Analysis

1.1

Abbildung 1 zeigt den Graphen Formula: G der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion $Formula: f:x \mapsto \tfrac{1}{4} x^3+\tfrac{1}{4}.$ $Formula: f:x \mapsto \tfrac{1}{4} x^3+\tfrac{1}{4}.$

Zeige, dass Formula: G monoton steigend ist.

2 BE

Koordinatensystem mit eingezeichneter steigender Kurve G und beschrifteten Achsen x und y

Abbildung 1

Beschreibe, wie Formula: G aus dem Graphen der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion $Formula: u:x \mapsto x^3$ $Formula: u:x \mapsto x^3$ erzeugt werden kann.

2 BE

Die Tangente an Formula: G im Punkt $Formula: (3 \mid f(3))$ $Formula: (3 \mid f(3))$ schneidet die Formula: y -Achse im Punkt $Formula: \left(0 \left\lvert\,-\tfrac{53}{4}\right.\right).$ $Formula: \left(0 \left\lvert\,-\tfrac{53}{4}\right.\right).$ Bestimme eine Gleichung dieser Tangente sowie die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die Formula: x -Achse schneidet.

4 BE

Ermittle einen Term derjenigen Stammfunktion von Formula: f, deren Graph durch den Punkt ( $Formula: 4 \mid 16$ $Formula: 4 \mid 16$ ) verläuft.

3 BE

Für jede positive reelle Zahl Formula: k gilt $Formula: \displaystyle\int_{-k}^k f(x) \;\mathrm d x=\displaystyle\int_{-k}^k\left(\dfrac{1}{4} x^3\right) \;\mathrm d x+\displaystyle\int_{-k}^k \frac{1}{4}\;\mathrm d x.$ $Formula: \displaystyle\int_{-k}^k f(x) \;\mathrm d x=\displaystyle\int_{-k}^k\left(\dfrac{1}{4} x^3\right) \;\mathrm d x+\displaystyle\int_{-k}^k \frac{1}{4}\;\mathrm d x.$ Begründe ohne Verwendung von Stammfunktionen, dass $Formula: \displaystyle\int_{-k}^k f(x) \;\mathrm d x=2 k \cdot \tfrac{1}{4}$ $Formula: \displaystyle\int_{-k}^k f(x) \;\mathrm d x=2 k \cdot \tfrac{1}{4}$ gilt.

3 BE

Es gibt Kreise, deren Mittelpunkte auf der Formula: y -Achse liegen und die den Graphen der ersten Ableitungsfunktion $Formula: f^{\prime}$ $Formula: f^{\prime}$ von in genau zwei Punkten berühren.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $Formula: f^{\prime}$ $Formula: f^{\prime}$ sowie einen solchen Kreis mit Berührpunkt $Formula: \mathrm{A}\left(1 \left\lvert\, \tfrac{3}{4}\right.\right).$ $Formula: \mathrm{A}\left(1 \left\lvert\, \tfrac{3}{4}\right.\right).$ Bestimme rechnerisch die Formula: y -Koordinate des Mittelpunktes dieses Kreises.

Koordinatensystem mit Kreis und Parabel, Tangentenpunkt A rechts, y-Achse in der Mitte, Schriftzug "Graph von f"

Abbildung 2

3 BE

1.2

Für eine jugendliche Person wird das Volumen der Luft (Luftvolumen) in der Lunge während der Ruheatmung betrachtet. Die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: h mit $Formula: h(x)=\tfrac{1}{6} \cdot \cos \left(\tfrac{2 \pi}{3} \cdot x\right)+\tfrac{8}{3}$ $Formula: h(x)=\tfrac{1}{6} \cdot \cos \left(\tfrac{2 \pi}{3} \cdot x\right)+\tfrac{8}{3}$ beschreibt für $Formula: x \geq 0$ $Formula: x \geq 0$ vereinfacht das Luftvolumen in der Lunge dieser Person. Dabei ist die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und das Luftvolumen in Litern. In Abbildung 3 ist der Graph von Formula: h dargestellt. Ein Atemzyklus umfasst einen vollständigen Aus- und Einatmungsvorgang.

