Analysis 1

Ein Bergbauunternehmen plant, in einer Region Kupfererz abzubauen. Der Abbau wird für $Formula: x \geq 0$ $Formula: x \geq 0$ durch die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: k mit $Formula: k(x)=80 \mathrm{e}^{1,5}-(4 x+80) \cdot \mathrm{e}^{-0,05 x+1,5}$ $Formula: k(x)=80 \mathrm{e}^{1,5}-(4 x+80) \cdot \mathrm{e}^{-0,05 x+1,5}$ beschrieben. Dabei ist die ab Beginn des Abbaus vergangene Zeit in Jahren und die Gesamtmenge des bis zu diesem Zeitpunkt abgebauten Kupfererzes in Millionen Tonnen.

(1)

Zeige, dass im Modell nach Formula: 8 Jahren etwa Formula: 22 Millionen Tonnen Kupfererz abgebaut sind. Ermittle den Zeitpunkt, bis zu dem Formula: 100 Millionen Tonnen Kupfererz abgebaut sind.

(2)

Die Gleichung $Formula: \tfrac{k(c)-k(0)}{c}=1,9$ $Formula: \tfrac{k(c)-k(0)}{c}=1,9$ mit $Formula: c \in \mathbb{R}$ $Formula: c \in \mathbb{R}$ besitzt genau zwei Lösungen.

Gib die kleinere der beiden Lösungen an. Deute die Gleichung und diese Lösung im Sachzusammenhang.

Im Modell beschreibt die erste Ableitungsfunktion $Formula: k^{\prime}$ $Formula: k^{\prime}$ von für $Formula: x \geq 0$ $Formula: x \geq 0$ die momentane Rate des Abbaus von Kupfererz (momentane Abbaurate) in Millionen Tonnen pro Jahr. Der Graph von $Formula: k^{\prime}$ $Formula: k^{\prime}$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Koordinatensystem mit Gitternetz und aufsteigender, abflachender Kurve beschriftet "Graph von k'".

Abbildung 1

(3)

Berechne den Zeitpunkt, an dem die momentane Abbaurate ihren größten Wert annimmt, und gib diesen größten Wert an.

(4)

Ermittle rechnerisch die Länge des Zeitraums, innerhalb dessen die momentane Abbaurate mindestens fünf Millionen Tonnen Kupfererz pro Jahr beträgt.

(5)

Begründe anhand des Graphen von $Formula: k^{\prime}$ $Formula: k^{\prime}$ in Abbildung 1, dass die folgende Aussage wahr ist.

In den ersten Jahren nach Beginn des Abbaus gibt es keinen Zeitpunkt, ab dem innerhalb einer Zeitspanne von einem Jahr die momentane Abbaurate um eine Million Tonnen pro Jahr zunimmt.

(3 + 3 + 3 + 3 + 3 Punkte)

Gegeben sind die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktionen Formula: f mit $Formula: f(x)=\mathrm{e}^{-x+2}-1$ $Formula: f(x)=\mathrm{e}^{-x+2}-1$ und Formula: h mit Formula: h(x)=-2x -2. Abbildung 2 zeigt den Graphen Formula: G_f von sowie den Graphen Formula: G_h von Formula: h. ist eine Gerade.

(1)

Gib die Koordinaten des Schnittpunktes von Formula: G_f mit der Formula: y -Achse sowie die Steigung von in diesem Punkt an.

(2)

Die folgenden Schritte stellen eine Lösung einer Aufgabe in einem geometrischen Zusammenhang dar:

$Formula: f^{\prime}(x)=h^{\prime}(x) \Leftrightarrow x=2-\ln 2$ $Formula: f^{\prime}(x)=h^{\prime}(x) \Leftrightarrow x=2-\ln 2$
Mit und $Formula: f(2-\ln 2)=1$ $Formula: f(2-\ln 2)=1$ ergibt sich $Formula: n=5-2 \cdot \ln 2.$ $Formula: n=5-2 \cdot \ln 2.$

Interpretiere das Ergebnis $Formula: n=5-2 \cdot \ln 2$ $Formula: n=5-2 \cdot \ln 2$ in diesem geometrischen Zusammenhang.

