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Teil B

Aufgaben
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B 1.0
Die Parabel $p$ verläuft durch die Punkte $P(-3 \mid 0)$ und $Q(5 \mid 0)$. Sie hat eine Gleichung der Form $y=a \cdot x^2+0,5x+c$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ und $a \in \mathbb{R}\setminus \{ 0\}, c \in \mathbb{R}.$
Die Gerade $g$ hat die Gleichung $y=-0,1x-2$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}.$
B 1.1
Zeige durch Berechnung der Werte für $a$ und $c$, dass die Parabel $p$ die Gleichung $y=-0,25x^2+0,5x+3,75$ hat.
Zeichne sodann die Gerade $g$ sowie die Parabel $p$ für $x \in [-4;7]$ in ein Koordinatensystem ein.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 \,\text{cm}$; $-5\leq x \leq 8$; $-5\leq y \leq 5$
(4 P)
#funktionsgleichung
B 1.2
Punkte $A_n(x \mid -0,25x^2+0,5x+3,75)$ auf der Parabel $p$ und Punkte $B_n(x \mid -0,1x-2)$ auf der Geraden $g$ haben dieselbe Abszisse $x.$
Sie sind zusammen mit Punkten $C_n$ und $D_n$ für $x \in ]-3,74;6,14[$ die Eckpunkte von Parallelogrammen $A_nB_nC_nD_n.$
Die Punkte $C_n$ liegen ebenfalls auf der Geraden $g$. Dabei ist die Abszisse $x$ der Punkte $C_n$ jeweils um $2$ größer als die Abszisse $x$ der Punkte $B_n.$
Zeichne die Parallelogramme $A_1B_1C_1D_1$ für $x=-2$ und $A_2B_2C_2D_2$ für $x=3$ in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.
(2 P)
#parallelogramm
B 1.3
Berechne die Länge der Strecken $[A_nB_n]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n.$
$[$ Ergebnis: $\overline{A_nB_n}(x)(-0,25x^2+0,6x+5,73)\,\text{LE}]$
$[$ Ergebnis: $\dotsc ]$
(2 P)
B 1.4
Überprüfe rechnerisch, ob es unter den Parallelogrammen $A_nB_nC_nD_n$ ein Parallelogramm mit einem Flächeninhalt von $13\,\text{FE}$ gibt.
(3 P)
#flächeninhalt
B 1.5
Unter den Parallelogrammen $A_nB_nC_nD_n$ gibt es die Rauten $A_3B_3C_3D_3$ und $A_4B_4C_4D_4.$
Berechne die $x$-Koordinate der Punkte $A_3$ und $A_4$ auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
$[$ Teilergebnis: $\overline{B_nC_n}=2,01\,\text{LE}]$
(4 P)
#raute
B 1.6
Begründe, dass es unter den Parallelogrammen $A_nB_nC_nD_n$ kein Rechteck gibt.
(2 P)
#parallelogramm
B 2.0
Teil B
Abb. 1: Dreieck
Teil B
Abb. 1: Dreieck
B 2.1
Zeichne das Dreieck $ABC$ und die Strecke $[AD].$
(1 P)
B 2.2
Berechne das Maß $\beta$ des Winkels $CBA$, das Maß $\epsilon$ des Winkels $BAD$ und die Länge der Strecke $[AD].$
$[$Ergebnisse: $\beta =48,36^°$; $\epsilon =41,64^°]$
(3 P)
#winkel
B 2.3
Der Punkt $G$ auf der Verlängerung der Strecke $[BC]$ über $C$ hinaus ist ein Eckpunkt des Dreiecks $ABG$. Der Winkel $BAG$ hat das Maß $70^°.$
Zeichne das Dreieck $ABG$ und berechne die Länge der Strecke $[CG].$
(4 P)
B 2.4
Im Dreieck $ABD$ berührt der Inkreis $k$ die Seite $[AB]$ im Punkt $E$ und die Seite $[AD]$ im Punkt $F.$
Zeichne den Inkreis $k$ mit seinem Mittelpunkt $M$ und die Strecken $[ME]$ und $[MF]$ in die Zeichnung zu B 2.1 ein.
