Pflichtteil

Aufgabe P1

(5 P)

Nebenstehende Skizze zeigt den Axialschnitt eines Rotationskörpers, der entsteht, wenn die Figur um ihre Symmetrieachse $AM$ rotiert.

Es gilt: $\overline{AM} = 5,2\,\text{cm}$ , $\sphericalangle ACM = 40,7^{\circ}$ und $r= \overline{MD} = \overline{ME} = 3,4\,\text{cm}$ .

Berechnen Sie den Oberflächeninhalt $A$ des Rotationskörpers. (Auf eine Stelle nach dem Komma runden.)

Abb. 1

Aufgabe P2

Nebenstehende Skizze zeigt den Plan eines viereckigen Sandkastens für den neuen Gemeindekindergarten.
Es gelten folgende Maße:

$\overline{AB}=7,50\,\text{m}$ ; $\overline{AD}=7,00\,\text{m}$ ; $\measuredangle BAD=50°$ ; $\measuredangle CBA=90°$ ; $\measuredangle DCB=58°$

Hinweis für die Berechnung:
Runden Sie jeweils auf zwei Stellen nach dem Komma: Winkelmaß in $^{\circ}$ , Längen in $\text{m}$ und Flächeninhalt in $\text{m}^2$ .

Abb. 2

P2.1

Zeichnen Sie das Viereck $ABCD$ im Maßstab $1:100$ .

(2 P)

P2.2

Zeigen Sie, dass für das Maß des Winkels $DBA$ gilt: $\measuredangle DBA=$ $60,85°$ .
[Teilergebnis: $\overline{BD}=6,14\,\text{m}$ ]

(2 P)

P2.3

Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ des Sandkastens.

(5 P)

Aufgabe P3

Ludwig ist am $12.06.1988$ geboren. Seine in den USA lebende Oma schloss an diesem Tag für ihren Enkel einen Sparvertrag mit $20$ -jähriger Laufzeit und einer jährlichen Verzinsung von $6,5\, \%$ ab. Als Anfangskapital zahlte Sie $2000,00__DOLLARSIGN__ $ ein.
Sein Guthaben von $y$ $ __DOLLARSIGN__ $ nach $x$ Jahren kann durch die Funktion $f:$ $y=2000\cdot 1,065^x$ mit $\mathbb{G}=$ $\mathbb{R}_0 ^+ \times \mathbb{R}^+ _0$ dargestellt werden.

P3.1

Ergänzen Sie die Wertetabelle auf Ganze gerundet.\newline Zeichnen Sie sodann den zugehörigen Graphen in das Koordinatensystem.

$x$	$0$	$5$	$10$	$15$	$20$
$200\cdot 1,065^x$

Abb. 3

(3 P)

P3.2

Berechnen Sie das Guthaben, das Ludwig heute, an seinem $18.$ Geburtstag, auf dem Sparkonto hat.

(1 P)

P3.3

Entnehmen Sie dem Graphen, wie viele Jahre nach Abschluss des Sparvertrags Ludwigs Guthaben $4500,00__DOLLARSIGN__ $ betrug.

(1 P)

Bildnachweise [nach oben]

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[2]

[3]

Aufgabe P1

$\blacktriangleright$ Oberflächeninhalt des Rotationskörpers

Die Gesamtoberfläche des Rotationskörpers setzt sich aus den Oberflächen der Halbkugel, des Kegels und der kreisförmigen Fläche zwischen $C$ und $B$ zusammen. Berechne diese Oberflächen einzeln und addiere sie zum Schluss miteinander.

Abb. 1

1. Schritt: Oberfläche der Halbkugel berechnen

Die allgemeine Formel zur Oberflächenberechnung von Kugeln lautet:

$A=4\cdot r^2\cdot \pi$

Da du nur eine halbe Kugel berechnest, nimmst du diese Formel $\cdot\frac{1}{2}$ . Setze sodann den Radius ein und berechne das Ergebnis:

