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Inhaltsverzeichnis

Teil B

B 1.0

Die Parabel $p$ verläuft durch die Punkte $P(-3 \mid 0)$ und $Q(5 \mid 0)$ . Sie hat eine Gleichung der Form $y=a \cdot x^2+0,5x+c$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ und $a \in \mathbb{R}\setminus \{ 0\}, c \in \mathbb{R}.$

Die Gerade $g$ hat die Gleichung $y=-0,1x-2$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}.$

B 1.1

Zeige durch Berechnung der Werte für $a$ und $c$ , dass die Parabel $p$ die Gleichung $y=-0,25x^2+0,5x+3,75$ hat.

Zeichne sodann die Gerade $g$ sowie die Parabel $p$ für $x \in [-4;7]$ in ein Koordinatensystem ein.

Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 \,\text{cm}$ ; $-5\leq x \leq 8$ ; $-5\leq y \leq 5$

(4 P)

B 1.2

Punkte $A_n(x \mid -0,25x^2+0,5x+3,75)$ auf der Parabel $p$ und Punkte $B_n(x \mid -0,1x-2)$ auf der Geraden $g$ haben dieselbe Abszisse $x.$

Sie sind zusammen mit Punkten $C_n$ und $D_n$ für $x \in ]-3,74;6,14[$ die Eckpunkte von Parallelogrammen $A_nB_nC_nD_n.$

Die Punkte $C_n$ liegen ebenfalls auf der Geraden $g$ . Dabei ist die Abszisse $x$ der Punkte $C_n$ jeweils um $2$ größer als die Abszisse $x$ der Punkte $B_n.$

Zeichne die Parallelogramme $A_1B_1C_1D_1$ für $x=-2$ und $A_2B_2C_2D_2$ für $x=3$ in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.

(2 P)

B 1.3

Berechne die Länge der Strecken $[A_nB_n]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n.$

$[$ Ergebnis: $\dotsc ]$

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(2 P)

B 1.4

Überprüfe rechnerisch, ob es unter den Parallelogrammen $A_nB_nC_nD_n$ ein Parallelogramm mit einem Flächeninhalt von $13\,\text{FE}$ gibt.

(3 P)

B 1.5

Unter den Parallelogrammen $A_nB_nC_nD_n$ gibt es die Rauten $A_3B_3C_3D_3$ und $A_4B_4C_4D_4.$

Berechne die $x$ -Koordinate der Punkte $A_3$ und $A_4$ auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
$[$ Teilergebnis: $\overline{B_nC_n}=2,01\,\text{LE}]$

(4 P)

B 1.6

Begründe, dass es unter den Parallelogrammen $A_nB_nC_nD_n$ kein Rechteck gibt.

(2 P)

B 2.0

Gegeben ist das Dreieck $ABC$ mit $\overline{AB}=10\,\text{cm}$ , $\overline{AC}=8\,\text{cm}$ und $\overline{BC}=9,5\,\text{cm}.$
Der Punkt $D$ ist der Fußpunkt des Lotes vom Eckpunkt $A$ auf die Seite $[BC]$ (siehe Skizze).

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Abb. 1: Dreieck

B 2.1

Zeichne das Dreieck $ABC$ und die Strecke $[AD].$

(1 P)

B 2.2

Berechne das Maß $\beta$ des Winkels $CBA$ , das Maß $\epsilon$ des Winkels $BAD$ und die Länge der Strecke $[AD].$
$[$ Ergebnisse: $\beta =48,36^\circ$ ; $\epsilon =41,64^\circ]$

(3 P)

B 2.3

Der Punkt $G$ auf der Verlängerung der Strecke $[BC]$ über $C$ hinaus ist ein Eckpunkt des Dreiecks $ABG$ . Der Winkel $BAG$ hat das Maß $70^\circ.$

Zeichne das Dreieck $ABG$ und berechne die Länge der Strecke $[CG].$

(4 P)

B 2.4

Im Dreieck $ABD$ berührt der Inkreis $k$ die Seite $[AB]$ im Punkt $E$ und die Seite $[AD]$ im Punkt $F.$

Zeichne den Inkreis $k$ mit seinem Mittelpunkt $M$ und die Strecken $[ME]$ und $[MF]$ in die Zeichnung zu B 2.1 ein.

(2 P)

B 2.5

Berechne das Maß $\phi$ des Winkels $AMB$ und den Inkreisradius $r=\overline{ME}.$
$[$ Ergebnisse: $\phi =135^\circ$ ; $r =2,06\,\text{cm}]$

(3 P)

B 2.6

Berechne den Flächeninhalt $A$ des Flächenstücks $AEF$ , das vom Kreisbogen $\widetilde{FE}$ sowie von den Strecken $[EA]$ und $[AF]$ begrenzt wird.

