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Aufgabe 1

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Aufgabenstellung:
In einer Studie zum Spracherwerb von Kindern ist untersucht worden, wie sich die Länge gesprochener Sätze (kurz: Satzlänge) mit dem Alter der Kinder entwickelt.
Ein Sprachforscher modelliert mit einer Funktion $r$ die momentane Änderungsrate, mit der sich die durchschnittliche Satzlänge$^1$ der Kinder, die an der Studie teilgenommen haben, im Alter von $1,5$ Jahren bis $5,5$ Jahren verändert. Dazu verwendet er für $1,5 \leq t \leq 5,5$ die Gleichung
$r(t) = 0,31 \cdot \mathrm e^{-0,25 \cdot t^2 + 1,25 \cdot t}$, $t \in \mathbb{R}$.

Dabei wird $t$ als Maßzahl zur Maßeinheit $1$ Jahr und $r(t)$ als Maßzahl zur Maßeinheit $1$ Wort pro Jahr aufgefasst.
Der Graph von $r$ im Bereich $1,5 \leq t \leq 5,5$ ist in Abbildung 1 dargestellt.
$^1$ Im Folgenden wird die durchschnittliche Satzlänge der Kinder, die an der Studie teilgenommen haben, kurz als Satzlänge bezeichnet.
#änderungsrate
a)
(1)
Berechne den Funktionswert von $r$ an der Stelle $t=2$ und interpretiere diesen Wert im Sachzusammenhang.
(2P)
(2)
Für die Funktion $r$ gilt die Aussage:
$r(t)>0$ für alle $t \in \mathbb{R}$.
Interpretiere die Bedeutung dieser Aussage im Sachzusammenhang.
(3P)
#funktionswert
b)
(1)
Bestimme $r'(t)$ und $r''(t)$.
[Zur Kontrolle: $\ r''(t)=0,31 \cdot (0,25 \cdot t^2 - 1,25 \cdot t + 1,0625) \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot t^2 + 1,25 \cdot t}.$]
Zur Kontrolle
(8P)
(2)
Weise rechnerisch nach, dass im gegebenen Modell im Alter von $2,5$ Jahren die größte momentane Änderungsrate der Satzlänge vorliegt.
(7P)
(3)
Das Alter zwischen $1,5$ und $5,5$ Jahren, in dem die momentane Änderungsrate der Satzlänge am schnellsten abnimmt, ist durch die Wendestelle von $r$ im Intervall [$1,5; 5,5$] gegeben.
Ermittle diese Wendestelle.
[Hinweis: Auf den Nachweis einer hinreichenden Bedingung kann verzichtet werden.]
(5P)
#änderungsrate#wendepunkt
c)
In der Studie ist bei den Kindern im Alter von $1,5$ Jahren eine Satzlänge von $1,2$ Wörtern beobachtet worden.

(1)
Interpretiere die Bedeutung der Terme $\displaystyle\int_{1,5}^{t} r(u) \,\mathrm du$ und $1,2 + \displaystyle\int_{1,5}^{5,5} r(t) \,\mathrm dt$ im Sachzusammenhang.
(4P)
Die konkrete Ermittlung eines Funktionsterms einer Stammfunktion von $r$ mit Hilfe eines Integrationsverfahrens ist nicht möglich. Daher wird der Wert des Integrals $\displaystyle\int_{1,5}^{5,5} r(t) \,\mathrm dt$ durch ein numerisches Verfahren bestimmt. In Abbildung 2 ist dieses Verfahren veranschaulicht.
(2)
Beschreibe kurz das Vorgehen bei diesem numerischen Verfahren.
(4P)
(3)
Berechne mit diesem numerischen Verfahren einen Nährungswert für den Term $1,2 + \displaystyle\int_{1,5}^{5,5} r(t) \,\mathrm dt$.
(6P)
d)
Für $1,5 \leq a\leq 4,5$ ist die Funktion $z$ definiert durch die Gleichung $z(a) = \displaystyle\int_{a}^{a+1} r(t) \,\mathrm dt$.
(1)
Interpretiere, welche Bedeutung die Funktion $z$ im Sachzusammenhang hat.
(2P)
(2)
Begründe, warum für die Ableitung der Funktion $z$ mit $z(a) = \displaystyle\int_{a}^{a+1} r(t) \,\mathrm dt$ gilt:
$z'(a) = r(a+1) - r(a)$.
[Du kannst davon ausgehen, dass es eine Stammfunktion $R$ von $r$ gibt. Wie bereits in c) angegeben, ist die konkrete Ermittlung eines Funktionsterms von $R$ mit Hilfe eines Integrationsverfahrens aber nicht möglich.]
Für die Funktion $z$ wird folgende Berechnung durchgeführt, die von dir in den Teilaufgaben (3) und (4) zum Teil nachvollzogen und interpretiert werden soll:
I $\begin{array}[t]{rll} z'(a)&=&0& \Leftrightarrow& r(a+1)-r(a) &=& 0 &\quad \\[5pt] &&&\Leftrightarrow& r(a+1) &=& r(a) &\quad \\[5pt] &&&\Leftrightarrow& \dfrac{r(a+1)}{r(a)}&=&1 &\quad \\[5pt] &&&\Leftrightarrow& \mathrm e^{-0,5 \cdot a + 1}&=&1 &\quad \\[5pt] &&&\Leftrightarrow& -0,5 \cdot a +1&=& 0 &\quad \\[5pt] &&&\Leftrightarrow& a&=& 2. &\quad \\[5pt] \end{array}$
I
II $z''(2) = - \dfrac {31}{200} \cdot \mathrm e^{\frac{3}{2}}<0$.
(3P)
(3)
Weise nach, dass gilt: $\dfrac{r(a+1)}{r(a)} = \mathrm e^{-0,5 \cdot a +1}$ (siehe I).
(3P)
(4)
Interpretiere die Lösung $a=2$ der Gleichung $z'(a)=0$ (siehe I ) unter Berücksichtigung von II im Sachzusammenhang.
(3P)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
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