Teil B

B 1.0

Die nebenstehende Skizze zeigt das Fünfeck ABCDE.

Es gilt:

$\overline{AB}=7\,\text{cm};$ $\overline{AE}=8\,\text{cm};$ $\overline{DE}=4\,\text{cm};$
$\overline{CE}=11\,\text{cm};$ $\overline{CD}=9\,\text{cm};$
$\sphericalangle BAE=90^{\circ};$ $\sphericalangle AED=128^{\circ}.$

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B 1.1

Zeichne das Fünfeck ABCDE sowie die Strecken $[BE]$ und $[CE]$ .

Berechne sodann die Länge der Strecke $[BE]$ und das Maß des Winkels AEB.

$[$ Teilergebnisse:
$\overline{BE}=10,63\,\text{cm};$ $\sphericalangle AEB =41,19^{\circ}]$

(4 P)

B 1.2

Ermittle durch Rechnung den Flächeninhalt des Vierecks ABCE.

$[$ Zwischenergebnis: $\sphericalangle BEC=36,33^{\circ}]$

(4 P)

B 1.3

Zeige rechnerisch, dass für die Länge der Strecke $[BC]$ und das Maß des Winkels ECB gilt: $\overline{BC}=6,75\,\text{cm};$ $\sphericalangle ECB=68,90^{\circ}.$

(2 P)

B 1.4

Die Punkte $F\in[CE]$ und $G\in[BE]$ legen die Strecke $[FG]$ fest, wobei gilt: $[FG]\mid\mid[BC]$ und $\overline{CF}=3\,\text{cm}.$

Ergänze die Strecke $[FG]$ in der Zeichnung zu B 1.1 und berechne den Flächeninhalt des Vierecks BCFG.

(4 P)

B 1.5

Ein Kreis mit dem Mittelpunkt $A$ berührt die Strecke $[BE]$ im Punkt $R$ . Er schneidet die Strecke $[AB]$ im Punkt $Q$ und die Strecke $[AE]$ im Punkt $S$ .

Zeichne den Kreisbogen $\widetilde {QS}$ und den Punkt $R$ in die Zeichnung zu B 1.1 ein.

Ermittle sodann rechnerisch den Flächeninhalt des Sektors, der von den Strecken $[AQ]$ und $[AS]$ sowie dem Kreisbogen $\widetilde {QS}$ begrenzt wird.

$[$ Zwischenergebnis: $\overline{AR}= 5,27 \,\text{cm}]$

(3 P)

B 2.0

Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCS mit der Höhe $[MS]$ , deren Grundfläche das gleichschenklige Dreieck ABC ist. $M$ ist der Mittelpunkt der Basis $[BC].$

Es gilt: $\overline{AM}=9\,\text{cm};$ $\overline{BC}=12\,\text{cm};$ $\overline{MS}=10\,\text{cm}.$

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B 2.1

Zeichne das Schrägbild der Pyramide ABCS, wobei die Strecke $[AM]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $M$ liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: $q=\dfrac{1}{2}$ ; $\omega=45^{\circ}.$

(2 P)

B 2.2

Berechne die Länge der Strecke $[AS]$ , das Maß des Winkels MAS sowie das Volumen der Pyramide ABCS.

[Ergebnisse:
$\overline{AS}=13,45\,\text{cm};$
$\sphericalangle {MAS}=48,01^{\circ};$ $V_{ABCS}=180\,\text{cm}^3$ ]

(3 P)

B 2.3

Für den Punkt $D\in[AS]$ gilt: $\overline{AD}=4\,\text{cm}.$

Zeichne die Strecke $[DM]$ in das Schrägbild zu B 2.1 ein und berechne das Maß des Winkels DMA.

(3 P)

B 2.4

Für Punkte $R_n$ auf der Strecke $[MS]$ gilt: $\overline{SR_n}=x\,\text{cm}\,\,(x\in\mathbb{R};0\lt x\lt10).$

Parallelen zur Strecke $[BC]$ durch die Punkte $R_n$ schneiden die Strecke $[BS]$ in den Punkten $P_n$ und die Strecke $[CS]$ in den Punkten $Q_n.$ Die Dreiecke $P_nMQ_n$ sind die Grundflächen von Pyramiden $P_nMQ_nD$ mit der Höhe $[DF]$ , wobei $F\in[MS]$ gilt.