade $g$ einzeichnest.

Abb. 3: Raute einzeichnen

$\blacktriangleright$ Gleichung der Geraden $MB_4$ bestimmen

Um eine Gerade bestimmen zu können, benötigst du mindestens einen Punkte der auf der gesuchten Geraden liegt und die Steigung der Geraden. Du kannst also als erstes die Koordinaten des Mittelpunktes $M$ berechnen.

$M\; \left(\dfrac{x_1+x_2}{2} \mid \dfrac{y_1+y_2}{2} \right)$

Die Steigung der Gerade $g$ hast du bereits berechnet und du weißt auch, dass siech die Gerade $G$ und die Gerade $MB_4$ orthogonal schneiden. Es gilt also $m_g\cdot m_h=-1$ . Anschließend kannst du in die allgemeine Form der Geradengleichung die Koordinaten des Punktes $M$ und die Steigung einsetzen. Du kannst den Parameter $c$ berechnen und die Geradengleichung aufstellen.

1. Schritt: Korrdinaten des Punktes $M$ berechnen

$M\;\left( \dfrac{0+10}{2} \mid \dfrac{7+2}{2} \right) = M\;(5 \mid 4,5)$

2. Schritt: Steigung der Geraden berechnen

$\begin{array}[t]{rll} m_{AC}&=& -\frac{1}{0,5} = -2 \end{array}$

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3. Schritt: Parameter \boldsymbol{ $c$ } berechnen und Geradengleichung aufstellen

$\begin{array}[t]{rll} y&=&m\cdot x +c \\[5pt] 4,5&=& -2 \cdot 5 +c &\quad \scriptsize \mid\; +10 \\[5pt] 14,5 &=& c \end{array}$

$y= -2x +14,5$

Die Gleichung der Geraden $MB_4$ lautet somit $y=-2x+14,5$ .

Aufgabe B2

2.1

$\blacktriangleright$ Schrägbild der Pyramide zeichnen

In dieser Aufgabe sollst du das Schrägbild einer Pyramide zeichnen. Du weißt, dass das Dreieck $ABC$ rechtwinklig ist und die Hypothenuse [BC] ist. Der rechte Winkel muss somit am Punkt $A$ sein. Du hast außerdem noch gegeben, dass die Spitze $S$ senkrecht über dem Punkt $A$ liegt. Mit diesen Angaben und den gegebenen Längen der Strecken kannst du das Schrägbild zeichnen. Beachte dabei, dass die Strecke [AC] auf der Schrägbildachse und der Punkt $C$ links vom Punkt $A$ liegt. Du erhältst dann folgendes Schaubild:

Abb. 4: Pyramide

$\blacktriangleright$ Länge der Strecke $\boldsymbol{[CS]}$ berechnen

Jetzt sollst du die Länge der Strecke $[CS]$ berechnen. Betrachte dazu das Dreieck $ACS$ . Dieses Dreieck ist rechtwinklig und du kannst mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Strecke [CS] berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} [CS] &\approx& 13,45 cm \\[10pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Strecke $[CS]$ ist ungefähr $13,45\;\text{cm}$ lang.

$\blacktriangleright$ Winkel $\boldsymbol{\omega}$ berechnen

In dieser Aufgabe sollst du den Winkel $\omega$ im Punkt $C$ berechnen. Dazu ist es am einfachsten, wenn du den Tangens-Satz benutzt, wobei auch der Sinus- und Cosinus-Satz möglich währen, du aber beim Tagens-Satz nicht mit gerundeten Werten rechnen musst. Es gilt:

$\tan(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Du kannst die Länge der Strecken in die Formel einsetzen um den Winkeln $\omega$ zu berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\omega) &=& \dfrac{[AS]}{[AC]} \\[5pt] &=& \dfrac{9}{10} &\quad \scriptsize \mid\; tan^{-1} \\[5pt] \omega &=& \tan^{-1}\left(\frac{9}{10}\right) \\[5pt] &=& 41,99° \end{array}$