Koordinatensystem mit zwei Funktionen: fallende Gerade Gh und abklingende Kurve Gf, Achsen x und y.

Abbildung 2

(3)

Formula: G_f schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein. Eine zu Formula: G_h parallele Gerade halbiert diese Fläche. Bestimme eine Gleichung der Gerade Formula: g.

(2 + 3 + 5 Punkte)

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(1)

Abgebautes Kupfererz nach 8 Jahren

$Formula: \begin{array}[t]{rll} k(8)&=&80 \mathrm{e}^{1,5}-(4 \cdot 8+80) \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot 8+1,5} \\[5pt] &\approx& 22 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} k(8)&=&80 \mathrm{e}^{1,5}-(4 \cdot 8+80) \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot 8+1,5} \\[5pt] &\approx& 22 \end{array}$

Zeitpunkt ermitteln

Der CAS liefert für das Auflösen von Formula: k(x)=100 nach Formula: x:

$Formula: x\approx 20,8$ $Formula: x\approx 20,8$

Es sind also nach etwa 21 Jahren Formula: 100 Millionen Tonnen Kupfererz abgebaut.

(2)

Auflösen nach Formula: c mit dem CAS liefert für die kleinere der beiden Lösungen:

$Formula: c\approx5$ $Formula: c\approx5$

Im Zeitraum bis etwa zum Ende des fünften Jahres werden durchschnittlich Formula: 1,9 Millionen Tonnen Kupfererz pro Jahr abgebaut.

(3)

Zeitpunkt berechnen

Für die ersten drei Ableitungen von Formula: k folgt mit dem CAS:

$Formula: k^{\prime}(x)=\dfrac{x\mathrm{e}^{\tfrac{3}{2} - \tfrac{x}{20}}}{5}$ $Formula: k^{\prime}(x)=\dfrac{x\mathrm{e}^{\tfrac{3}{2} - \tfrac{x}{20}}}{5}$

$Formula: k^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{\left(x - 20\right) \mathrm{e}^{\tfrac{3}{2} - \tfrac{x}{20}}}{100}$ $Formula: k^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{\left(x - 20\right) \mathrm{e}^{\tfrac{3}{2} - \tfrac{x}{20}}}{100}$

$Formula: k^{\prime\prime\prime}(x)=\dfrac{\left(x - 40\right) \mathrm{e}^{\tfrac{3}{2} - \tfrac{x}{20}}}{2000}$ $Formula: k^{\prime\prime\prime}(x)=\dfrac{\left(x - 40\right) \mathrm{e}^{\tfrac{3}{2} - \tfrac{x}{20}}}{2000}$

Anwenden der notwendigen Bedingung $Formula: k^{\prime\prime} (x)= 0$ $Formula: k^{\prime\prime} (x)= 0$ für Extremwerte von $Formula: k^{\prime}$ $Formula: k^{\prime}$ liefert durch Auflösen nach Formula: x mit dem CAS:

Formula: x=20

Überprüfen der hinreichenden Bedingung ergibt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} k^{\prime\prime\prime}(20)&=&\dfrac{\left(20 - 40\right) \mathrm{e}^{\tfrac{3}{2} - \tfrac{20}{20}}}{2000}\\[5pt] &\approx&-0{,}02\lt0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} k^{\prime\prime\prime}(20)&=&\dfrac{\left(20 - 40\right) \mathrm{e}^{\tfrac{3}{2} - \tfrac{20}{20}}}{2000}\\[5pt] &\approx&-0{,}02\lt0 \end{array}$

Somit nimmt die momentane Abbaurate ihren größten Wert Formula: 20 Jahre nach Beginn des Abbaus an.

