Aufgabe B1

B 1.0

Die Parabel Formula: p mit dem Scheitelpunkt $Formula: S(3 \mid 5)$ $Formula: S(3 \mid 5)$ hat eine Gleichung der Form $Formula: y=-0{,}5 x^2+b x+c$ $Formula: y=-0{,}5 x^2+b x+c$ mit $Formula: \mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ und $Formula: b, c \in \mathbb{R}.$ $Formula: b, c \in \mathbb{R}.$

Die Gerade Formula: g hat die Gleichung Formula: y=-0{,}25 x-3 mit $Formula: \mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}.$ $Formula: \mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}.$

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B 1.1

Zeige rechnerisch, dass die Parabel Formula: p die Gleichung $Formula: y=-0{,}5 x^2+3 x+0{,}5$ $Formula: y=-0{,}5 x^2+3 x+0{,}5$ hat.

Zeichne sodann die Parabel Formula: p und die Gerade Formula: g für $Formula: x \in[-2 ; 8]$ $Formula: x \in[-2 ; 8]$ in ein Koordinatensystem ein.

Für die Zeichnung: Längeneinheit $Formula: 1 \;\mathrm{cm} ;$ $Formula: 1 \;\mathrm{cm} ;$ $Formula: -2 \leqq x \leqq 10 ;-8 \leqq y \leqq 6$ $Formula: -2 \leqq x \leqq 10 ;-8 \leqq y \leqq 6$

3 P

B 1.2

Punkte $Formula: B_{n}({x} \mid-0{,}25 {x}-3)$ $Formula: B_{n}({x} \mid-0{,}25 {x}-3)$ auf der Geraden Formula: g und Punkte $Formula: D_n\left(x \mid-0{,}5 x^2+3 x+0{,}5\right)$ $Formula: D_n\left(x \mid-0{,}5 x^2+3 x+0{,}5\right)$ auf der Parabel Formula: p haben dieselbe Abszisse Formula: x. Sie sind zusammen mit Punkten Formula: A_n und Formula: C_n Eckpunkte von Drachenvierecken Formula: A_n B_n C_n D_n mit den Symmetrieachsen Formula: A_n C_n und den Diagonalenschnittpunkten Formula: M_n.

Es gilt: $Formula: \overline{M_n A_n}=2 \;\text{LE } ; \overline{M_n C_n}=4\;\text{LE } ;$ $Formula: \overline{M_n A_n}=2 \;\text{LE } ; \overline{M_n C_n}=4\;\text{LE } ;$ $Formula: y_{D_n}>y_{B_n}.$ $Formula: y_{D_n}>y_{B_n}.$

Zeichne das Drachenviereck Formula: A_1 B_1 C_1 D_1 für Formula: x = 0 und das Drachenviereck $Formula: \mathrm{A}_2 \mathrm{~B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$ $Formula: \mathrm{A}_2 \mathrm{~B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$ für Formula: x = 6 in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.

2 P

B 1.3

Begründe, weshalb der Flächeninhalt der Dreiecke Formula: A_n B_n D_n stets halb so groß wie der Flächeninhalt der Dreiecke Formula: B_n C_n D_n ist.

1 P

B 1.4

Ermittle rechnerisch, für welche Werte von Formula: x es Drachenvierecke Formula: A_n B_n C_n D_n gibt.

3 P

B 1.5

Unter den Drachenvierecken Formula: A_n B_n C_n D_n hat das Drachenviereck Formula: A_0 B_0 C_0 D_0 den maximalen Flächeninhalt.

Berechne diesen Flächeninhalt und den zugehörigen Wert für Formula: x.

$Formula: \left[\right.$ $Formula: \left[\right.$ Zwischenergebnis: $Formula: \left.\overline{B_n D_n}(x)=\left(-0{,}5 x^2+3{,}25 x+3{,}5\right) \;\text{LE}\right]$ $Formula: \left.\overline{B_n D_n}(x)=\left(-0{,}5 x^2+3{,}25 x+3{,}5\right) \;\text{LE}\right]$

4 P

B 1.6

Unter den Drachenvierecken Formula: A_n B_n C_n D_n gibt es zwei Drachenvierecke Formula: A_3 B_3 C_3 D_3 und Formula: A_4 B_4 C_4 D_4, die bei Formula: C_3 bzw. Formula: C_4 rechtwinklig sind.