$\begin{array}[t]{rll} A_{Halbkugel}&=& \dfrac{1}{2}\cdot 4 \cdot r^2 \cdot \pi \\[5pt] A_{Halbkugel}&=&2 \cdot (3,4\,\text{cm})^2 \cdot \pi\\[5pt] A_{Halbkugel}&=& 2 \cdot 11,56\,\text{cm}^2 \cdot \pi\\[5pt] A_{Halbkugel}&=& 23,12\,\text{cm}^2 \cdot \pi \\[5pt] A_{Halbkugel}&=& 72,63\,\text{cm}^2 \end{array}$

2. Schritt: Oberfläche des Kreisrings berechnen

Um die Oberfläche des Kreisrings berechnen zu können, benötigst du zuerst die Streckenlände $\overline{CM}$ . Diese Länge berechnest du mit dem Tangens im Dreieck $CAM$ . Im Anschluss ziehst du den Flächeninhalt des kleinen Kreises mit dem Radius $\overline{ME}$ von dem Flächeninhalt des großen Kreises mit dem Radius $\overline{CM}$ ab:

$\begin{array}[t]{rll} A_{Kreisring}&=&\left(\overline{CM}\right)^2 \cdot \pi - \left(\overline{MD}\right)^2 \cdot \pi \\[5pt] A_{Kreisring}&=&(6,05\,\text{cm})^2 \cdot \pi - (3,40\,\text{cm})^2 \cdot \pi \\[5pt] A_{Kreisring}&=&36,55\,\text{cm}^2 \cdot \pi - 11,56\,\text{cm}^2 \cdot \pi \\[5pt] A_{Kreisring}&=&114,82\,\text{cm}^2 - 36,32\,\text{cm}^2 \\[5pt] A_{Kreisring}&=& 78,50\,\text{cm}^2 \end{array}$

Nebenrechnung: Strecke $\overline{CM}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan\left(\measuredangle ACM\right)&=& \dfrac{\overline{AM}}{\overline{CM}}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot\overline{CM},\;:\tan\left(\measuredangle ACM\right) \\[5pt] \overline{CM}&=& \dfrac{5,2\,\text{cm}}{\tan(40,7°)}\\[5pt] \overline{CM}&=&6,05\,\text{cm} \end{array}$

3. Schritt: Oberfläche des Kegelmantels berechnen

Die allgemeine Formel zur Oberflächenberechnung von Kegeln lautet:

$A=r\cdot s\cdot \pi$

Der Radius entspricht der vorhin ausgerechneten Länge von $\overline{CM}=6,05\,\text{cm}$ . Die Länge der Mantellinie $s=\overline{CA}$ berechnest du am besten mit dem Sinus. Setze sodann beide Werte in die Formel ein und berechne die Oberfläche:

$\begin{array}[t]{rll} A_{Kegelmantel}&=& \overline{CM} \cdot \overline{AB} \cdot \pi \\[5pt] A_{Kegelmantel}&=& 6,05\,\text{cm} \cdot 7,97 \,\text{cm} \cdot \pi \\[5pt] A_{Kegelmantel}&=&48,21\,\text{cm}^2 \cdot \pi \\[5pt] A_{Kegelmantel}&=& 151,45 \,\text{cm}^2 \end{array}$

Nebenrechnung: Strecke $\overline{CA}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin\left(\measuredangle ACM\right)&=& \dfrac{\overline{AM}}{\overline{CA}}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot\overline{CA},\;:\sin\left(\measuredangle ACM\right) \\[5pt] \overline{CA}&=& \dfrac{5,2\,\text{cm}}{\sin(40,7°)} \\[5pt] \overline{CA}&=&7,97\,\text{cm} \end{array}$

4. Schritt: Gesamtoberfläche des Rotationskörpers berechnen

Addiere nun die drei Einzelergebnisse miteinander:

$\begin{array}[t]{rll} A_{Gesamt}&=& A_{Halbkugel}+A_{Kreisring}+A_{Kegelmantel} \\[5pt] A_{Gesamt}&=& 72,63\,\text{cm}^2+ 78,50\,\text{cm}^2+151,45\,\text{cm}^2\\[5pt] A_{Gesamt}&=& 302,59\,\text{cm}^2 \end{array}$

Der Gesamtoberflächeninhalt des Rotationskörpers beträgt somit $302,59\,\text{cm}^2$ .

