Analysis 2

Gegeben ist die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: f mit $Formula: f(x)=\tfrac{3}{16}\left(x^3+2x^2-4x-8\right).$ $Formula: f(x)=\tfrac{3}{16}\left(x^3+2x^2-4x-8\right).$

Der Graph von Formula: f wird mit Formula: G bezeichnet.

(1)

Ermittle die Nullstellen von Formula: f.

Gib das Verhalten von Formula: f für $Formula: x\to-\infty$ $Formula: x\to-\infty$ an.

(2)

Der Tiefpunkt von Formula: G hat die Formula: x -Koordinate $Formula: \tfrac{2}{3}.$ $Formula: \tfrac{2}{3}.$

Begründe, dass Formula: G auch einen Hochpunkt besitzt, und gib dessen Koordinaten an.

(3)

Formula: G besitzt genau einen Wendepunkt.

Zeige, dass der Wendepunkt die Formula: x -Koordinate $Formula: -\tfrac{2}{3}$ $Formula: -\tfrac{2}{3}$ besitzt.

Zeige, dass die Tangente an Formula: G im Wendepunkt mit der Formula: x -Achse einen Winkel der Größe $Formula: 45^{\circ}$ $Formula: 45^{\circ}$ einschließt.

(4)

Neben dem Wendepunkt gibt es zwei weitere Punkte auf Formula: G, in denen die jeweilige Tangente an den Graphen mit der Formula: x -Achse einen Winkel der Größe $Formula: 45^{\circ}$ $Formula: 45^{\circ}$ einschließt.

Berechne die Formula: x -Koordinaten dieser zwei weiteren Punkte.

(3 + 3 + 3 + 2 Punkte)

Betrachtet wird ein $Formula: 3\;\mathrm{m}$ $Formula: 3\;\mathrm{m}$ langes, geradliniges Stück einer Dachrinne aus Blech.

Das Blech ist $Formula: 0,7\;\mathrm{mm}$ $Formula: 0,7\;\mathrm{mm}$ dick, was in der Abbildung im dargestellten Querschnitt veranschaulicht wird.

Die dargestellte Profillinie der Innenseite der Dachrinne kann im verwendeten Koordinatensystem für $Formula: -2\leq x\leq2$ $Formula: -2\leq x\leq2$ durch Formula: G beschrieben werden.

Dabei entspricht eine Längeneinheit $Formula: 5\;\mathrm{cm}$ $Formula: 5\;\mathrm{cm}$ in der Realität.

Koordinatensystem mit U-förmiger Profillinie der Innenseite und gestrichelter Vergleichslinie.

(1)

Dieses Stück der Dachrinne soll in einen quaderförmigen Karton verpackt werden, der über $Formula: 3\;\mathrm{m}$ $Formula: 3\;\mathrm{m}$ lang ist und innen einen Querschnitt mit den Maßen $Formula: 21\;\mathrm{cm}$ $Formula: 21\;\mathrm{cm}$ und $Formula: 9,5\;\mathrm{cm}$ $Formula: 9,5\;\mathrm{cm}$ hat. Untersuche rechnerisch, ob der Karton als Verpackung für dieses Stück der Dachrinne geeignet ist.

(2)

Die folgenden Rechenschritte stellen einen Lösungsweg für eine Aufgabe im Sachzusammenhang dar:

liefert $Formula: x=x_1\lor x=x_2\lor x=x_3$ $Formula: x=x_1\lor x=x_2\lor x=x_3$ mit $Formula: x_1\approx-3,03,$ $Formula: x_1\approx-3,03,$ $Formula: x_2\approx-0,56$ $Formula: x_2\approx-0,56$ und $Formula: x_3\approx1,59$ $Formula: x_3\approx1,59$
$Formula: \displaystyle\int_{x_2}^{x_3}\left(-1-f(x)\right)\,\mathrm dx\approx1,09$ $Formula: \displaystyle\int_{x_2}^{x_3}\left(-1-f(x)\right)\,\mathrm dx\approx1,09$
$Formula: 1,09\cdot5^2\cdot300=8175$ $Formula: 1,09\cdot5^2\cdot300=8175$
Also etwa $Formula: 8175\;\mathrm{cm}^3$ $Formula: 8175\;\mathrm{cm}^3$

Gib eine dazu passende Aufgabenstellung an und erläutere den dargestellten Lösungsweg.