(2 P)
#inkreis#dreieck
B 2.5
Berechne das Maß $\phi$ des Winkels $AMB$ und den Inkreisradius $r=\overline{ME}.$
$[$Ergebnisse: $\phi =135^°$; $r =2,06\,\text{cm}]$
(3 P)
B 2.6
Berechne den Flächeninhalt $A$ des Flächenstücks $AEF$, das vom Kreisbogen $\widetilde{FE}$ sowie von den Strecken $[EA]$ und $[AF]$ begrenzt wird.
(4 P)
#kreisbogen
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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B 1.1
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung nachweisen
Durch Einsetzen der Koordinaten der Punkte $P(-3 \mid 0)$ und $Q(5 \mid 0)$ in die gegebene Funktionsgleichung folgt das Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 0&=& a \cdot (-3)^2 +0,5 \cdot (-3) + c \\ \text{II}\quad& 0&=& a \cdot 5^2 +0,5 \cdot 5 + c \\ \hline \text{I}\quad& 0&=& a \cdot 9 -1,5 + c &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{II}-\text{I}\\ \text{II}\quad& 0&=& a \cdot 25 +2,5 + c \\ \hline \text{I'}\quad& 0&=& 16 \cdot a +4 \\ \text{II}\quad& 0&=& a \cdot 25 +2,5 + c \\ \end{array}$
$\text{I}: \dotsc $
Aus der Gleichung $\text{I'}$ folgt für $a$:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& 16 \cdot a +4&\quad \scriptsize \mid\;-16 \cdot a \\[5pt] -16 \cdot a&=& 4&\quad \scriptsize \mid\;:(-16) \\[5pt] a&=& -0,25 \end{array}$
$a=-0,25$
Damit folgt mit der Gleichung $\text{II}$ für $c$:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& -0,25 \cdot 25 +2,5 +c \\[5pt] 0&=& -6,25 +2,5 +c \\[5pt] 0&=& -3,75 +c &\quad \scriptsize \mid\;+3,75 \\[5pt] 3,75&=& c\\[5pt] \end{array}$
$c=3,75 $
Somit lautet die Funktionsgleichung der Parabel $y=-0,25x^2+0,5x+3,75.$
$\blacktriangleright$  Gerade und Parabel einzeichnen
Für die Gerade $g$ und die Parabel $p$ folgt für $x \in [-4;7]$:
Teil B
Abb. 1: Graphen
Teil B
Abb. 1: Graphen
#gleichungssystem
B 1.2
$\blacktriangleright$  Parallelogramme einzeichnen
Für die Parallelogramme $A_1B_1C_1D_1$ und $A_2B_2C_2D_2$ folgt:
Teil B
Abb. 2: Parallelogramme
Teil B
Abb. 2: Parallelogramme
B 1.3
$\blacktriangleright$  Länge der Strecke berechnen
Die Punkte $A_n$ und $B_n$ besitzen die gleiche $x$-Koordinate. Somit ist die Länge der Strecken $A_nB_n$ durch die Differenz der $y$-Koordinaten gegeben. Damit folgt für die Länge der Strecken in Abhängigkeit der Abszisse $x$ mit den entsprechenden $y$-Koordinaten:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{A_nB_n}&=& y_{A_n} -y_{B_n}\\[5pt] &=& -0,25x^2+0,5x+3,75 +0,1x+2 \\[5pt] &=& -0,25x^2+0,6x+5,75 \\[5pt] \end{array}$
$\overline{A_nB_n}= \dotsc $
Dadurch gilt für die Länge der Strecken $A_nB_n$ in Abhängigkeit der Abszisse $x$:
$\overline{A_nB_n}(x)=(-0,25x^2+0,6x+5,75) \,\text{cm}$
$\overline{A_nB_n}(x)=\dotsc$
B 1.4
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt überprüfen
Es ist gegeben, dass die Abszisse der Punkte $C_n$ jeweils um $2$ größer ist als die Abszisse $x$ der Punkte $B_n.$ Somit gilt für die Höhe $h$ der Parallelogramme $h= 2 \,\text{LE}.$ Damit folgt mit der Formel für den Flächeninhalt $A$ der Parallelogramme und der Bedingung $A= 13\,\text{FE}$:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \overline{A_nB_n} \cdot h\\[5pt] 13&=& (-0,25x^2+0,6x+5,75) \cdot 2\\[5pt] 13&=& -0,5x^2+1,2x+11,5 &\quad \scriptsize \mid\; -13 \\[5pt] 0&=& -0,5x^2+1,2x -1,5 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-2)\\[5pt] 0&=& x^2-2,4x +3 &\quad \scriptsize \mid\; pq-\text{Formel}\\[5pt] x_{1,2}&=& 1,2 \pm \sqrt{(-1,2)^2-3}\\[5pt] &=& 1,2 \pm \sqrt{1,44-3}\\[5pt] &=& 1,2 \pm \sqrt{-1,56}\\[5pt] \end{array}$
$x_{1,2}=\dotsc $
Da der Term unter der Wurzel kleiner Null ist, gibt es keine Lösungen für $x \in \mathbb{R}$ und somit gibt es kein Parallelogramm mit einem Flächeninhalt von $13\,\text{FE}.$
B 1.5
$\blacktriangleright$  Koordinaten berechnen
Für eine Raute muss $\overline{A_nB_n}=\overline{B_nC_n}$ gelten.
