Teil B

Aufgabe B1

1.0 Die Skizze zeigt das Fünfeck $ABCDE$ , das den Grundriss eines Badezimmers darstellt.
Es gilt:
$\overline{AC}=6,00\,\text{m}$ ; $\overline{AE}=2,25\,\text{m}$ ; $\overline{CD}=3,60\,\text{m}$ ; $\sphericalangle CBA=90^{\circ}$ ; $\sphericalangle BAE=85^{\circ}$ ; $\sphericalangle BAC = \sphericalangle DCA=36,87^{\circ}$ .

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

1.1 Berechne jeweils die Länge der Strecken $[AB]$ und $[BC]$ .
[Ergebnisse: $\overline{AB}=4,80\,\text{m}; \overline{BC}=3,60\,\text{m}$ ]

(2P)

1.2 Zeichne den Grundriss des Badezimmers im Maßstab $1:50$ und begründe, dass die Geraden $AB$ und $CD$ parallel zueinander sind.

(3P)

1.3 Ermittle rechnerisch jeweils die Länge der Strecken $[EC]$ und $[ED]$ .

[Teilergebnis: $\sphericalangle DCE=16,44^{\circ}$ ; Ergebnisse: $\overline{EC}=4,80\,\text{m}; \overline{ED}=1,69\,\text{m}$ ]

(4P)

1.4 Der Kreis um $D$ mit dem Radius $\overline{DE}$ schneidet die Strecke $[DC]$ im Punkt $F$ .

Zeichne den zugehörigen Kreisbogen $\,\Large^\frown\small{\hspace{-0.7cm}EF}$ in die Zeichnung zu B 1.2 ein und berechne sodann das Maß des Winkels $EDF$ .

[Ergebnis: $\sphericalangle EDF =126,42^{\circ}$ ]

(2P)

1.5 Im Bereich, der durch die Strecken $[FD]$ und $[DE]$ sowie durch den Kreisbogen $\,\Large^\frown\small{\hspace{-0.7cm}EF}$ begrenzt ist, wird eine Dusche errichtet. Die restliche Bodenfläche wird gefliest.

Ermittle den Flächeninhalt $A$ des zu fliesenden Bodens.

(4P)

1.6 Der Punkt $P$ mit $P\in[EF]$ kennzeichnet die Lage des Abflusses der Dusche.
Dabei hat $P$ die minimale Entfernung zum Punkt $D$ .

Zeichne die Strecke $[EF]$ und den Punkt $P$ in die Zeichnung zu B 1.2 ein und bestimme sodann durch Rechnung die Länge der Strecke $[PD]$ .

(2P)

Aufgabe B2

2.0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide $ABCDS$ , deren Grundfläche das Quadrat $ABCD$ ist.
Die Spitze $S$ der Pyramide liegt senkrecht über dem Mittelpunkt $M$ der Strecke $[AD]$ .

$N$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[BC]$ .

Es gilt:
$\overline{AB}=8\,\text{cm}; \sphericalangle SNM=55^{\circ}$ .

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

2.1 Zeichne das Schrägbild der Pyramide $ABCDS$ . wobei die Strecke $[MN]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $M$ links vom Punkt $N$ liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: $q=\dfrac{1}{2}; \omega=45^{\circ}$ .

Berechne sodann die Höhe $[MS]$ der Pyramide $ABCDS$ und die Länge der Strecke $[SN]$ .

[Ergebnisse: $\overline{MS}=11,43\,\text{cm}$ ; $\overline{SN}=13,95\,\text{cm}$ ]

(4P)

2.2 Punkte $P_n$ auf der Strecke $[SN]$ mit $\overline{P_nS}(x)=x\,\text{cm}$ mit $x\in \mathbb{R}$ und $x\in]0;13,95[$ sind die Spitzen von Pyramiden $BCMP_n$ . Punkte $F_n$ sind die Fußpunkte der Pyramidenhöhen $[P_nF_n$ ].

Zeichne für $x=5$ die Pyramide $BCMP_1$ zusammen mit ihrer Höhe $[P_1F_1]$ in das Schrägbild zu B 2.1 ein. Berechne sodann das Maß des Winkels $\sphericalangle SP_1M$ .

[Teilergebnis: $\overline{MP_1}=7,88\,\text{cm}$ ]

(4P)

2.3 Zeige, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $BCMP_n$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $V(x)=(-8,75x+121,92)\,\text{cm}^3$ .