(4 P)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

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B 1.1

$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung nachweisen

Durch Einsetzen der Koordinaten der Punkte $P(-3 \mid 0)$ und $Q(5 \mid 0)$ in die gegebene Funktionsgleichung folgt das Gleichungssystem:

$\text{I}: \dotsc$

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Aus der Gleichung $\text{I‘}$ folgt für $a$ :

$a=-0,25$

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Damit folgt mit der Gleichung $\text{II}$ für $c$ :

$c=3,75$

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Somit lautet die Funktionsgleichung der Parabel $y=-0,25x^2+0,5x+3,75.$

$\blacktriangleright$ Gerade und Parabel einzeichnen

Für die Gerade $g$ und die Parabel $p$ folgt für $x \in [-4;7]$ :

Abb. 1: Graphen

B 1.2

$\blacktriangleright$ Parallelogramme einzeichnen

Für die Parallelogramme $A_1B_1C_1D_1$ und $A_2B_2C_2D_2$ folgt:

Abb. 2: Parallelogramme

B 1.3

$\blacktriangleright$ Länge der Strecke berechnen

Die Punkte $A_n$ und $B_n$ besitzen die gleiche $x$ -Koordinate. Somit ist die Länge der Strecken $A_nB_n$ durch die Differenz der $y$ -Koordinaten gegeben. Damit folgt für die Länge der Strecken in Abhängigkeit der Abszisse $x$ mit den entsprechenden $y$ -Koordinaten:

$\overline{A_nB_n}= \dotsc$

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Dadurch gilt für die Länge der Strecken $A_nB_n$ in Abhängigkeit der Abszisse $x$ :

$\overline{A_nB_n}(x)=\dotsc$

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B 1.4

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt überprüfen

Es ist gegeben, dass die Abszisse der Punkte $C_n$ jeweils um $2$ größer ist als die Abszisse $x$ der Punkte $B_n.$ Somit gilt für die Höhe $h$ der Parallelogramme $h= 2 \,\text{LE}.$ Damit folgt mit der Formel für den Flächeninhalt $A$ der Parallelogramme und der Bedingung $A= 13\,\text{FE}$ :

$x_{1,2}=\dotsc$

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Da der Term unter der Wurzel kleiner Null ist, gibt es keine Lösungen für $x \in \mathbb{R}$ und somit gibt es kein Parallelogramm mit einem Flächeninhalt von $13\,\text{FE}.$

B 1.5

$\blacktriangleright$ Koordinaten berechnen

Für eine Raute muss $\overline{A_nB_n}=\overline{B_nC_n}$ gelten.

Die Differenz der $x$ -Koordinate der Punkte $B_n$ und $C_n$ beträgt nach Aufgabenstellung $x_D=2$ und die Differenz der $y$ -Koordinaten $y_D$ ist mit der Gleichung der Geraden $g$ folgendermaßen gegeben:

$y_D=0,2$

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Somit folgt mit dem Satz des Pythagoras für die Länge der Strecken $[B_nC_n]$ :

$\begin{array}[t]{rll} \overline{B_nC_n}&=&\sqrt{x_D^2 +y_D^2} \\[5pt] &=&\sqrt{2^2 +(0,2)^2} \\[5pt] &=& 2,01\\[5pt] \end{array}$

Damit gilt $\overline{B_nC_n}=2,01\,\text{FE}.$ Dadurch folgt für die Länge der Strecken $[A_nB_n]$ :

$x_{1,2}=\dotsc$

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Somit betragen die $x$ -Koordinaten der Punkte $A_3$ und $A_4$ ungefähr $5,25 \,\text{LE}$ und $-2,85\,\text{LE}.$

B 1.6

$\blacktriangleright$ Geometrie begründen

Die Strecke $[A_nB_n]$ ist immer parallel zur $y$ -Achse. Somit müsste für ein Rechteck gelten, dass eine Strecke $[B_nC_n]$ parallel zur $x$ -Achse ist. Hierbei ist gegeben, dass die Punkte $B_n$ und $C_n$ immer auf der Geraden $g$ mit der Funktionsgleichung $y=-0,1x-2$ liegen. Da die Steigung der Geraden ungleich Null ist, folgt dadurch, dass die Strecke $[B_nC_n]$ nicht parallel zur $x$ -Achse verlaufen kann.

Somit kann es unter den Parallelogrammen $A_nB_nC_nD_n$ kein Rechteck geben.