Die Differenz der $x$-Koordinate der Punkte $B_n$ und $C_n$ beträgt nach Aufgabenstellung $x_D=2$ und die Differenz der $y$-Koordinaten $y_D$ ist mit der Gleichung der Geraden $g$ folgendermaßen gegeben:
$\begin{array}[t]{rll} y_D&=& y_{B_n} - y_{C_n} \\[5pt] &=& -0,1x -2 - (-0,1\cdot (x+2) -2) \\[5pt] &=& -2 +0,2 +2 \\[5pt] &=& 0,2 \\[5pt] \end{array}$
$y_D=0,2$
Somit folgt mit dem Satz des Pythagoras für die Länge der Strecken $[B_nC_n]$:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{B_nC_n}&=&\sqrt{x_D^2 +y_D^2} \\[5pt] &=&\sqrt{2^2 +(0,2)^2} \\[5pt] &=& 2,01\\[5pt] \end{array}$
Damit gilt $\overline{B_nC_n}=2,01\,\text{FE}.$ Dadurch folgt für die Länge der Strecken $[A_nB_n]$:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{B_nC_n}&=&\overline{A_nB_n} \\[5pt] 2,01&=& -0,25x^2+0,6x+5,75 &\quad \scriptsize \mid\; -2,01 \\[5pt] 0&=& -0,25x^2+0,6x+3,74 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-4)\\[5pt] 0&=& x^2 -2,4x -14,96 &\quad \scriptsize \mid\; pq-\text{Formel}\\[5pt] x_{1,2}&=& 1,2 \pm \sqrt{(-1,2)^2+14,96}\\[5pt] x_{1,2}&\approx& 1,2 \pm 4,05 \\[5pt] x_1&\approx& 5,25 \\[5pt] x_2&\approx& -2,85 \\[5pt] \end{array}$
$ x_{1,2}=\dotsc $
Somit betragen die $x$-Koordinaten der Punkte $A_3$ und $A_4$ ungefähr $5,25 \,\text{LE}$ und $-2,85\,\text{LE}.$
#satzdespythagoras
B 1.6
$\blacktriangleright$  Geometrie begründen
Die Strecke $[A_nB_n]$ ist immer parallel zur $y$-Achse. Somit müsste für ein Rechteck gelten, dass eine Strecke $[B_nC_n]$ parallel zur $x$-Achse ist. Hierbei ist gegeben, dass die Punkte $B_n$ und $C_n$ immer auf der Geraden $g$ mit der Funktionsgleichung $y=-0,1x-2$ liegen. Da die Steigung der Geraden ungleich Null ist, folgt dadurch, dass die Strecke $[B_nC_n]$ nicht parallel zur $x$-Achse verlaufen kann.
Somit kann es unter den Parallelogrammen $A_nB_nC_nD_n$ kein Rechteck geben.