(3P)

2.4 Ermittle rechnerisch, für welche Werte von $x$ das zugehörige Volumen der Pyramiden $BCMP_n$ mehr als $34\,\%$ des Volumens der Pyramide $ABCDS$ beträgt.

(3P)

2.5 Unter den Punkten $P_n$ hat der Punkt $P_2$ die kürzeste Entfernung zu $M$ .
Zeichne die Pyramide $BCMP_2$ in das Schrägbild zu B 2.1 ein.

Berechne sodann die Länge der Strecke $[MP_2]$ sowie den zugehörigen Wert für $x$ .

(3P)

Aufgabe B1

1.1

$\blacktriangleright$ Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AB}}$ und $\boldsymbol{\overline{BC}}$ berechnen

$\sphericalangle ABC$ ist ein rechter Winkel im Dreieck $ABC$ , sodass man die Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ mithilfe des Sinus und Kosinus ermitteln kann.

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AB}}$ berechnen

$\cos(\sphericalangle BAC) = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}$ .

Umgeformt nach $\overline{AB}$ :

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB} &=& \cos(\sphericalangle BAC) \cdot \overline{AC} \\[5pt] &=& \cos(36,87^{\circ}) \cdot 6\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 4,80\,\text{cm}. \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{BC}}$ berechnen

$\sin(\sphericalangle BAC) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \dfrac{\overline{BC}}{\overline{AC}}$ .

Umgeformt nach $\overline{BC}$ :

$\begin{array}[t]{rll} \overline{BC} &=& \sin(\sphericalangle BAC) \cdot \overline{AC} \\[5pt] &=& \sin(36,87^{\circ}) \cdot 6\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 3,60\,\text{m.} \\[5pt] \end{array}$

1.2

$\blacktriangleright$ Grundriss zeichnen

Der Maßstab der Zeichnung soll 1:50 sein, d.h. 1 cm in der Zeichnung entsprechen 50 cm in der Realität. Fange am besten mit der Seite $\overline{AB}$ ein. In der Realität ist die Strecke $4,8$ m lang, d.h. die Strecke $\overline{AB}$ ist in der Zeichnung $2 \cdot 4,8\,\text{cm} = 9,6\,\text{cm.}$ Fahre nun mit der Seite $\overline{BC}$ fort, die mit $\overline{AB}$ einen rechten Winkel bildet. $\overline{BC}$ ist $3,6$ m lang und somit in der Zeichnung $7,2$ cm. Fahre nun so fort bis alle Seiten eingezeichnet sind.

Abb. 1: Skizze des Fünfecks

$\blacktriangleright$ Parallelität begründen

Die beiden Geraden $AB$ und $CB$ sind nach dem Stufenwinkelsatz genau dann parallel, wenn die beiden Winkel $\sphericalangle DCB$ und $\sphericalangle CBA$ gleich sind. Berechne also $\sphericalangle DCB$ . Der Winkel $\sphericalangle ACB$ beträgt aufgrund der Winkelsumme im Dreieck

$180^{\circ} - 90^{\circ} - 36,87^{\circ} = 53,13^{\circ}$ .

Somit ist der Winkel

$\begin{array}[t]{rll} \sphericalangle DCB&=& \sphericalangle ACB + \sphericalangle DCA &\\[5pt] &=& 36,87^{\circ} + 53,13^{\circ} \\[5pt] &=& 90^{\circ} \end{array}$

Also sind die beiden Winkel gleich und folglich die beiden Geraden $AB$ und $CD$ parallel. Die beiden Winkel $\sphericalangle DCB$ und $\sphericalangle CBA$ sind daher gleich groß, sodass nach dem Stufenwinkelsatz folgt, dass die Geraden $AB$ und $CD$ parallel sind.

1.3

$\blacktriangleright$ Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{EC}}$ und $\boldsymbol{\overline{ED}}$ berechnen

Um die beiden Strecken $\overline{EC}$ und $\overline{ED}$ zu berechnen, wende in beiden Fällen den Kosinussatz an.