Für den Winkel $\omega$ gilt $\omega=41,99°$

2.2

$\blacktriangleright$ Rechteck einzeichnen

Du sollst als erstes das Rechteck $AD_1E_1F_1$ in dein Schrägbild einzeichnen. Du weißt, dass die Strecke $[AC]= 4\;\text{cm}$ lang ist. Den Punkt $F_1$ kannst du einzeichnen, indem du auf der Kante $[AC]$ mit einem Abstand von $4\;\text{cm}$ vom Punkt $A$ abmist. Weiter weißt du, dass der Punkt $E_1$ auf der Kante $[BC]$ liegt. Da das Viereck ein Rechteck werden soll, muss die Strecke $[F_1E_1]$ senkrecht zur Strecke $[AF_1]$ sein. Weiter weißt du, dass die Strecke $[E_1F_1]$ auch $4\;\text{cm}$ lang sein. Verschiebe dein Geodreieck paralell zur Kante $[AC]$ und entlang der Kante $[AD]$ , bis die Kante des Geodreiecks bei $4\;\text{cm}$ die Kante $[BC]$ schneidet. Dieser Schnittpunkt ist der Punkt $E_1$ des Rechtecks. Den Punkt $D_1$ ist dann der Schnittpunkt einer Paralellen Geraden zur Kante $[AC]$ die durch den Punkt $E_1$ geht.

Abb. 5: Rechteck $AD_1E_1F_1$

$\blacktriangleright$ Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{E_nF_n}(x)}$ berechnen

Nun sollst du die Länge der Strecken $\overline{E_nF_n}$ in Abhängigkeit von $x$ berechnen. Diese berechnest du mithilfe des zweiten Strahlensatzes. Mit dem zweiten Strahlensatz gilt:

$\dfrac{\overline{E_nF_n}(x)}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{CF_n}}{\overline{CA}}$

Diese Gleichung kannst du nach $\overline{F_nE_n}$ umstellen und die Längen der anderen Strecken einsetzen. Die Länge der Strecke $\overline{CF}= (10-x)\;\text{cm}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{E_nF_n}(x)&=& (7 -0,7x) \;\text{cm} \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Strecke $[F_nE_n]$ ist $(7-0,7x)\;\text{cm}$ lang.

$\blacktriangleright$ Länge von $\boldsymbol{x}$ berechnen, wenn $\boldsymbol{AD_nE_nF_n}$ ein Quadrat ist

Jetzt sollst du noch den Wert für $x$ ermitteln, für den das Rechteck $AD_nE_nF_n$ quadratisch wird. Hierfür musst du bedenken, dass bei einem Quadrat alle vier Seiten gleich lang sind. Das bedeutet, dass die Strecke $\overline{AF_n}$ genau so lang sein muss, wie die Strecke $\overline{E_nF_n}$ . Mithilfe dieser Bedingung kannst du den Wert für $x$ bestimmen, denn du weißt, dass die Strecke $\overline{AF_n}=x\;\text{cm}$ lang ist.

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AF_n}&=& \overline{E_nF_n} \\[5pt] x &=& 7-0,7x &\quad \scriptsize \mid\; +0,7x \\[5pt] 1,7x &=& 7 &\quad \scriptsize \mid\; :1,7 \\[5pt] x&\approx& 4,12 \end{array}$

Damit das Rechteck quadratisch ist, muss gelten $x=4,12\;\text{cm}$ .

2.3

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Rechtecks $\boldsymbol{AD_nE_nF_n}$ in Abhängigkeit von $\boldsymbol{x}$ berechnen

In dieser Aufgabe sollst du den Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit von $x$ bestimmen. Da es sich um ein Rechteck handelt, kannst du den Flächeninhalt mithilfe der Seiten $\overline{AF_n}$ und $\overline{E_nF_n}$ berechnen. Die Länge der Strecke $[AF_n]$ hast du in der Aufgabe gegeben und die Länge der Strecke $[F_nE_n]$ hast du in der Aufgabe zuvor berechnet.

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \overline{AF_n} \cdot \overline{E_nF_n}\\[5pt] &=& x\;\text{cm} \cdot (7-0,7x)\;\text{cm} \\[5pt] &=& \left(7x-0,7x^2\right)\;\text{cm}^2 \end{array}$

Das Rechteck hat eine Flächeninhalt von $\left(7x-0,7x^2\right)\;\text{cm}^2$ .

$\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{x}$ berechnen, für das $\boldsymbol{A}$ maximal wird

Hier sollst du den Wert für $x$ berechnen, für das der Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird. Der Flächeninhalt des Rechtecks wird durch eine nach unten geöffnete Parabel beschrieben. Gesucht ist in dieser Aufgabe der Scheitelpunkt dieser Parabel, denn genau in diesem Punkt ist der Flächeninhalt am größten. Um den Scheitelpunkt einer Parabel zu berechnen gibt es zwei Möglichkeiten.

