Analytische Geometrie
Betrachtet wird das in Abbildung 1 dargestellte gerade Prisma 
mit der dreieckigen Grundfläche 
Im verwendeten Koordinatensystem gilt: 
und 
Abbildung 1
Begründe, dass die Grundfläche 
parallel zur 
-Ebene und symmetrisch bezüglich der 
-Ebene liegt.
Zeige, dass das Volumen des Prismas 
beträgt.
Bestimme eine Gleichung der Ebene, in der die Punkte 
und 
liegen, in Koordinatenform.
[zur Kontrolle: 
]
Das Prisma beschreibt einen Behälter, in den Wasser gefüllt werden kann. Die zugehörige Öffnung des Behälters wird durch das Viereck 
dargestellt. Die 
-Ebene beschreibt die Horizontale. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Zentimeter in der Wirklichkeit. Die Materialstärke des Behälters wird im Folgenden vernachlässigt. Im Behälter befindet sich Wasser, dessen Volumen halb so groß wie das Fassungsvermögen des Behälters ist. Der Behälter wird um eine Achse, die durch die Gerade 
beschrieben wird, langsam um einen Winkel der Größe 
gedreht (vergleiche Abbildung 2). Die Ausgangsposition entspricht einem Drehwinkel der Größe 
Abbildung 2
Abbildung 3
Der in Abbildung 3 mit durchgezogener Linie dargestellte Graph beschreibt modellhaft das Volumen des Wassers im Behälter in Abhängigkeit von der Größe des Drehwinkels für den Bereich ![Formula: [\alpha ; \beta].](https://www.schullv.de/resources/formulas/aef1b4007bacc07a742f47057214e76c874f91d35b66f322b70a053293d84fb7_light.svg)
![Formula: [\alpha ; \beta].](https://www.schullv.de/resources/formulas/aef1b4007bacc07a742f47057214e76c874f91d35b66f322b70a053293d84fb7_dark.svg)
Zeichne den Graphen für den Bereich 
ein.
Bei der Drehung des Behälters hat der Drehwinkel, dessen Größe mit 
bezeichnet wird, bezüglich der Wasserfüllung des Behälters eine bestimmte Bedeutung. Gib diese Bedeutung an.
Bestimme rechnerisch einen geeigneten Wert für 
und erläutere deinen Ansatz.
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monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?Die Grundfläche liegt in der Ebene 
und somit parallel zur -Ebene. Da 
zudem in der -Ebene liegt und sich die Koordinaten von 
und 
nur im Vorzeichen der 
-Koordinate unterscheiden, liegt die Grundfläche außerdem symmetrisch zur -Ebene.
Die 
-Koordinaten von und der Grundseite des Dreiecks unterscheiden sich um 
Damit folgt für das Volumen des Prismas:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
V&=&\dfrac{1}{2} \cdot \left\vert\overrightarrow{CB}\right\vert\cdot20\cdot\left\vert\overrightarrow{DA}\right\vert \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2} \cdot \left\vert\pmatrix{10-10\\5-(-5)\\20-20}\right\vert\cdot20\cdot\left\vert\pmatrix{10-0\\0\\0}\right\vert \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2} \cdot 10\cdot20\cdot10 \\[5pt]
&=&1000\;[\text{VE}]
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/1b309de676cd405d8dea854c5a50115bc386ad82f1f98fc455ccddeeae54e937_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
V&=&\dfrac{1}{2} \cdot \left\vert\overrightarrow{CB}\right\vert\cdot20\cdot\left\vert\overrightarrow{DA}\right\vert \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2} \cdot \left\vert\pmatrix{10-10\\5-(-5)\\20-20}\right\vert\cdot20\cdot\left\vert\pmatrix{10-0\\0\\0}\right\vert \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2} \cdot 10\cdot20\cdot10 \\[5pt]
&=&1000\;[\text{VE}]
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/1b309de676cd405d8dea854c5a50115bc386ad82f1f98fc455ccddeeae54e937_dark.svg)