1. Schritt: Länge der Strecke $\overline{EC}$ berechnen

Die Strecken $\overline{AE}$ und $\overline{AC}$ sind im Dreieck $ACE$ sind gegeben. Der Winkel $\sphericalangle CAE$ beträgt

$\begin{array}[t]{rll} \sphericalangle CAE&=& \sphericalangle BAE - \sphericalangle BAC & \\[5pt] &=& 85^{\circ} - 36,87^{\circ} \\[5pt] &=& 48,13^{\circ} \end{array}$

Zwei Seiten und der gegenüberliegende Winkel der gesuchten Seite des Dreiecks $ACE$ sind gegeben, sodass man mithilfe des Kosinussatzes die Strecke $\overline{EC}$ ermitteln kann:

$\sqrt{\overline{EC}^2} \approx 4,8$

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Die Länge der Strecke $\overline{EC}$ ist somit $4,8\,\text{m.}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{ED}$ berechnen

Um die Strecke $\overline{ED}$ im Dreieck $CDE$ mit dem Kosinussatz bestimmen zu können, benötigt man den Winkel $\sphericalangle DCE = \sphericalangle DCA - \sphericalangle ECA$ .

2.1 Schritt: Winkel $\boldsymbol{\sphericalangle DCE}$ berechnen

Alle Seiten des Dreiecks $ECA$ sind gegeben, sodass der Winkel $\sphericalangle ECA$ erneut mit dem Kosinussatz bestimmt werden kann.

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AE}^2&=& \overline{EC}^2+\overline{AC}^2 & \\[5pt] & & -2\cdot \overline{EC} \cdot \overline{AC} \cdot \cos(\sphericalangle ECA) \end{array}$

Forme die Gleichung nach $\cos(\sphericalangle ECA)$ um:

$\sphericalangle ECA\approx 20,43^{\circ}$

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Daraus folgt sofort, dass $\sphericalangle DCE = 36,87^{\circ} - 20,43^{\circ} = 16,44^{\circ}.$

2.2 Schritt: Strecke $\overline{ED}$

Die Seiten $\overline{DC}$ , $\overline{EC}$ und der Winkel $\sphericalangle DCE$ sind gegeben. Wende nun den Kosinussatz an:

$\overline{ED} = \sqrt{2,85} \approx 1,69$

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Folglich ist $\overline{ED} \approx 1,69\,\text{m.}$

1.4

$\blacktriangleright$ Winkel $\boldsymbol{\sphericalangle EDF}$ berechnen

Abb. 2: Anwendung des Sinussatzes

$\dfrac{\overline{ED}}{sin(\sphericalangle DCE)} = \dfrac{\overline{EC}}{sin(\sphericalangle EDC)}.$

Forme die Gleichung nach $sin(\sphericalangle EDC)$ um:

$\sin(\sphericalangle EDC) \approx 0,80$

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Die Umkehrfunktion der Sinusfunktion liefert $\sin^{-1}(0,8) \approx 53,13^{\circ}$ . Da man anhand der Skizze erkennt, dass $\sphericalangle EDF$ größer als $90^{\circ}$ beträgt, muss man $53,13^{\circ}$ von $180^{\circ}$ abziehen:

$\sphericalangle EDF = 180^{\circ} - 53,13^{\circ} = 126,87^{\circ}$ .

Ein alternativer Weg ist die Anwendung des Kosinussatzes.

1.5

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des zu fliesenden Bodens berechnen

Du sollst den Flächeninhalt des zu fliesenden Bodens bestimmen. Der zu fliesende Boden bleibt nach dem Einbau der runden Dusche übrig.

Zuerst berechnest du getrennt den Flächeninhalt der Dusche und den Flächeninhalt des gesamten Bades. Die Differenz ist die Größe der zu fliesenden Fläche.

1. Schritt: Flächeninhalt $\boldsymbol{A_{\bigcirc}}$ der Dusche

Die Kante der Dusche wird durch den Kreis durch $E$ und $F$ mit Mittelpunkt in $D$ beschrieben. Sein Radius beträgt also $r=\overline{ED}=\overline{DF}=1,69\;\text{m}$ . Da die Dusche nicht den kompletten Kreis füllt sondern durch die Strecken $\overline{ED}$ und $\overline{DF}$ beschränkt wird, benutzt die folgende Formel:

$A=\pi\cdot r^2\cdot \dfrac{\alpha}{360^\circ}$

Dabei bezeichnet $\alpha = 126,87^\circ$ den von $E$ , $D$ und $F$ eingeschlossenen Winkel.