B 2.1
$\blacktriangleright$  Dreieck und Strecke einzeichnen
Für das Dreieck $ABC$ und die Strecke $[AD]$ folgt:
Teil B
Abb. 3: Dreieck $ABC$ und Strecke $[AD]$
Teil B
Abb. 3: Dreieck $ABC$ und Strecke $[AD]$
B 2.2
$\blacktriangleright$  Winkelmaß bestimmen
Für das Maß $\beta$ des Winkels $CBA$ folgt mit dem Kosinussatz im Dreieck $ABC$:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}^2&=&\overline{AB}^2+\overline{BC}^2-2 \cdot \overline{AB} \cdot \overline{BC} \cdot \cos \beta &\quad \scriptsize \mid\; +2 \cdot \overline{AB} \cdot \overline{BC} \cdot \cos \beta \\[5pt] 2 \cdot \overline{AB} \cdot \overline{BC} \cdot \cos \beta + \overline{AC}^2&=&\overline{AB}^2+\overline{BC}^2 &\quad \scriptsize \mid\; - \overline{AC}^2 \\[5pt] 2 \cdot \overline{AB} \cdot \overline{BC} \cdot \cos \beta &=&\overline{AB}^2+\overline{BC}^2-\overline{AC}^2 &\quad \scriptsize \mid\; :(2 \cdot \overline{AB} \cdot \overline{BC}) \\[5pt] \cos \beta &=&\dfrac{\overline{AB}^2+\overline{BC}^2-\overline{AC}^2}{2 \cdot \overline{AB} \cdot \overline{BC}} &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1}(\,) \\[5pt] \beta&=& \cos^{-1}\left(\dfrac{\overline{AB}^2+\overline{BC}^2-\overline{AC}^2}{2 \cdot \overline{AB} \cdot \overline{BC}} \right) \\[5pt] &=& \cos^{-1}\left(\dfrac{10^2+(9,5)^2-8^2}{2 \cdot 10 \cdot 9,5} \right) \\[5pt] &\approx& 48,36^° \\[5pt] \end{array}$
$\beta \approx 48,36^° $
Für das Maß $\epsilon$ des Winkels $BAD$ folgt anschließend mit der Winkelsumme im Dreieck $ABD$:
$\begin{array}[t]{rll} 180^°&=& \epsilon + \beta +90^° &\quad \scriptsize \mid\; -\beta \\[5pt] 180^° - \beta&=& \epsilon +90^° &\quad \scriptsize \mid\; -90^° \\[5pt] 90^° - \beta&=& \epsilon \\[5pt] 90^° - 48,36^°&\approx& \epsilon \\[5pt] 41,64^°&\approx& \epsilon \end{array}$
$\epsilon \approx 41,64^° $
Somit gelten für die Maße der Winkel $\beta \approx 48,36^°$ und $\epsilon \approx 41,64^°.$
$\blacktriangleright$ Länge der Strecke berechnen
Für die Länge der Strecke $[AD]$ folgt mit dem Sinus im rechtwinkligen Dreieck $ABD$:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \beta &=& \dfrac{\overline{AD}}{\overline{AB}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AB} \\[5pt] \overline{AB} \cdot \sin \beta &=& \overline{AD} \\[5pt] 10\,\text{cm} \cdot \sin 48,36^° &\approx& \overline{AD} \\[5pt] 7,47\,\text{cm} &\approx& \overline{AD} \\[5pt] \end{array}$
$\overline{AD} \approx 7,47\,\text{cm}$
Dadurch beträgt die Länge der Strecke $[AD]$ etwa $7,47\,\text{cm}.$
#kosinussatz#sinus
B 2.3
$\blacktriangleright$  Dreieck zeichnen
Für das Dreieck $ABG$ folgt:
Teil B
Abb. 4: Dreieck $ABG$
Teil B
Abb. 4: Dreieck $ABG$
$\blacktriangleright$  Länge der Strecke berechnen
Für die Länge der Strecke $[CG]$ gilt die Gleichung:
$\overline{CG}=\overline{BG} -\overline{BC}$
Für den Winkel $AGB$ folgt mit der Winkelsumme im Dreieck $ABG$:
$\begin{array}[t]{rll} 180^°&=&\sphericalangle{BAG} + \beta + \sphericalangle{AGB} &\quad \scriptsize \mid\; -(\sphericalangle{BAG} + \beta) \\[5pt] 180^°-(\sphericalangle{BAG} + \beta)&=& \sphericalangle{AGB} \\[5pt] 180^°-(70^° + 48,36^°)&\approx& \sphericalangle{AGB} \\[5pt] 61,64^°&\approx& \sphericalangle{AGB} \\[5pt] \end{array}$