Für einen Normalenvektor der Ebene folgt:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
\overrightarrow{n}&=&\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD} \\[5pt]
&=&\pmatrix{10-10\\5-0\\20-0}\times\pmatrix{0-10\\0\\0} \\[5pt]
&=&\pmatrix{5\cdot0-0\\20\cdot(-10)-0\\0-5\cdot(-10)} \\[5pt]
&=&\pmatrix{0\\-200\\50} \\[5pt]
&=&-50\cdot\pmatrix{0\\4\\-1}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/d4a2f1612e6602e1c195c5d45f0719bffe4113626ee216d723ec5a086e235a7b_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
\overrightarrow{n}&=&\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD} \\[5pt]
&=&\pmatrix{10-10\\5-0\\20-0}\times\pmatrix{0-10\\0\\0} \\[5pt]
&=&\pmatrix{5\cdot0-0\\20\cdot(-10)-0\\0-5\cdot(-10)} \\[5pt]
&=&\pmatrix{0\\-200\\50} \\[5pt]
&=&-50\cdot\pmatrix{0\\4\\-1}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/d4a2f1612e6602e1c195c5d45f0719bffe4113626ee216d723ec5a086e235a7b_dark.svg)
Mit 
als Normalenvektor folgt eine Gleichung der Form 
Einsetzen der Koordinaten von z.B. liefert:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
4\cdot0-0&=&c \\[5pt]
0&=&c
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/a17b200fa565c7b462afda2a30bf0bc1fedcafa5410e8307884dda95f43f8f28_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
4\cdot0-0&=&c \\[5pt]
0&=&c
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/a17b200fa565c7b462afda2a30bf0bc1fedcafa5410e8307884dda95f43f8f28_dark.svg)
Eine mögliche Ebenengleichung ist also durch 
gegeben.
Graphen einzeichnen
Bedeutung angeben
Bei dem Drehwinkel beginnt das Wasser aus dem Behälter zu laufen.
Geeigneten Wert bestimmen
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}\cos(\beta)&=& \dfrac{\left\vert\overrightarrow{n_1}\circ\overrightarrow{n_{xy}}\right\vert}{\left\vert\overrightarrow{n_1}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{n_{xy}}\right\vert} \\[5pt]\cos(\beta)&=& \dfrac{\left\vert\pmatrix{0\\4\\-1}\circ\pmatrix{0\\0\\1}\right\vert}{\left\vert\pmatrix{0\\4\\-1}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{0\\0\\1}\right\vert} \\[5pt]\cos(\beta)&=&\dfrac{1}{\sqrt{17}\cdot\sqrt{1}} &\quad\scriptsize\mid\;\cos^{-1} \\[5pt]\beta&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{1}{\sqrt{17}}\right) \\[5pt]\beta&\approx&76^\circ\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/fd4e607aadff19ad4c3fbb665964ef4007f005705b1fc0a41a03f05d21a9725c_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}\cos(\beta)&=& \dfrac{\left\vert\overrightarrow{n_1}\circ\overrightarrow{n_{xy}}\right\vert}{\left\vert\overrightarrow{n_1}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{n_{xy}}\right\vert} \\[5pt]\cos(\beta)&=& \dfrac{\left\vert\pmatrix{0\\4\\-1}\circ\pmatrix{0\\0\\1}\right\vert}{\left\vert\pmatrix{0\\4\\-1}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{0\\0\\1}\right\vert} \\[5pt]\cos(\beta)&=&\dfrac{1}{\sqrt{17}\cdot\sqrt{1}} &\quad\scriptsize\mid\;\cos^{-1} \\[5pt]\beta&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{1}{\sqrt{17}}\right) \\[5pt]\beta&\approx&76^\circ\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/fd4e607aadff19ad4c3fbb665964ef4007f005705b1fc0a41a03f05d21a9725c_dark.svg)
Ansatz erläutern
Wenn sich die Seitenwand des Behälters, die durch das Rechteck 
beschrieben wird, in horizontaler Lage befindet, ist das gesamte Wasser aus dem Behälter gelaufen. Der zugehörige Drehwinkel ist durch den Schnittwinkel der Ebene aus Teilaufgabe c) mit der 
-Ebene, zu welcher der Normalenvektor 
gehört, gegeben.