$\begin{array}[t]{rll} A_\bigcirc&=& \pi\cdot 1,69^2\cdot \dfrac{126,87^\circ}{360^\circ} &\\[5pt] &\approx& \pi\cdot 2,86 \cdot 0,35 \\[5pt] &=& 3,14 \end{array}$

Der Flächeninhalt der Dusche ist $3,14\;\text{m}^2$ .

2. Schritt: Dreieck zur Berechnung des Gesamtflächeninhalts $\boldsymbol{A_G}$ zerlegen

Für die Bestimmung der Differenz ist der Flächeninhalt des Fünfecks nötig. Zur Berechnung zerlegst du das Fünfeck in die drei Dreiecke $\Delta ABC$ , $\Delta ACE$ und $ECD$ .

Abb. 3: Zerlegung des Fünfecks

3. Schritt: Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{\Delta ABC}$ berechnen

Für den Flächeninhalt eines einzelnen Dreieckes gilt mit einer Seite $a$ und der zugehörigen Höhe $h_a$ :

$A_\Delta =\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot h_a$

Im Dreieck $\Delta ABC$ entspricht die Strecke $\overline{BC}=3,6\;\text{m}$ der Höhe der Strecke $\overline{AB}=4,8\;\text{m}$ . Für den Flächeninhalt gilt somit:

$\begin{array}[t]{rll} A_{\Delta ABC}&=& \dfrac{1}{2}\cdot 4,8\cdot 3,6 &\\[5pt] &=& 8,64 \end{array}$

Das orangene Dreieck hat einen Flächeninhalt von $8,64\;\text{m}^2$ .

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Berechnung des Flächeninhalts über die Höhe

Die beiden übrigen Dreiecke $\Delta ACE$ und $\Delta ECD$ sind nicht rechtwinklig und du benötigst eine Höhe. Zeichne dazu die Höhe auf die jeweils längste Seite des Dreiecks ein.

Abb. 4: Dreiecke mit Höhe

4. Schritt: Höhen berechnen

Die eingezeichneten Höhen berechnest du nun jeweils mit einem Sinus des eingezeichneten Winkels. Den Winkel $\sphericalangle CAE$ erhälst du aus der Differenz von $\sphericalangle BAE$ und $\sphericalangle BAC$ , der Winkel $\sphericalangle DCE$ ist gegeben.

Für den Sinus gilt:

$\sin (\alpha) =\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}}$

Für die Höhen der beiden Dreiecke gilt somit:

$h_{\overline{EC}}=1,68$

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$h_{\overline{AC}}=1,02$

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Das blaue Dreieck hat eine Höhe von $1,68\;\text{m}$ , das grüne von $1,02\;\text{m}$ .

5. Schritt: Flächeninhalte berechnen

Mit den Höhen bestimmst du die Flächeninhalt wie gewohnt:

$\begin{array}[t]{rll} A_{\Delta ACE}&=& \dfrac{1}{2}\cdot 1,68\cdot 6 & \\[5pt] &=& 5,04 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} A_{\Delta ECD}&=& \dfrac{1}{2}\cdot 1,02\cdot 4,8 & \\[5pt] &=& 2,45 \end{array}$

Die beiden Dreiecke haben einen Flächeninhalt von $5,04\;\text{m}^2$ bzw. $2,45\;\text{m}^2$ .

6. Schritt: Zu fliesender Flächeninhalt berechnen

Mit diesen Angaben bestimmst du die Gesamtfläche $A_G$ des Fünfecks und ziehst für die zu fliesenden Fläche $A_F$ die Fläche der Dusche $A_\bigcirc$ ab.

$\begin{array}[t]{rll} A_G&=& A_{\Delta ABC}+A_{\Delta ACE}+A_{\Delta ECD} &\\[5pt] &=& 8,64+5,04+2,45 \\[5pt] &=& 16,13 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} A_F&=& A_G-A_\bigcirc &\\[5pt] &=& 16,13-3,14 \\[5pt] &=& 12,99 \end{array}$

Die zu fliesende Fläche ist $12,99\;\text{m}^2$ groß.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Berechnung des Flächeninhalts mit des Satz des Heron

Der Flächeninhalt des grünen und blauen Dreiecks lässt sich ebenfalls mit dem Satz des Heron berechnen. Für ein Dreieck mit den Seitenlängen $a$ , $b$ und $c$ berechnet sich der Flächeninhalt mit:

$\begin{array}[t]{rll} A_\Delta&=& \sqrt{\dfrac{1}{16}\cdot (a+b+c) } & \\[5pt] & & \cdot\sqrt{(a+b-c)} \\[5pt] & & \cdot \sqrt{(b+c-a)} \\[5pt] & & \cdot \sqrt{(c+a-b)} \\[5pt] \end{array}$

Für die beiden Dreiecke gilt somit:

$A_{\Delta ACE}\approx 5,03$

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$A_{\Delta ECD}\approx 2,45$

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Die beiden Dreiecke haben die Flächeninhalte $5,03\;\text{m}^2$ und $2,45\;\text{m}^2$ .

4. Schritt: Zu fliesender Flächeninhalt berechnen

Mit diesen Angaben bestimmst du die Gesamtfläche $A_G$ des Fünfecks und ziehst für die zu fliesenden Fläche $A_F$ die Fläche der Dusche $A_\bigcirc$ ab.

$\begin{array}[t]{rll} A_G&=& A_{\Delta ABC}+A_{\Delta ACE}+A_{\Delta ECD} &\\[5pt] &=& 8,64+5,03+2,45 \\[5pt] &=& 16,12 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} A_F&=& A_G-A_\bigcirc &\\[5pt] &=& 16,12-3,14 \\[5pt] &=& 12,98 \end{array}$

Die zu fliesende Fläche ist $12,98\;\text{m}^2$ groß.

1.6

$\blacktriangleright$ Strecke $\boldsymbol{\overline{PD}}$ bestimmen

Der kürzeste Abstand von einem Punkt $P$ zu einer Geraden ist die Strecke, die durch den Punkt $P$ geht und auf die Gerade im rechten Winkel auftrifft.

Abb. 5: Skizze zur Bestimmung des kürzesten Abstandes

Die Strecke $\overline{PD}$ ist die Höhe des Dreiecks $EDF$ . Da das Dreieck $EDF$ gleichschenklig ist, ist die Strecke $\overline{PD}$ die Winkelhalbierende von $\sphericalangle EDF$ . Somit ist der Winkel

$\sphericalangle PDF = \dfrac{\sphericalangle EDF}{2} = \dfrac{126,42^{\circ}}{2} = 63,21^{\circ}.$

Die Höhe $\overline{PD}$ kann jetzt mithilfe des Kosinus ermitteln werden:

$\overline{PD} = \cos(63,21^{\circ}) \cdot 1,69 \approx 0,76\,\text{m}.$

Die Strecke $\overline{PD}$ ist $0,76\,\text{m}$ lang.

Aufgabe B2

2.1

$\blacktriangleright$ Schrägbild zeichnen und Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{MS}}$ und $\boldsymbol{\overline{SN}}$ berechnen

Beginne beim Zeichnen mit der Strecke $\overline{AB}$ . Zeichne die Strecke $\overline{BC}$ im Winkel $\omega = 45^{\circ}$ zu $AB$ ein. Dabei ist die Länge der Strecke $\overline{BC} = q \cdot 8 = 0,5 \cdot 8 = 4.$ Fahre nun so fort bis alle Seiten eingezeichnet sind.

Abb. Zahl: Schrägbild der Pyramide

$\blacktriangleright$ Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{MS}}$ und $\boldsymbol{\overline{SN}}$

Um die beiden Strecken $\overline{MS}$ und $\overline{SN}$ zu berechnen, benutze den Kosinus und Tangens im Dreieck $MNS$ :

$\begin{array}[t]{rll} \overline{MS}&=& \overline{MN} \cdot \tan(55^{\circ}) & \\[5pt] &=& 8 \cdot \tan(55^{\circ}) \\[5pt] &\approx & 11,43\,\text{cm} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{SN} &=& \dfrac{\overline{MN}}{\cos(55^{\circ})} & \\[5pt] &=& \dfrac{8}{\cos(55^{\circ})} \\[5pt] &\approx & 13,95\,\text{cm} \end{array}$

2.2

$\blacktriangleright$ Pyramide $\boldsymbol{BCMP_n}$ zeichnen und Winkel $\boldsymbol{\sphericalangle SP_1M}$ berechnen

Abb. 7: Kombination beider Pyramiden

$\blacktriangleright$ Winkel $\sphericalangle SP_1M$

Um den Winkel $\sphericalangle SP_1M$ zu berechnen, muss zuerst die Strecke $\overline{MP_1}$ bestimmt werden, um den Kosinussatz im Dreieck $MNP_1$ anwenden zu können.