Aufgabe P2

P2.1

$\blacktriangleright$ Zeichnung des Vierecks

Gehe beim Zeichnen des Vierecks $ABCD$ wie folgt vor:

Zeichne die Strecke $[AB]$ mit $7,5\,\text{cm}$ waagerecht ein.
Zeichne von Punkt $A$ aus eine Strecke mit $7\,\text{cm}$ Länge im Winkel von $50°$ zum Punkt $D$ .
Der Winkel $\measuredangle ADC$ hat ein Maß von $360°-50°-90°-58°=162°$ . Zeichne mit diesem Winkel von Punkt $D$ aus eine Hilfslinie.
Zeichne eine weitere Hilfslinie senkrecht über Punkt $B$ ein.
Der Schnittpunkt beider Hilfslinien ist der Punkt $C$ .
Verstärke sodann die Strecken $[BC]$ und $[CD]$ .

Du erhältst dann folgende Abbildung:

Abb. 2

P2.2

$\blacktriangleright$ Maß des Winkels $\measuredangle$ DBA

Das Maß des Winkels $\measuredangle DBA$ berechnest du über das Dreieck $ABD$ .

Abb. 3

Bevor du das Winkelmaß ausrechnen kannst, benötigst du die Länge von $\overline{BD}$ . Diese Länge erhältst du mit dem Cosinussatz

$\begin{array}[t]{rll} \left(\overline{BD}\right)^2&=& \left(\overline{AD}\right)^2 +\left(\overline{AB}\right)^2 -2 \cdot\overline{AD}\cdot \overline{AB} \cdot \cos(\measuredangle BAD) \\[5pt] \left(\overline{BD}\right)^2&=&(7,00\,\text{m})^2 +(7,50\,\text{m})^2 -2 \cdot 7,00\,\text{m} \cdot 7,50\,\text{m} \cdot \cos(50°) &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] \overline{BD}&=&\sqrt{(7,00\,\text{m})^2 +(7,50\,\text{m})^2 -2 \cdot 7,00\,\text{m} \cdot 7,50\,\text{m} \cdot \cos(50°)}\\[5pt] \overline{BD}&\approx& 6,14\,\text{m} \end{array}$

Berechne nun über den Sinussatz den Winkel $\measuredangle DBA$ :

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\sin \left(\measuredangle DBA\right)}{\overline{AD}}&=&\dfrac{\sin \left(\measuredangle BDA\right)}{\overline{BD}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{AD} \\[5pt] \sin \left(\measuredangle DBA\right)&=&\dfrac{\sin \left(\measuredangle DBA\right) \cdot \overline{AD}}{\overline{BD}} \\[5pt] \sin \left(\measuredangle DBA\right)&=&\dfrac{7,00\,\text{m} \cdot \sin (50°)}{6,14\,\text{m}}&\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1} \\[5pt] \measuredangle DBA&=& \sin^{-1}\left( \dfrac{7,00\,\text{m} \cdot \sin (50°)}{6,14\,\text{m}}\right)\\[5pt] \measuredangle DBA&\approx& 60,85^{\circ}\\[5pt] \end{array}$

Für das Maß des Winkels $DBA$ gilt somit $\measuredangle DBA \approx 60,85^{\circ}$ .

P2.3

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Sandkastens

Du kannst den Flächeninhalt des Sandkastens am einfachsten berechnen, indem du Das Viereck in die beiden Dreiecke $ABD$ und $BCD$ aufteilst.

Abb. 4

Du kannst jeweils folgende Formel verwenden:

$A_{\triangle} = \frac{1}{2}\cdot b\cdot c \cdot \sin(\alpha)$

1. Schritt: Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{ABD}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_{ABD}&=& \frac{1}{2} \cdot \overline{AB}\cdot \overline{AD}\cdot \sin\left(\measuredangle BAD\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 7,5\,\text{m} \cdot 7\,\text{m}\cdot \sin\left(50^{\circ}\right)\\[5pt] &\approx& 20,11 \,\text{m}^2 \end{array}$

2. Schritt: Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{BCD}$ berechnen

Um die Formel oben anwenden zu können, benötigst du ein Winkelmaß und die Länge der beiden anliegenden Seiten.
Du kannst wie folgt vorgehen:

Berechne das Maß des Winkels $CBD$ über die Differenz der Winkel $CBA$ und $DBA$ .
Berechne das Maß des Winkels $BDC$ über die Winkelsumme des Dreiecks $BCD$ .
Berechne die Länge der Strecke $\overline{CD}$ mit dem Sinussatz.
Berechne nun den gesuchten Flächeninhalt mit Hilfe des Winkels $BDC$ und den beiden anliegenden Seiten.

