Wahlpflichtaufgaben (Aufgabengruppe 2)
Die Abbildung zeigt die Graphen der in 
definierten linearen Funktion 
und der in definierten differenzierbaren Funktion 
Begründe, dass 
gilt.
Betrachtet wird die in definierte Funktion 
mit 
Bestimme die Steigung der Tangente an den Graphen von im Punkt 
Betrachtet werden die Punkte 
und 
mit 
und 
Für den Punkt gelten die folgenden Aussagen:
-
Die
Koordinate von ist 
-
Die Gerade
und die Gerade 
verlaufen senkrecht zueinander. -
Der Punkt
liegt in der Ebene mit der Gleichung 
Ermittle die Koordinaten von 
Ein Glücksrad besteht aus einem roten und einem weißen Sektor. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim zweimaligen Drehen des Glücksrads zweimal die gleiche Farbe erzielt wird, beträgt 
Ermittle die Größe des Zentriwinkels des kleineren Sektors.
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monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?Anhand eines Steigungsdreiecks ergibt sich für die Steigung der Gerade der Wert 
Mit der Abbildung folgt:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
h'(3)&=&f^{\prime}(3) \cdot g(3)+f(3) \cdot g^{\prime}(3) \\[5pt]
&=&0 \cdot 4+(-6)\cdot 2 \\[5pt]
&=&-12
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/64a0f464634e8b52fa0be88f0062f24a596dd58f7489e18650687b1db1768a09_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
h'(3)&=&f^{\prime}(3) \cdot g(3)+f(3) \cdot g^{\prime}(3) \\[5pt]
&=&0 \cdot 4+(-6)\cdot 2 \\[5pt]
&=&-12
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/64a0f464634e8b52fa0be88f0062f24a596dd58f7489e18650687b1db1768a09_dark.svg)
Laut der ersten Bedingung hat die allgemeinen Koordinaten 
Damit liefert die zweite Bedingung:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AC}&=&0 \\[5pt] \pmatrix{8\\-2\\4}\circ\pmatrix{x-2\\y+3\\7}&=&0 \\[5pt] 8x-16-2y-6+28&=&0 \\[5pt] 8x-2y+6&=&0 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/d487f40240b969b5fb3c25fbc2a919a2297d92325af6efbf86b2873aa50fbd1b_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AC}&=&0 \\[5pt] \pmatrix{8\\-2\\4}\circ\pmatrix{x-2\\y+3\\7}&=&0 \\[5pt] 8x-16-2y-6+28&=&0 \\[5pt] 8x-2y+6&=&0 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/d487f40240b969b5fb3c25fbc2a919a2297d92325af6efbf86b2873aa50fbd1b_dark.svg)
Zusammen mit der dritten Bedingung lässt sich somit das folgende Gleichungssystem aufstellen:
Addieren der beiden Gleichungen liefert:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
9x+6&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-6 \\[5pt]
9x&=&-6 &\quad\scriptsize\mid\;:9 \\[5pt]
x&=&-\dfrac{2}{3}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/78924416a5dcbf7eec4223034f32b2ad0fab25ad287c22e18372e289f962cd8e_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
9x+6&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-6 \\[5pt]
9x&=&-6 &\quad\scriptsize\mid\;:9 \\[5pt]
x&=&-\dfrac{2}{3}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/78924416a5dcbf7eec4223034f32b2ad0fab25ad287c22e18372e289f962cd8e_dark.svg)
Einsetzen in Gleichung 
liefert:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
-\dfrac{2}{3}+2y&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+\frac{2}{3} \\[5pt]
2y&=&\dfrac{2}{3} &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt]
y&=&\dfrac{1}{3}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/4cad35f760818e7e61cac173ca94984a147176787d3d7b4a123e54a88fa21756_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
-\dfrac{2}{3}+2y&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+\frac{2}{3} \\[5pt]
2y&=&\dfrac{2}{3} &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt]
y&=&\dfrac{1}{3}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/4cad35f760818e7e61cac173ca94984a147176787d3d7b4a123e54a88fa21756_dark.svg)
Damit ergeben sich die Koordinaten von als 
Wenn die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Sektor zu erzielen mit 
bezeichnet wird, dann gilt:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
p^2+(1-p)^2&=&\dfrac{5}{9} \\[5pt]
2p^2-2p+1&=&\dfrac{5}{9} &\quad\scriptsize\mid\;-\dfrac{5}{9} \\[5pt]
2p^2-2p+\dfrac{4}{9}&=&0
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/473d1df551c3e3135adfac7131db669132eb843c1a07cf944c4b7a9df243bf94_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
p^2+(1-p)^2&=&\dfrac{5}{9} \\[5pt]
2p^2-2p+1&=&\dfrac{5}{9} &\quad\scriptsize\mid\;-\dfrac{5}{9} \\[5pt]
2p^2-2p+\dfrac{4}{9}&=&0
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/473d1df551c3e3135adfac7131db669132eb843c1a07cf944c4b7a9df243bf94_dark.svg)
Mit der 
-Formel ergibt sich:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
p_{1;2}&=&\dfrac{2\pm\sqrt{(-2)^2-\tfrac{32}{9}}}{4} \\[5pt]
p_{1;2}&=&\dfrac{2\pm\sqrt{\tfrac{4}{9}}}{4} \\[5pt]
p_{1;2}&=&\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{1}{6} \\[5pt]
p_1&=&\dfrac{2}{3} \\[5pt]
p_2&=&\dfrac{1}{3}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/816f29848c8abdb35ae9bd197eb0e8040db221cf3365609feeca597e858c30cb_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
p_{1;2}&=&\dfrac{2\pm\sqrt{(-2)^2-\tfrac{32}{9}}}{4} \\[5pt]
p_{1;2}&=&\dfrac{2\pm\sqrt{\tfrac{4}{9}}}{4} \\[5pt]
p_{1;2}&=&\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{1}{6} \\[5pt]
p_1&=&\dfrac{2}{3} \\[5pt]
p_2&=&\dfrac{1}{3}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/816f29848c8abdb35ae9bd197eb0e8040db221cf3365609feeca597e858c30cb_dark.svg)
Somit folgt, dass 
zum kleinen Sektor und 
zum großen Sektor gehört. Für die Größe des Zentriwinkels der kleinen Sektors folgt damit 