$\overline{MP_1}^2\approx 61,97\,\text{cm}^2$

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und somit $\overline{MP_1} \approx 7,87 \,\text{cm}.$

Wende erneut den Kosinussatz an, um den Winkel $\sphericalangle SP_1M$ zu berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{SM}^2&=& \overline{SP_1}^2 + \overline{MP_1}^2 &\\[5pt] & & - 2 \cdot \overline{SP_1} \cdot \overline{MP_1}\cdot \cos(\sphericalangle SP_1M) \end{array}$

Forme die Gleichung nach $\cos(\sphericalangle SP_1M)$ um:

$\sphericalangle SP_1M\approx 124,06 ^{\circ}$

Vollständige Lösung anzeigen

Somit ist $\sphericalangle SP_1M = 124,06^{\circ}.$

2.3

$\blacktriangleright$ Volumen der Pyramide $\boldsymbol{BCMP_n}$ berechnen

Das Volumen einer Pyramide ist

$V = \dfrac{G \cdot h}{3}.$

Die Grundfläche $G$ ist der Flächeninhalt des Dreiecks $BCM$ . Die Höhe $h$ der Pyramide ist gerade die Strecke $\overline{P_{n}F_{n}}$ , welche man mit Hilfe des Sinus berechnen kann.

$\begin{array}[t]{rll} G &=& A_{BCM} & \\[5pt] &=& \dfrac{\overline{BC} \cdot \overline{MN}}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{8 \cdot 8}{2} \\[5pt] &=& 32\,\text{cm}^2 \end{array}$

$\overline{P_{n}F_{n}} = \sin(\sphericalangle MNP_{n}) \cdot (13,95 - x).$

Das Volumen der Pyramide $BCMP_ n$ ist also

$\begin{array}[t]{rll} V(x) &=& \dfrac{A_{BCM} \cdot \sin(\sphericalangle MNP_{n}) \cdot \overline{NP_{n}}}{3} \\[5pt] &=& \dfrac{32 \cdot \sin(55^{\circ}) \cdot (13,95 - x)}{3} \\[5pt] &\approx& \dfrac{365,67 - 26,21x}{3} \\[5pt] &=& 121,89 - 8,74x. \\[5pt] \end{array}$

2.4

$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{BCMP_n}$ und $\boldsymbol{ABCDS}$

Das Volumen der Pyramide $BCMP_n$ beträgt genau dann mehr als $34\%$ der Pyramide $ABCDS$ , wenn $\dfrac{V_{BCMP_{n}}}{V_{ABCDS}} > 0,34.$ Setze die Volumen der Pyramiden ein und forme die Ungleichung nach x um.

$0,16\gt 0,04\cdot x$

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Somit ist die Ungleichung genau dann erfüllt, falls $x \lt 4$ .

2.5

$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{BCMP_n}$ und $\boldsymbol{ABCDS}$ untersuchen

Der kürzeste Abstand von einem Punkt P zu einer Geraden ist die Strecke, die durch den Punkt P geht und auf die Gerade im rechten Winkel auftrifft. Die Gerade $MP_2$ schneidet die Gerade $SN$ im rechten Winkel.

Abb. 8: Kombination von zwei Pyramiden

$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{x}$ -Wert berechnen

Der Punkt $P_2$ hat den kürzesten Abstand zu $M$ , d.h. die Strecke $\overline{MP_2}$ schneidet die Strecke $\overline{SN}$ im rechten Winkel. Somit kann man die Strecken $\overline{MP_2}$ und $\overline{NP_2}$ mit Hilfe des Sinus und Kosinus berechnet werden, um anschließend die Strecke $SP_2$ , also den $x$ -Wert, zu berechnen

$\overline{MP_2} = \sin(55^{\circ}) \cdot \overline{MN} \approx 6,55\,\text{cm},$

$\overline{NP_2} = \cos(55^{\circ}) \cdot \overline{MN} \approx 4,59\,\text{cm}.$

$\overline{SN} - \overline{NP_2} = 13,95 - 4,59 = 9,36$ .

Der dazugehörige $x$ -Wert ist daher $9,36$ .

Bildnachweise [nach oben]

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