Wahlpflichtaufgaben (Aufgabengruppe 1)
Die Abbildung zeigt den Graphen der in 
definierten Funktion 
mit 
sowie das Dreieck 
dessen Eckpunkte 
und 
drei direkt aufeinanderfolgende Extrempunkte des Graphen von sind.
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks 
Gegeben ist außerdem die in definierte Funktion 
mit 
Betrachtet wird die Strecke zwischen zwei direkt aufeinanderfolgenden Extrempunkten des Graphen von 
Untersuche, ob die Strecke zwischen diesen beiden Extrempunkten kürzer als die Strecke 
ist.
Betrachtet wird das Dreieck 
mit den Eckpunkten 
und 
wobei 
eine positive reelle Zahl ist.
Zeige, dass das Dreieck in 
einen rechten Winkel hat.
Das Dreieck ist gleichschenklig. Berechne 
Eine Zufallsgröße 
mit dem Erwartungswert 
hat die in der Tabelle dargestellte Wahrscheinlichkeitsverteilung.
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Berechne die Werte von 
und 
Betrachtet wird ein Spiel, bei dem ein Spieler nach Einzahlung eines Betrages ein Glücksrad einmal dreht. Die Werte von geben die Höhe der Auszahlungen in Euro an. Gib die Höhe der Einzahlung so an, dass sich Einzahlungen und Auszahlungen auf lange Sicht ausgleichen. Begründe deine Angabe.
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monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
A_{ABC}&=&\dfrac{1}{2} \cdot \left|\overline{AC}\right| \cdot \left(y_A - y_B\right) \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{2} \cdot 2\pi \cdot (1- (-1)) \\[5pt]
&=& 2\pi
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/f7940bc13ea74374cbaa501f134cdb54082632cfadcff8fe1dccd9145a52a2f4_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
A_{ABC}&=&\dfrac{1}{2} \cdot \left|\overline{AC}\right| \cdot \left(y_A - y_B\right) \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{2} \cdot 2\pi \cdot (1- (-1)) \\[5pt]
&=& 2\pi
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/f7940bc13ea74374cbaa501f134cdb54082632cfadcff8fe1dccd9145a52a2f4_dark.svg)
Der Graph von kann aus dem Graphen von durch eine Streckung in 
-Richtung und eine Streckung in 
-Richtung erzeugt werden, wobei jeweils der Faktor größer als 
ist. Daher ist die betrachtete Strecke nicht kürzer als 
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AC}&=&\begin{pmatrix}6 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} t \\ -3t \\ 0\end{pmatrix} \\[5pt]
&=&6 \cdot t + 2 \cdot (-3t) + 3 \cdot 0\\[5pt]
&=&6t - 6t \\[5pt]
&=& 0
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/0ff15ef2e1a8b044d579ed2dafa10999f861235892d83429fadbdf29c434c2b9_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AC}&=&\begin{pmatrix}6 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} t \\ -3t \\ 0\end{pmatrix} \\[5pt]
&=&6 \cdot t + 2 \cdot (-3t) + 3 \cdot 0\\[5pt]
&=&6t - 6t \\[5pt]
&=& 0
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/0ff15ef2e1a8b044d579ed2dafa10999f861235892d83429fadbdf29c434c2b9_dark.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
\left\vert\overrightarrow{AB}\right\vert&=&\left\vert\overrightarrow{AC}\right\vert \\[5pt]
\sqrt{6^2+2^2+3^2}&=&\sqrt{t^2+(-3t)^2} \\[5pt]
\sqrt{49}&=&\sqrt{10}t &\quad\scriptsize\mid\;:\sqrt{10} \\[5pt]
\dfrac{7}{\sqrt{10}}&=&t
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/2fc6a7554ee08c76029bfeca31294405533cfff40b225e8e595291c2f7831a17_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
\left\vert\overrightarrow{AB}\right\vert&=&\left\vert\overrightarrow{AC}\right\vert \\[5pt]
\sqrt{6^2+2^2+3^2}&=&\sqrt{t^2+(-3t)^2} \\[5pt]
\sqrt{49}&=&\sqrt{10}t &\quad\scriptsize\mid\;:\sqrt{10} \\[5pt]
\dfrac{7}{\sqrt{10}}&=&t
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/2fc6a7554ee08c76029bfeca31294405533cfff40b225e8e595291c2f7831a17_dark.svg)
Für 
ergibt sich mit Hilfe des Erwartungswerts:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
E(X)&=&6 \\[5pt]
0\cdot a+8\cdot0,5+10\cdot b&=&6 &\quad\scriptsize\mid\;-4 \\[5pt]
10b&=&2 &\quad\scriptsize\mid\;:10 \\[5pt]
b&=&0,2
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/8df0709fb544f7dacc0b2a6f4970cd53849c814c9a8d52b903cc951e8b9c1049_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
E(X)&=&6 \\[5pt]
0\cdot a+8\cdot0,5+10\cdot b&=&6 &\quad\scriptsize\mid\;-4 \\[5pt]
10b&=&2 &\quad\scriptsize\mid\;:10 \\[5pt]
b&=&0,2
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/8df0709fb544f7dacc0b2a6f4970cd53849c814c9a8d52b903cc951e8b9c1049_dark.svg)
Da die Wahrscheinlichkeiten sich zu aufaddieren müssen, ergibt sich damit für 
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
a+0,5+0,2&=&1 &\quad\scriptsize\mid\;-0,7\\[5pt]
a&=&0,3
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/5de73ec03ad21bfb080616ba3ce73d19872a272e4699586f1652f9d84c7d902b_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
a+0,5+0,2&=&1 &\quad\scriptsize\mid\;-0,7\\[5pt]
a&=&0,3
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/5de73ec03ad21bfb080616ba3ce73d19872a272e4699586f1652f9d84c7d902b_dark.svg)
Damit sich Einzahlungen und Auszahlungen auf lange Sicht ausgleichen, muss die Einzahlung dem Erwartungswert der Auszahlung entsprechen. Dieser ist laut Aufgabenstellung 
sodass die Einzahlung 
betragen muss.