$ \sphericalangle{AGB} \approx 61,64^° $
Anschließend folgt für die Länge der Strecke $[BG]$ mit dem Sinussatz im Dreieck $ABG$:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{BG}}{\sin \sphericalangle{BAG}} &=& \dfrac{\overline{AB}}{\sin \sphericalangle{AGB}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sin \sphericalangle{BAG} \\[5pt] \overline{BG} &=& \dfrac{\overline{AB}}{\sin \sphericalangle{AGB}} \cdot \sin \sphericalangle{BAG} \\[5pt] &\approx& \dfrac{10\,\text{cm}}{\sin 61,64^°} \cdot \sin 70^° \\[5pt] &\approx& 10,68\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
$\overline{BG} \approx 10,68\,\text{cm} $
Damit folgt für die Länge der Strecke $[CG]$ mit der oberen Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{CG}&=& \overline{BG} -\overline{BC} \\[5pt] &\approx& 10,68\,\text{cm} -9,5\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 1,18 \,\text{cm} \end{array}$
Dadurch folgt, dass die Länge der Strecke $[CG]$ etwa $1,18 \,\text{cm}$ beträgt.
#sinussatz
B 2.4
$\blacktriangleright$  Inkreis und Strecken einzeichnen
Für den Inkreis $k$ mit dem Mittelpunkt $M$ und für die Strecken $[ME]$ und $[MF]$ folgt:
Teil B
Abb. 5: Inkreis $k$
Teil B
Abb. 5: Inkreis $k$
B 2.5
$\blacktriangleright$  Winkelmaß berechnen
Die Strecken $[AM]$ und $[MB]$ sind Winkelhalbierende zu den Winkeln $BAD$ und $CBA$. Damit folgt für das Maß $\phi$ des Winkels $AMB$ mit der Winkelsumme im Dreieck $AMB$:
$\begin{array}[t]{rll} 180^°&=& \sphericalangle{BAM} + \phi + \sphericalangle{MBA} &\quad \scriptsize \mid\; -(\sphericalangle{BAM}+\sphericalangle{MBA}) \\[5pt] 180^°-(\sphericalangle{BAM}+\sphericalangle{MBA})&=& \phi \\[5pt] 180^°-\left(\dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\beta}{2}\right)&=& \phi \\[5pt] 180^°-\left(\dfrac{41,64^°}{2}+\dfrac{48,36^°}{2}\right)&\approx& \phi \\[5pt] 180^°-\left(\dfrac{41,64^°}{2}+\dfrac{48,36^°}{2}\right)&\approx& \phi \\[5pt] 135^°&\approx& \phi \end{array}$
$\phi \approx 135^° $
Damit beträgt das Maß des Winkels $AMB$ etwa $135^°.$
$\blacktriangleright$  Inkreisradius berechnen
Mit dem Sinussatz folgt für die Länge der Strecke $[BM]$ im Dreieck $ABM$:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{BM}}{\sin \sphericalangle{BAM}} &=& \dfrac{\overline{AB}}{\sin \phi} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sin \sphericalangle{BAM} \\[5pt] \overline{BM} &=& \dfrac{\overline{AB}}{\sin \phi} \cdot \sin \sphericalangle{BAM} \\[5pt] &=& \dfrac{\overline{AB}}{\sin \phi} \cdot \sin \dfrac{\epsilon}{2} \\[5pt] &\approx& \dfrac{10\,\text{cm}}{\sin 135^°} \cdot \sin \dfrac{41,64^°}{2} \\[5pt] &\approx& 5,03\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
$ \overline{BM} \approx 5,03\,\text{cm} $