Gitter mit x- und y-Achse und einer welligen Kurve knapp über y=3

Abbildung 3

Berechne für die betrachtete Person das Luftvolumen in der Lunge Formula: 2,5 Sekunden nach Beobachtungsbeginn.

2 BE

Bestimme für die betrachtete Person die Anzahl der Atemzyklen pro Minute und gib mithilfe von Abbildung 3 einen Zeitpunkt an, zu dem das Luftvolumen in der Lunge am stärksten zunimmt.

3 BE

Betrachtet wird der erste Atemzyklus im Beobachtungszeitraum. Gib für jeden der folgenden Terme die Bedeutung im Sachzusammenhang an:

$Formula: \text{I}\quad$ $Formula: \text{I}\quad$

Formula: h(3)-h(1,5)

$Formula: \text{II}\quad$ $Formula: \text{II}\quad$

$Formula: \dfrac{h(3)-h(1,5)}{1,5}$ $Formula: \dfrac{h(3)-h(1,5)}{1,5}$

3 BE

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1.1

Für die erste Ableitung von Formula: f gilt:

$Formula: f'(x)=\dfrac{3}{4}x^2$ $Formula: f'(x)=\dfrac{3}{4}x^2$

Da $Formula: x^2\geq0$ $Formula: x^2\geq0$ für alle Werte von gilt, ist $Formula: f'(x)\geq0$ $Formula: f'(x)\geq0$ und somit ist der Graph von monoton steigend.

Formula: G kann aus dem Graphen von Formula: u durch eine Streckung mit dem Faktor $Formula: \tfrac{1}{4}$ $Formula: \tfrac{1}{4}$ in Formula: y -Richtung und eine anschließende Verschiebung um $Formula: \tfrac{1}{4}$ $Formula: \tfrac{1}{4}$ in positive -Richtung erzeugt werden.

Tangentengleichung bestimmen

Für die Steigung Formula: m der Tangente ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} m&=&f'(3) \\[5pt] &=&\dfrac{3}{4}\cdot 3^2 \\[5pt] &=&\dfrac{27}{4} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} m&=&f'(3) \\[5pt] &=&\dfrac{3}{4}\cdot 3^2 \\[5pt] &=&\dfrac{27}{4} \end{array}$

Für die Tangentengleichung folgt somit mit dem Achsenabschnitt aus der Aufgabenstellung $Formula: y=\tfrac{27}{4}x-\tfrac{53}{4}.$ $Formula: y=\tfrac{27}{4}x-\tfrac{53}{4}.$

Schnittwinkel bestimmen

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{27}{4} &\quad\scriptsize\mid\;\tan^{-1}\\[5pt] \alpha&=&\tan^{-1}\left(\dfrac{27}{4}\right) \\[5pt] \alpha&\approx&81,6^\circ \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{27}{4} &\quad\scriptsize\mid\;\tan^{-1}\\[5pt] \alpha&=&\tan^{-1}\left(\dfrac{27}{4}\right) \\[5pt] \alpha&\approx&81,6^\circ \end{array}$

Alle Stammfunktionen haben die Form $Formula: F(x)=\tfrac{1}{16}x^4+\tfrac{1}{4}x+c.$ $Formula: F(x)=\tfrac{1}{16}x^4+\tfrac{1}{4}x+c.$ Einsetzen der Koordinaten liefert für Formula: c:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} F(4)&=&16 \\[5pt] \dfrac{1}{16}\cdot4^4+\dfrac{1}{4}\cdot4+c&=&16 &\quad\scriptsize\mid\;-16 \\[5pt] 1+c&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-1 \\[5pt] c&=&-1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} F(4)&=&16 \\[5pt] \dfrac{1}{16}\cdot4^4+\dfrac{1}{4}\cdot4+c&=&16 &\quad\scriptsize\mid\;-16 \\[5pt] 1+c&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-1 \\[5pt] c&=&-1 \end{array}$

Die gesuchte Stammfunktion ist somit durch $Formula: F(x)=\tfrac{1}{16}x^4+\tfrac{1}{4}x-1$ $Formula: F(x)=\tfrac{1}{16}x^4+\tfrac{1}{4}x-1$ gegeben.