Begründe, warum $Formula: \overline{B_3 D_3}=\overline{B_4 D_4}=8 \;\mathrm{LE}$ $Formula: \overline{B_3 D_3}=\overline{B_4 D_4}=8 \;\mathrm{LE}$ gilt.

Berechne sodann die $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Koordinaten von Formula: B_3 und Formula: B_4.

3 P

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B 1.1

Vorgehensweise:

Ansatz Scheitelform: $Formula: y=a\left(x-x_s\right)^2+y_s$ $Formula: y=a\left(x-x_s\right)^2+y_s$
Einsetzen:
Binomische Formel auflösen: $Formula: y=-0,5\left(x^2-6 x+9\right)+5$ $Formula: y=-0,5\left(x^2-6 x+9\right)+5$
Ausmultiplizieren:
Zusammenfassen: $Formula: y=-0, 5 {x}^{2}+3 x+0, 5$ $Formula: y=-0, 5 {x}^{2}+3 x+0, 5$

So ist die Gleichung bewiesen.

Formula: g und Formula: p in ein Koordinatensystem einzeichen:

Für Formula: g reicht es aus zwei Punkte der Gerade zu berechnen (Hier wurden die Grenzen des Zeichenbereichs Formula: (x=-2 und Formula: x=8) gewählt:

Für $Formula: x=-2: y=-0,25 \cdot(-2)-3=-2,5$ $Formula: x=-2: y=-0,25 \cdot(-2)-3=-2,5$

$Formula: P_1(-2 \mid -2,5)$ $Formula: P_1(-2 \mid -2,5)$
Für $Formula: x=8: y =-0,25 \cdot 8 -3 =-5$ $Formula: x=8: y =-0,25 \cdot 8 -3 =-5$

$Formula: P_2(8 \mid -5)$ $Formula: P_2(8 \mid -5)$

Für die Parabel Formula: p werden noch weitere Punkte benötigt:

Der Scheitelpunkt $Formula: S(3 \mid 5)$ $Formula: S(3 \mid 5)$ und der Formula: y- Achsenabschnitt $Formula: P_y(0 \mid 0,5)$ $Formula: P_y(0 \mid 0,5)$ gehen aus der Gleichung von hervor.

Um Nullpunkte zu erhalten wird Formula: y=0 gesetzt:

Formula: -0,5x^2+3x+0,5=0

Mitternachtsformel anwenden:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} x_{1,2}&=&\dfrac{-3 \pm \sqrt{3^2-4 \cdot(-0,5) \cdot 0,5}}{2 \cdot(-0,5)} \\[5pt] x_{1,2}&=&\dfrac{-3 \pm \sqrt{9+1}}{-1} \\[5pt] x_{1,2}&=&\dfrac{-3 \pm \sqrt{10}}{-1} \\[5pt] x_1&=&\dfrac{-3 + \sqrt{10}}{-1} \approx -0,16\\[5pt] x_2&=&\dfrac{-3 - \sqrt{10}}{-1} \approx 6,16\\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} x_{1,2}&=&\dfrac{-3 \pm \sqrt{3^2-4 \cdot(-0,5) \cdot 0,5}}{2 \cdot(-0,5)} \\[5pt] x_{1,2}&=&\dfrac{-3 \pm \sqrt{9+1}}{-1} \\[5pt] x_{1,2}&=&\dfrac{-3 \pm \sqrt{10}}{-1} \\[5pt] x_1&=&\dfrac{-3 + \sqrt{10}}{-1} \approx -0,16\\[5pt] x_2&=&\dfrac{-3 - \sqrt{10}}{-1} \approx 6,16\\[5pt] \end{array}$

$Formula: N_1(-0,16 \mid 0), N_2(6,16 \mid 0)$ $Formula: N_1(-0,16 \mid 0), N_2(6,16 \mid 0)$

Gepunktetes Koordinatensystem mit nach unten geöffneter Parabel p und fallender Geraden g.

B 1.2

Koordinatensystem mit Parabel, zwei Dreiecken und markierten Punkten A1,B1,C1,A2,B2,C2, Achsenbeschriftung.