Wert bestimmen

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} k^{\prime}(20)&=&\dfrac{20\mathrm{e}^{\tfrac{3}{2} - \tfrac{20}{20}}}{5} \\[5pt] &\approx&6{,}6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} k^{\prime}(20)&=&\dfrac{20\mathrm{e}^{\tfrac{3}{2} - \tfrac{20}{20}}}{5} \\[5pt] &\approx&6{,}6 \end{array}$

Der größte Wert der momentanen Abbaurate beträgt etwa Formula: 6,6 Millionen Tonnen pro Jahr.

(4)

Für $Formula: k^{\prime}(x)=5$ $Formula: k^{\prime}(x)=5$ liefert das Auflösen nach Formula: x mit dem CAS:

$Formula: x_1\approx8{,}6$ $Formula: x_1\approx8{,}6$

$Formula: x_2\approx38{,}8$ $Formula: x_2\approx38{,}8$

Damit folgt:

$Formula: x_2 - x_1 \approx 30,2$ $Formula: x_2 - x_1 \approx 30,2$

Die Länge des Zeitraums beträgt folglich Formula: 30{,}2 Jahre.

(5)

Der Abbildung 1 kann entnommen werden, dass der Graph von $Formula: k^{\prime}$ $Formula: k^{\prime}$ im abgebildeten Bereich rechtsgekrümmt ist. Damit ist der Zuwachs der momentanen Abbaurate im ersten Jahr mit etwa Formula: 0,9 Millionen Tonnen pro Jahr der größte jährliche Zuwachs der momentanen Abbaurate im betrachteten Zeitraum.

(1)

Die Koordinaten des Schnittpunktes von Formula: G_f mit der Formula: y -Achse sind $Formula: \left(0 \mid \mathrm e^2-1 \right).$ $Formula: \left(0 \mid \mathrm e^2-1 \right).$ Für die Steigung in diesem Punkt gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} f^{\prime}(0)&=&-\mathrm e^{-0+2} \\[5pt] &=& -\mathrm e^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} f^{\prime}(0)&=&-\mathrm e^{-0+2} \\[5pt] &=& -\mathrm e^2 \end{array}$

(2)

Die zu Formula: G_h parallele Tangente an Formula: G_f schneidet die Formula: y -Achse im Punkt $Formula: (0 \mid n).$ $Formula: (0 \mid n).$

(3)

Die allgemeine Gleichung der Geraden Formula: g hat die Form Formula: y = -2x + a mit $Formula: a \in \mathbb{R^+}.$ $Formula: a \in \mathbb{R^+}.$ Mit Formula: y=0 liefert Auflösen nach Formula: x mit dem CAS:

$Formula: x=\dfrac{a}{2}$ $Formula: x=\dfrac{a}{2}$

Die Gerade Formula: g schneidet die Formula: x -Achse somit im Punkt mit der -Koordinate $Formula: \tfrac{a}{2}.$ $Formula: \tfrac{a}{2}.$ Da die Fläche, die von Formula: G_f und der Koordinatenachse eingeschlossen wird, halbieren soll, soll somit die folgende Gleichung gelten:

$Formula: \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{a}{2} \cdot a=\dfrac{1}{2} \cdot \displaystyle\int_0^2 f(x)\; \mathrm dx$ $Formula: \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{a}{2} \cdot a=\dfrac{1}{2} \cdot \displaystyle\int_0^2 f(x)\; \mathrm dx$

Auflösen nach Formula: a mit dem CAS liefert dann:

$Formula: a=\sqrt{2\mathrm{e}^2-6}$ $Formula: a=\sqrt{2\mathrm{e}^2-6}$

Somit ist die Gleichung der Geraden Formula: g durch $Formula: y=-2x+\sqrt{2\mathrm{e}^2-6}$ $Formula: y=-2x+\sqrt{2\mathrm{e}^2-6}$ gegeben.

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