Lösungsweg A:

Du kannst den Scheitelpunkt mithilfe der Scheitelpunktformel berechnen. Für eine quadratische Gleichung der Form $y=ax^2+bx+c$ lautet die Scheitelpunktsformel:

$S = \left(-\dfrac{b}{2a}\mid \dfrac{4ac-b^2}{4a} \right)$

Die Werte für $a$ und $b$ kannst du aus der Funktionsgleichung $y=-0,7x^2+7x$ ablesen: $a=-0,7$ undn $b=7$ :

$\begin{array}[t]{rll} x&=& -\dfrac{b}{2a}\\[5pt] &=& -\dfrac{7}{2\cdot(-0,7)} \\[5pt] &=& \frac{7}{1,4} \\[5pt] &=& 5 \end{array}$

Lösungsweg B:

Du kannst den Scheitelpunkt auch mithilfe der quadratischen Ergänzung ermitteln.

$\begin{array}[t]{rll} y&=& -0,7x^2+7x &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,7)\\[5pt] &=& x^2-10x \\[5pt] &=& \left(x-5\right)^2-25 \end{array}$

Damit lautet die $x$ -Koordinate des Scheitels $5$ . Somit ist der Flächeninhalt $A$ für $x=5$ maximal.

2.4

$\blacktriangleright$ Pyramide einzeichnen

Als erstes zeichnest du den Punkt $T$ in dein Schrägbild, indem du dich von Punkt $S$ zwei Zentimeter entlang der Strecke $\overline{SC}$ bewegst. Anschließend verbindest du alles Punkte zu einer Pyramide.

Abb. 6: Pyramide $AD_1E_1F_1T$

$\blacktriangleright$ Höhe $\boldsymbol{h}$ der Pyramide bestimmen

Du sollst nun zeigen, dass die Höhe $h$ gleich $7,66cm$ lang ist. Hierfür verwendest du wieder den zweiten Strahlensatz.

$\begin{array}[t]{rll} h &\approx& 7,66cm \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Damit hast du gezeigt, dass gilt $h=7,66\;\text{cm}$ .

2.5

$\blacktriangleright$ Bedingung für Winkel $\boldsymbol{\alpha}$ herleiten

Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt immer $180^{\circ}$ . Da du den Winkel $\varepsilon$ bereits kennst, kannst du die Bedingung für den Winkel $\alpha$ aufstellen.

$\begin{array}[t]{rll} \alpha + \varepsilon&\lt & 180 &\quad \scriptsize \mid\; - \varepsilon \\[5pt] \alpha&\lt & 180^{\circ}-\varepsilon \\[5pt] \alpha&\lt & 180^{\circ}-41,99^{\circ} \\[5pt] \alpha&\lt & 138,01^{\circ} \end{array}$

$\blacktriangleright$ Intervallgrenzen des Winkels $\alpha$ bestimmen

Abschließend sollst du noch eine untere Intervallgrenze für $\alpha$ angeben. Hierfür berechnest du als erste die Strecke $\overline{AT}$ , mit welcher du dann die untere Grenze für $\alpha$ berechnen kannst, denn $\alpha$ ist am kleinsten, wenn $F_n$ so nah wie möglich bei $A$ liegt. Um die Länge von $\overline{AT}$ bestimmen zu können, musst du als erste berechnen, bei welcher Länge $h$ die Strecke $\overline{CA}$ berührt. Diesen Punkt heißt $Y$ . Die Länge berechnest du wieder mithilfe des Strahlensatzes.

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{CY}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{CY}{\overline{CA}}&=& \dfrac{h}{\overline{SA}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{CA} \\[5pt] \overline{CY}&=& \dfrac{h}{\overline{SA}} \cdot \overline{CA} \\[5pt] &=& \dfrac{7,66\;\text{cm}}{9\;\text{cm}} \cdot 10\;\text{cm} \\[5pt] &\approx& 8,51\;\text{cm} \\[10pt] \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AY}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AY}&=& \overline{AC}-\overline{CY} \\[5pt] &=& 10\;\text{cm}-8,51\;\text{cm} \\[5pt] &=& 1,49\,\text{cm} \\[10pt] \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AT}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AT}&=& \sqrt{h^2+\overline{AY}^2} \\[5pt] &=& \sqrt{\left(7,66\;\text{cm}\right)^2+\left(1,49\;\text{cm}\right)^2} \\[5pt] &\approx& 7,8\;\text{cm} \end{array}$

4. Schritt: Untere Intervallgrenze für $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen

Die untere Intervallgrenze für $\alpha$ kannst du nun mithilfe des Sinus berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} \alpha &=& 79,13^{\circ} \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Die untere Intervallgrenze für $\alpha$ lautet $79,13^{\circ}$ .

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