Für den Inkreisradius $r=\overline{ME}$ gilt mit dem Sinus im rechtwinkligen Dreieck $EBM$:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \sphericalangle{MBE}&=& \dfrac{\overline{ME}}{\overline{BM}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{EB} \\[5pt] \overline{BM} \cdot \sin \sphericalangle{MBE}&=&\overline{ME} \\[5pt] \overline{BM} \cdot \sin \dfrac{\beta}{2}&=& r \\[5pt] 5,03\,\text{cm} \cdot \sin \dfrac{48,36^°}{2}&\approx& r \\[5pt] 2,06\,\text{cm} &\approx& r \\[5pt] \end{array}$
$r \approx 2,06\,\text{cm} $
Somit beträgt der Inkreisradius etwa $2,06\,\text{cm}.$
#sinussatz#sinus
B 2.6
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Für den Flächeninhalt $A$ gilt die Gleichung:
$A=A_{AEMF}-A_{\text{Sektor}}$
Die Fläche $AEMF$ besteht aus zwei gleich großen rechtwinkligen Dreiecken. Für die Länge der Strecke $[AE]$ folgt mit dem Tangens im rechtwinkligen Dreieck $AEM$:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \sphericalangle{EAM}&=&\dfrac{\overline{ME}}{\overline{AE}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AE} \\[5pt] \overline{AE} \cdot \tan \sphericalangle{EAM}&=&\overline{ME} &\quad \scriptsize \mid\; :\tan \sphericalangle{EAM} \\[5pt] \overline{AE} &=&\dfrac{\overline{ME}}{\tan \sphericalangle{EAM} } \\[5pt] &=&\dfrac{r}{\tan \frac{\epsilon}{2} } \\[5pt] &\approx&\dfrac{2,06\,\text{cm}}{\tan \frac{41,64^°}{2} } \\[5pt] &\approx& 5,42\,\text{cm} \end{array}$
$\overline{AE} \approx 5,42\,\text{cm}$
Damit folgt für den Flächeninhalt der Fläche $AEMF$:
$\begin{array}[t]{rll} A_{AEMF}&=& 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot r \cdot \overline{AE} \\[5pt] &\approx& 2,06\,\text{cm} \cdot 5,42\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 11,17\,\text{cm}^2 \end{array}$
$A_{AEMF} \approx 11,17\,\text{cm}^2$
Für den Flächeninhalt des Kreissektors muss zuerst der Winkel $\sphericalangle{FME}$ bestimmt werden. Für den Winkel $\sphericalangle{FME}$ folgt mit der Winkelsumme im Viereck $AEMF$:
$\begin{array}[t]{rll} 360^°&=& 2 \cdot 90^° + \sphericalangle{FME} +\sphericalangle{EAF} &\quad \scriptsize \mid\; -2 \cdot 90^° \\[5pt] 180^°&=& \sphericalangle{FME} +\sphericalangle{EAF} &\quad \scriptsize \mid\; -\sphericalangle{EAF} \\[5pt] 180^°-\sphericalangle{EAF} &=& \sphericalangle{FME} \\[5pt] 180^°-\epsilon &=& \sphericalangle{FME} \\[5pt] 180^°-41,64^° &\approx& \sphericalangle{FME} \\[5pt] 138,36^° &\approx& \sphericalangle{FME} \\[5pt] \end{array}$
$\sphericalangle{FME} \approx 138,36^° $
Für den Flächeninhalt des Kreissektors $A_{\text{Sektor}}$ folgt somit:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Sektor}}&=& \pi \cdot r^2 \cdot \dfrac{\sphericalangle{FME}}{360^°} \\[5pt] &\approx& \pi \cdot (2,06 \,\text{cm})^2 \cdot \dfrac{138,36^°}{360^°} \\[5pt] &\approx& 5,12\,\text{cm}^2 \end{array}$
$A_{\text{Sektor}} \approx 5,12\,\text{cm}^2 $
Damit ergibt sich mit der oberen Gleichung für den Flächeninhalt der gesuchten Fläche:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& A_{AEMF}-A_{\text{Sektor}}\\[5pt] &\approx& 11,17\,\text{cm}^2 - 5,12\,\text{cm}^2 \\[5pt] &\approx& 6,05\,\text{cm} \end{array}$
Dadurch beträgt der Flächeninhalt $A$ des Flächenstücks $AEF$ etwa $6,05\,\text{cm}^2.$
#kreissektor#tangens
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