B 2.1

$\blacktriangleright$ Dreieck und Strecke einzeichnen

Für das Dreieck $ABC$ und die Strecke $[AD]$ folgt:

Abb. 3: Dreieck $ABC$ und Strecke $[AD]$

B 2.2

$\blacktriangleright$ Winkelmaß bestimmen

Für das Maß $\beta$ des Winkels $CBA$ folgt mit dem Kosinussatz im Dreieck $ABC$ :

$\beta \approx 48,36^°$

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Für das Maß $\epsilon$ des Winkels $BAD$ folgt anschließend mit der Winkelsumme im Dreieck $ABD$ :

$\epsilon \approx 41,64^°$

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Somit gelten für die Maße der Winkel $\beta \approx 48,36^°$ und $\epsilon \approx 41,64^°.$

$\blacktriangleright$ Länge der Strecke berechnen

Für die Länge der Strecke $[AD]$ folgt mit dem Sinus im rechtwinkligen Dreieck $ABD$ :

$\overline{AD} \approx 7,47\,\text{cm}$

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Dadurch beträgt die Länge der Strecke $[AD]$ etwa $7,47\,\text{cm}.$

B 2.3

$\blacktriangleright$ Dreieck zeichnen

Für das Dreieck $ABG$ folgt:

Abb. 4: Dreieck $ABG$

$\blacktriangleright$ Länge der Strecke berechnen

Für die Länge der Strecke $[CG]$ gilt die Gleichung:

$\overline{CG}=\overline{BG} -\overline{BC}$

Für den Winkel $AGB$ folgt mit der Winkelsumme im Dreieck $ABG$ :

$\sphericalangle{AGB} \approx 61,64^°$

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Anschließend folgt für die Länge der Strecke $[BG]$ mit dem Sinussatz im Dreieck $ABG$ :

$\overline{BG} \approx 10,68\,\text{cm}$

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Damit folgt für die Länge der Strecke $[CG]$ mit der oberen Gleichung:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CG}&=& \overline{BG} -\overline{BC} \\[5pt] &\approx& 10,68\,\text{cm} -9,5\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 1,18 \,\text{cm} \end{array}$

Dadurch folgt, dass die Länge der Strecke $[CG]$ etwa $1,18 \,\text{cm}$ beträgt.

B 2.4

$\blacktriangleright$ Inkreis und Strecken einzeichnen

Für den Inkreis $k$ mit dem Mittelpunkt $M$ und für die Strecken $[ME]$ und $[MF]$ folgt:

Abb. 5: Inkreis $k$

B 2.5

$\blacktriangleright$ Winkelmaß berechnen

Die Strecken $[AM]$ und $[MB]$ sind Winkelhalbierende zu den Winkeln $BAD$ und $CBA$ . Damit folgt für das Maß $\phi$ des Winkels $AMB$ mit der Winkelsumme im Dreieck $AMB$ :

$\phi \approx 135^°$

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Damit beträgt das Maß des Winkels $AMB$ etwa $135^°.$

$\blacktriangleright$ Inkreisradius berechnen

Mit dem Sinussatz folgt für die Länge der Strecke $[BM]$ im Dreieck $ABM$ :

$\overline{BM} \approx 5,03\,\text{cm}$

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Für den Inkreisradius $r=\overline{ME}$ gilt mit dem Sinus im rechtwinkligen Dreieck $EBM$ :

$r \approx 2,06\,\text{cm}$

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Somit beträgt der Inkreisradius etwa $2,06\,\text{cm}.$

B 2.6

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

Für den Flächeninhalt $A$ gilt die Gleichung:

$A=A_{AEMF}-A_{\text{Sektor}}$

Die Fläche $AEMF$ besteht aus zwei gleich großen rechtwinkligen Dreiecken. Für die Länge der Strecke $[AE]$ folgt mit dem Tangens im rechtwinkligen Dreieck $AEM$ :

$\overline{AE} \approx 5,42\,\text{cm}$

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Damit folgt für den Flächeninhalt der Fläche $AEMF$ :

$A_{AEMF} \approx 11,17\,\text{cm}^2$

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Für den Flächeninhalt des Kreissektors muss zuerst der Winkel $\sphericalangle{FME}$ bestimmt werden. Für den Winkel $\sphericalangle{FME}$ folgt mit der Winkelsumme im Viereck $AEMF$ :

$\sphericalangle{FME} \approx 138,36^°$

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Für den Flächeninhalt des Kreissektors $A_{\text{Sektor}}$ folgt somit:

$A_{\text{Sektor}} \approx 5,12\,\text{cm}^2$

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Damit ergibt sich mit der oberen Gleichung für den Flächeninhalt der gesuchten Fläche:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& A_{AEMF}-A_{\text{Sektor}}\\[5pt] &\approx& 11,17\,\text{cm}^2 - 5,12\,\text{cm}^2 \\[5pt] &\approx& 6,05\,\text{cm} \end{array}$

Dadurch beträgt der Flächeninhalt $A$ des Flächenstücks $AEF$ etwa $6,05\,\text{cm}^2.$

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