$\begin{array}[t]{rll} \measuredangle CBD &=&\measuredangle CBA - \measuredangle DBA \\[5pt] &=& 90^{\circ} - 60,85^{\circ}\\[5pt] &=&29,15^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \measuredangle BDC &=& 180^{\circ} - \measuredangle DCB - \measuredangle CBD\\[5pt] &=& 180^{\circ} - 58^{\circ} - 29,15^{\circ} \\[5pt] &=& 92,85^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{CD}}{\sin\left(\measuredangle CBD\right)}&=& \dfrac{\overline{BD}}{\sin\left(\measuredangle DCB\right)} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \sin\left(\measuredangle CBD\right) \\[5pt] \overline{CD}&=& \dfrac{\overline{BD}\cdot \sin\left(\measuredangle CBD\right)}{\sin\left(\measuredangle DCB\right)} \\[5pt] &=& \dfrac{6,14\,\text{m}\cdot \sin\left(29,15^{\circ}\right)}{\sin\left(58^{\circ}\right)} \\[5pt] &\approx& 3,53\,\text{m} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} A_{BCD}&=&\frac{1}{2}\cdot \overline{BD}\cdot \overline{CD}\cdot \sin\left(\measuredangle BDC\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 6,14\cdot 3,53\cdot \sin\left(92,85^{\circ}\right) \\[5pt] &\approx& 10,82\,\text{m}^2 \end{array}$

Der gesamte Flächeninhalt des Sandkastens ergibt sich somit wie folgt:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& A_{ABD} + A_{BCD} \\[5pt] &=& 20,11\,\text{m}^2 + 10,82\,\text{m}^2\\[5pt] &=& 30,93\,\text{m}^2 \end{array}$

Der Gesmatflächeninhalt des Sandkastens beträgt $30,93\,\text{m}^2$ .

Aufgabe P3

P3.1

$\blacktriangleright$ Wertetabelle aufstellen

Du füllst die Wertetabelle aus, indem du die einzelnen x-Werte in die Formel $2000 \cdot 1,065^x$ einsetzt und das jeweilige Ergebnis berechnest:

$x$	$y$
$0$	$2000$
$5$	$2740$
$10$	$3754$
$15$	$5144$
$20$	$7047$

$\blacktriangleright$ Zeichnung im Koordinatensystem

Trage zunächst die einzelnen Punkte in das Koordinatensystem ein. Verbinde sie sodann bogenförmig miteinander:

Abb. 5

P3.2

$\blacktriangleright$ Guthaben zum 18. Geburtstag

Mit der Funktion $y=2000\cdot 1,065^{x}$ berechnest du das Guthaben nach $x$ Jahren. Da Ludwig heute 18 Jahre alt wird, setzt du für $x=18$ ein und erhältst dadurch sein Guthaben am heutigen Tag:

$\begin{array}[t]{rll} y&=&2000\cdot 1,065^{x} \\[5pt] y&=&2000\cdot 1,065^{18} \\[5pt] y&=&6213,31\\[5pt] \end{array}$

Das Guthaben von Ludwig beträgt an seinem $18.$ Geburtstag $6213,31__DOLLARSIGN__$.

P3.3

$\blacktriangleright$ Vergangene Jahre bis $\boldsymbol{4500\,__DOLLARSIGN__}$

Auf dem von dir gezeichnetem Graphen liest du einfach ab, bei welchem x-Wert der Graph den y-Wert von $4500$ erreicht. Wenn du sauber gezeichnet hast, siehst du, dass dies bei x=13 der Fall ist. Nach etwa $13$ Jahren beträgt also Ludwigs Guthaben $4500,00__DOLLARSIGN__$.

Bildnachweise [nach oben]

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