Der Wert des ersten der beiden Integrale ist Null, da die Funktion $Formula: x\mapsto \tfrac{1}{4}x^3$ $Formula: x\mapsto \tfrac{1}{4}x^3$ symmetrisch zum Koordinatenursprung liegt. Der Wert des zweiten Integrals kann außerdem als Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen Formula: 2k und $Formula: \tfrac{1}{4}$ $Formula: \tfrac{1}{4}$ interpretiert werden. Damit gilt $Formula: \displaystyle\int_{-k}^k f(x)\; \mathrm{d} x=2 k \cdot \dfrac{1}{4}.$ $Formula: \displaystyle\int_{-k}^k f(x)\; \mathrm{d} x=2 k \cdot \dfrac{1}{4}.$

Für die zweite Ableitung von Formula: f gilt:

$Formula: f''(x)=\dfrac{3}{2}x$ $Formula: f''(x)=\dfrac{3}{2}x$

Im Punkt Formula: A gilt somit für die Steigung von Formula: f':

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f''(1)&=&\dfrac{3}{2}\cdot1 \\[5pt] &=&\dfrac{3}{2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f''(1)&=&\dfrac{3}{2}\cdot1 \\[5pt] &=&\dfrac{3}{2} \end{array}$

Die Steigung der Normalen an Formula: f' im Punkt Formula: A ist das negative Inverse von der Steigung von im Punkt Formula: A, d.h. $Formula: -\tfrac{2}{3}.$ $Formula: -\tfrac{2}{3}.$ Die allgemeine Normalengleichung ist somit gegeben als $Formula: y=-\tfrac{2}{3}x+n.$ $Formula: y=-\tfrac{2}{3}x+n.$ Einsetzen der Koordinaten von liefert für die gesuchte -Koordinate des Mittelpunkts des Kreises:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{3}{4}&=&-\dfrac{2}{3}\cdot1+n &\quad\scriptsize\mid\;+\dfrac{2}{3} \\[5pt] \dfrac{17}{12}&=&n \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{3}{4}&=&-\dfrac{2}{3}\cdot1+n &\quad\scriptsize\mid\;+\dfrac{2}{3} \\[5pt] \dfrac{17}{12}&=&n \end{array}$

1.2

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} h(2,5)&=&\dfrac{1}{6} \cdot \cos \left(\dfrac{2 \pi}{3} \cdot 2,5\right)+\dfrac{8}{3} \\[5pt] &=&2,75\;[\ell] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} h(2,5)&=&\dfrac{1}{6} \cdot \cos \left(\dfrac{2 \pi}{3} \cdot 2,5\right)+\dfrac{8}{3} \\[5pt] &=&2,75\;[\ell] \end{array}$

Anzahl der Atemzykel bestimmen

Der Abbildung kann entnommen werden, dass ein Atemzykel Formula: 3 Sekunden dauert. Somit ergeben sich $Formula: \tfrac{60}{3}=20$ $Formula: \tfrac{60}{3}=20$ Atemzykel pro Minute.

Zeitpunkt angeben

EIn Zeitpunkt, zu dem das Luftvolumen in der Lunge am stärksten zunimmt, ist z.B. durch Formula: 2,25 Sekunden nach Beobachtungsbeginn gegeben.

$Formula: \text{I}{:}$ $Formula: \text{I}{:}$	Zunahme des Luftvolumens in der Lunge beim Einatmen in Litern
$Formula: \text{II}{:}$ $Formula: \text{II}{:}$	durchschnittliche Zunahme des Luftvolumens in der Lunge beim Einatmen in Litern pro Sekunde

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