Teil A

A 1.0

Pia möchte einen Flugdrachen bauen. Dazu erstellt sie nebenstehende Skizze eines Drachenvierecks $ABCD$ mit der Symmetrieachse $AC$ und dem Diagonalenschnittpunkt $M$ .
Es gilt: $\overline {AB}=95\, \text {cm}$ ; $\overline {AC}=150\, \text {cm}$ ; $\overline {BC}=75\, \text {cm}$ .
Runde im Folgenden auf Ganze.

A 1.1

Zeige rechnerisch, dass für das Maß des Winkels $ACB$ gilt:
$\sphericalangle ACB=32^{\circ}$ .

(2 P)

A 1.2

Berechne die Länge der Diagonale $[BD]$ und den Flächeninhalt $A$ des Drachenvierecks $ABCD$ .

[Ergebnis: $\overline {BD}=79\,\text {cm}$ ]

(2 P)

A 1.3

Da es im Baumarkt nur Holzstäbe mit einer Länge von $100 \, \text {cm}$ gibt, beschließt Pia, für die Diagonale [ $AC$ ] diese Länge zu verwenden. Die Diagonale [ $BD$ ] bleibt unverändert.
Kreuze an, um wie viel Prozent sich der Flächinhalt dadurch verringert.

$25 \,\%$

$33 \,\%$

$50 \,\%$

$67 \,\%$

(1 P)

A 2.0

Gegeben sind die Parabeln $p_1$ mit der Gleichung $y=0,4x^2-1,8x-4$ und $p_2$ mit der Gleichung $y=-0,2x^2+1,5x+1 \, (\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ ).
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Abb. Zahl:

A 2.1

Punkte $B_n \, (x \mid 0,4x^2-1,8x-4)$ auf $p_1$ und Punkte $C_n \, (x\mid -0,2x^2+1,5x+1)$ auf $p_2$ haben dieselbe Abszisse $x$ . Sie sind zusammen mit $A(0\mid 1)$ für $x\in ]0;6,74[\,$ Eckpunkte von Dreiecken $AB_nC_n$ .
Zeichne das Dreieck $AB_1C_1$ für $x=3$ in das Koordinatensystem zu A 2.0 ein.
Zeige sodann, dass für die Länge der Strecken $[B_nC_n]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_n$ gilt: $\overline {B_nC_n}(x)=(-0,6x^2+3,3x+5) \, LE$ .

(2 P)

A 2.2

Begründe, weshalb es unter den Dreiecken $AB_nC_n$ kein Dreieck $AB_0C_0$ gibt, dessen Seite $[B_0C_0]$ eine Länge von $10 \, LE$ besitzt.

(2 P)

A 2.3

Die Mittelpunkte $M_n$ der Seiten $[B_nC_n]$ haben dieselbe Abszisse $x$ wie die Punkte $B_n$ .
Zeige, dass für die $y$ -Koordinate $y_M$ der Punkte $M_n$ gilt:
$y_M=0,1x^2-0,15x-1,5$ .

(1 P)

A 2.4

Das Dreieck $AB_2C_2$ ist gleichschenklig mit der Basis $[B_2C_2]$ .
Berechne die $x$ -Koordinate des Punktes $M_2$ .

(3 P)

A 3.0

Die nebenstehende Skizze zeigt den Axialschnitt $ABCDEFGH$ eines Körpers mit der Rotationsachse $MS$ . Diese Skizze dient als Vorlage zur Herstellung einer Sitzgelegenheit.

Es gilt:
$\overline {AM}= \overline {GO}=\overline {FN}= 21 \text {cm}$ ; $AM\mid\mid GO \mid\mid FN$ ;
$\overline {FG}=5 \text {cm}; FG \mid\mid ED$ ;
$\sphericalangle ASM= 16^{\circ}; \overline {MN}=45 \text {cm}$ .
Runde im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.