B 1.3

Die Dreiecke Formula: A_n B_n D_n und Formula: B_n C_n D_n stimmen jeweils in der Seite $Formula: \left[B_n D_n\right]$ $Formula: \left[B_n D_n\right]$ überein, während die zugehörigen Höhen der Dreiecke halb so lang wie bei den Dreiecken sind. Daher ist der Flächeninhalt der Dreiecke stets halb so groß wie der Flächeninhalt der Dreiecke $Formula: B_{n}C_{n} D_{n}.$ $Formula: B_{n}C_{n} D_{n}.$

B 1.4

Um den möglichen Wertebereich zu bestimmen werden die Schnittpunkte von Formula: g und Formula: p gesucht. Hierfür setzt man die beiden Gleichungen gleich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} -0,5x^2+3x+0,5&=&-0,25x-3 &\mid\; +0,25x+3 \\[5pt] -0,5x^2+3,25x+3,5&=&0& \\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} -0,5x^2+3x+0,5&=&-0,25x-3 &\mid\; +0,25x+3 \\[5pt] -0,5x^2+3,25x+3,5&=&0& \\[5pt] \end{array}$

Mitternachtsformel:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} x_{1,2}&=&\dfrac{-3,25 \pm \sqrt{3,25^2-4 \cdot(-0,5) \cdot 3,5}}{2 \cdot(-0,5)}\\[5pt] x_{1,2}&=&\dfrac{-3,25 \pm \sqrt{17,5625}}{-1} \\[5pt] x_{1}&=& \dfrac{-3,25+4,19}{-1} \approx -0,94\\[5pt] x_{2}&=& \dfrac{-3,25-4,19}{-1} \approx 7,44\\[5pt]\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} x_{1,2}&=&\dfrac{-3,25 \pm \sqrt{3,25^2-4 \cdot(-0,5) \cdot 3,5}}{2 \cdot(-0,5)}\\[5pt] x_{1,2}&=&\dfrac{-3,25 \pm \sqrt{17,5625}}{-1} \\[5pt] x_{1}&=& \dfrac{-3,25+4,19}{-1} \approx -0,94\\[5pt] x_{2}&=& \dfrac{-3,25-4,19}{-1} \approx 7,44\\[5pt]\end{array}$

$Formula: \mathrm{IL}=\{-0,94 ; 7,44\}$ $Formula: \mathrm{IL}=\{-0,94 ; 7,44\}$

Für $Formula: x \in]-0,94 ; 7,44\left[\right.$ $Formula: x \in]-0,94 ; 7,44\left[\right.$ gibt es Drachenvierecke Formula: A_n B_n C_n D_n.

B 1.5

Flächeninhalt des Drachenvierecks:

$Formula: A=0,5 \cdot \overline{A_n C_n} \cdot \overline{B_n D_n}$ $Formula: A=0,5 \cdot \overline{A_n C_n} \cdot \overline{B_n D_n}$

Diagonale 1:

$Formula: \overline{A_n C_n}=\overline{M_n A_n}+\overline{M_n C_n}=2+4=6 \;\text{LE}$ $Formula: \overline{A_n C_n}=\overline{M_n A_n}+\overline{M_n C_n}=2+4=6 \;\text{LE}$

Diagonale 2 (senkrechter Abstand zwischen Formula: p und Formula: g):

$Formula: \overline{\mathrm{B}_{\mathrm{n}} \mathrm{D}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})=\left[-0,5 \mathrm{x}^2+3 \mathrm{x}+0,5-(-0,25 \mathrm{x}-3)\right] \mathrm{LE}$ $Formula: \overline{\mathrm{B}_{\mathrm{n}} \mathrm{D}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})=\left[-0,5 \mathrm{x}^2+3 \mathrm{x}+0,5-(-0,25 \mathrm{x}-3)\right] \mathrm{LE}$

$Formula: x \in \mathbb{R} ; x \in]-0,94 ; 7,44[$ $Formula: x \in \mathbb{R} ; x \in]-0,94 ; 7,44[$

$Formula: \overline{\mathrm{B}_{\mathrm{n}} \mathrm{D}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})=\left(-0,5 \mathrm{x}^2+3,25 \mathrm{x}+3,5\right) \mathrm{LE}$ $Formula: \overline{\mathrm{B}_{\mathrm{n}} \mathrm{D}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})=\left(-0,5 \mathrm{x}^2+3,25 \mathrm{x}+3,5\right) \mathrm{LE}$

Flächenfunktion aufstellen:

$Formula: A(x)=0,5 \cdot \text{Diagonale}_1 \cdot \text{Diagonale}_2$ $Formula: A(x)=0,5 \cdot \text{Diagonale}_1 \cdot \text{Diagonale}_2$ Formula: _2

$Formula: A(x)=0,5 \cdot 6 \cdot\left(-0,5 x^2+3,25 x+3,5\right) F E$ $Formula: A(x)=0,5 \cdot 6 \cdot\left(-0,5 x^2+3,25 x+3,5\right) F E$

$Formula: x \in \mathbb{R} ; x \in]-0,94 ; 7,44[$ $Formula: x \in \mathbb{R} ; x \in]-0,94 ; 7,44[$

$Formula: A(x)=\left(-1,5 x^2+9,75 x+10,5\right) F E$ $Formula: A(x)=\left(-1,5 x^2+9,75 x+10,5\right) F E$

Da Formula: A(x) eine Parabel ist, liegt das Maximum im Scheitelpunkt.

Berechnung von Formula: x_s:

$Formula: x_s=\frac{-b}{2 a}=\frac{-9,75}{2 \cdot(-1,5)}=\frac{-9,75}{-3}=3,25$ $Formula: x_s=\frac{-b}{2 a}=\frac{-9,75}{2 \cdot(-1,5)}=\frac{-9,75}{-3}=3,25$

Formula: x_s in Formula: A(x) einsetzen um $Formula: A_{max}$ $Formula: A_{max}$ zu erhalten:

$Formula: A(3,25)=-1,5 \cdot(3,25)^2+9,75 \cdot 3,25+10,5=26,34 \;\text{FE}$ $Formula: A(3,25)=-1,5 \cdot(3,25)^2+9,75 \cdot 3,25+10,5=26,34 \;\text{FE}$

Das Drachenviereck Formula: A_0 B_0 C_0 D_0 besitzt für Formula: x=3,25 den maximalen Flächeninhalt von $Formula: 26,34 \;\mathrm{FE}$ $Formula: 26,34 \;\mathrm{FE}$ .

B 1.6

Da das Drachenviereck symmetrisch zur Achse Formula: A_nC_n ist, wird der $Formula: 90^\circ-$ $Formula: 90^\circ-$ Winkel bei Formula: C halbiert.

Somit sind die Dreiecke Formula: B_3 C_3 D_3 und Formula: B_4 C_4 D_4 gleichschenklig-rechtwinklig.

Daraus folgt, dass die halbe Diagonale genauso lang ist wie die Höhe Formula: M_n C_n:

$Formula: \overline{M_n B_n}=\overline{M_n C_n}=4 \;\mathrm{LE}$ $Formula: \overline{M_n B_n}=\overline{M_n C_n}=4 \;\mathrm{LE}$

Für die gesamte Diagonale $Formula: \left[B_n D_n\right]$ $Formula: \left[B_n D_n\right]$ gilt daher:

$Formula: \overline{B_n D_n}=2 \cdot 4 \;\mathrm{LE}=8 \;\mathrm{LE}$ $Formula: \overline{B_n D_n}=2 \cdot 4 \;\mathrm{LE}=8 \;\mathrm{LE}$

Rechnerische Ermittlung der Formula: x- Werte.

Hierfür $Formula: \overline{B_n D_n}(x)$ $Formula: \overline{B_n D_n}(x)$ mit dem Wert Formula: 8 gleichsetzen:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} -0,5 x^2+3,25 x+3,5&=&8 &\mid\; -8 \\[5pt] -0,5x^2+3,25x-4,5&=&0& \\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} -0,5 x^2+3,25 x+3,5&=&8 &\mid\; -8 \\[5pt] -0,5x^2+3,25x-4,5&=&0& \\[5pt] \end{array}$

Mitternachtsformel:

$\begin{array}[t]{rlll} x_{1,2} &=& \dfrac{-3,25 \pm \sqrt{3,25^2-4 \cdot(-0,5) \cdot(-4,5)}}{2 \cdot(-0,5)} \\[5pt] x_{1,2}&=&\dfrac{-3,25 \pm 1,25}{-1}& \\[5pt] x_{1}&=& 2 \\[5pt] x_{2}&=& 4,5 \\[5pt] \end{array}$

$Formula: \mathrm{IL}=\{2 ; 4,5\}$ $Formula: \mathrm{IL}=\{2 ; 4,5\}$

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