A 3.1

Berechne die Längen der Strecken $[MS]$ und $[HC]$ .
[Ereignisse: $\overline {MS}=73,2 \text {cm}; \overline {HC}=19,0 \text {cm}$ ]

(2 P)

A 3.2

Bestimme rechnerisch das Volumen $V$ des Rotationskörpers.

(4 P)

A 1.1

Anwenden des Kosinussatzes:

$\sphericalangle ACB\approx 32^\circ$

Vollständige Lösung anzeigen

A 1.2

$\begin{array}[t]{rll} \sin(32^\circ)&=&\dfrac{0,5\cdot\overline{BD}}{75\,cm} &\scriptsize \mid\;\cdot 75\,cm\,\mid\;:0,5 \\[5pt] 2\cdot\sin(32^\circ)\cdot 75\,cm&=&\overline{BD}\\[5pt] \overline{BD}&\approx&79\,cm \end{array}$

$A=\dfrac{1}{2}\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BD}$ $=\dfrac{1}{2}\cdot 150\,cm\cdot 79\,cm$ $=5925\,cm^2$

A 1.3

$100\,cm$ statt $150\,cm$ bedeutet, dass sich der Flächeninhalt auf $\dfrac{100\,cm}{150\,cm}=\dfrac{2}{3}$ verkleinert. Also verringert sich die Fläche um $\dfrac{1}{3}\approx33\,\%.$

A 2.1

Da $B_n$ und $C_n$ die gleiche Abszisse haben, entspricht deren Abstand der Differenz ihrer $y$ -Koordinaten:

$\overline{B_nC_n}(x)=-0,6x^2+3,3x+5\,LE$

Vollständige Lösung anzeigen

A 2.2

$\overline{B_nC_n}(x)=-0,6x^2+3,3x+5$

$\begin{array}[t]{rll} 10&=&-0,6x^2+3,3x+5 & \scriptsize \mid\;-10\,\mid\;:(-0,6) \\[5pt] 0&=&x^2-5,5x+\dfrac{25}{3} \end{array}$

$p$ - $q$ -Formel:

$x_{1/2}=2,75\pm\sqrt{2,75^2-\dfrac{25}{3}}$

Der Ausdruck unter der Wurzel ist negativ, damit ist der Term nicht definiert und somit existiert keine Lösung der Gleichung.

A 2.3

$y_M=\dfrac{-0,2x^2+1,5x+1+0,4x^2-1,8x-4}{2}$

$y_M=0,1x^2-0,15x-1,5$

A 2.4

Die $y$ -Koordinate von $M_2$ entspricht der $y$ -Koordinate von $A$ : $y_M=y_A=1$

$\begin{array}[t]{rll} 0,1x^2-0,15x-1,5&=&1 &\scriptsize \mid\;-1\,\mid\;:0,1 \\[5pt] x^2-1,5x-25&=&0 \end{array}$

Anwenden der $p$ - $q$ -Formel:

$x_{1/2}=0,75\pm\sqrt{0,75^2+25}$

$x_1\approx 5,81$ , $x_2\approx -4,31$

Nur $x_1$ liegt im Definitionsbereich. Daher entspricht $x_1\approx 5,81$ der $x$ -Koordinate von $M_2.$

A 3.1

$\begin{array}[t]{rll} \tan(16^\circ)&=&\dfrac{21\,cm}{\overline{MS}} &\scriptsize \mid\;\cdot\overline{MS}\;\mid\,:\tan(16^\circ) \\[5pt] \overline{MS}&=&\dfrac{21\,cm}{\tan(16^\circ)}\\[5pt] \overline{MS}&\approx&73,2\,cm \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{HC}}{2\cdot 21\,cm}&=&\dfrac{\left[73,2-(45-5)\right]\,cm}{73,2\,cm} &\scriptsize \\[5pt] \dfrac{\overline{HC}}{2\cdot 21\,cm}&=&\dfrac{33,2\,cm}{73,2\,cm}\quad\scriptsize\mid\;\cdot2\cdot21\,cm \\[5pt] \overline{HC}&\approx&19,0\,cm \end{array}$