(3)

Nun wird ein Stück einer zweiten Dachrinne betrachtet. Im Vergleich zum bisher betrachteten Stück ist es ebenfalls geradlinig, hat die gleiche Länge und besteht aus einem Blech gleicher Dicke. Auch das Volumen des Wassers, das beide Stücke maximal fassen können, ist gleich. Die Profillinie der Innenseite der zweiten Dachrinne hat die Form eines Halbkreises. Ein Kubikzentimeter des verwendeten Materials hat eine Masse von Formula: 8,96 Gramm.

Bestimme für die zweite Dachrinne die Masse des betrachteten Stücks.

(3 + 5 + 6 Punkte)

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(1)

Nullstellen berechnen

Auflösen von Formula: f(x)=0 nach Formula: x mit dem CAS liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} x_1&=&-2 \\[5pt] x_2&=&2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} x_1&=&-2 \\[5pt] x_2&=&2 \end{array}$

Verhalten von $Formula: \boldsymbol{f}$ $Formula: \boldsymbol{f}$ angeben

Mit der graphischen Darstellung des CAS folgt, dass $Formula: \lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=- \infty$ $Formula: \lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=- \infty$ gilt.

(2)

Da Formula: f eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist, hat ihr Graph entweder keinen Extrempunkt oder zwei Extrempunkte. Da ein Tiefpunkt vorliegt, ist der andere Extrempunkt ein Hochpunkt.

Für die Koordinaten dieses Punktes folgt mit der graphischen Darstellung $Formula: (-2 \mid 0).$ $Formula: (-2 \mid 0).$

(3)

$Formula: \boldsymbol{x}$ $Formula: \boldsymbol{x}$ -Koordinate zeigen

Das Bestimmen der ersten drei Ableitungen mit dem MMS liefert:

$Formula: f^{\prime}(x)=\dfrac{3}{16}\left(3x^2+4x-4\right)$ $Formula: f^{\prime}(x)=\dfrac{3}{16}\left(3x^2+4x-4\right)$

$Formula: f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{9}{8}x + \dfrac{3}{4}$ $Formula: f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{9}{8}x + \dfrac{3}{4}$

Lösen von $Formula: f^{\prime\prime}(x)=0$ $Formula: f^{\prime\prime}(x)=0$ mit dem solve-Befehl des CAS liefert $Formula: x=-\tfrac{2}{3}.$ $Formula: x=-\tfrac{2}{3}.$ Laut der Aufgabenstellung hat die Funktion genau eine Wendestelle, somit kann die Überprüfung der hinreichenden Bedingung hier vernachlässigt werden.

Winkel zeigen

Die Steigung der Tangente im Wendepunkt ist $Formula: m=f^{\prime}\left(-\tfrac{2}{3}\right).$ $Formula: m=f^{\prime}\left(-\tfrac{2}{3}\right).$

Das Einsetzen liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} f^{\prime}\left(-\dfrac{2}{3}\right)&=&\dfrac{3}{16}\left(3\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+4\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)-4\right) \\[5pt] &=& \dfrac{3}{16}\left(\dfrac{4}{3} - \dfrac{8}{3} - 4\right) \\[5pt] &=& -1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f^{\prime}\left(-\dfrac{2}{3}\right)&=&\dfrac{3}{16}\left(3\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+4\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)-4\right) \\[5pt] &=& \dfrac{3}{16}\left(\dfrac{4}{3} - \dfrac{8}{3} - 4\right) \\[5pt] &=& -1 \end{array}$

Da der Betrag der Steigung eins ist, schließt die Tangente im Wendepunkt mit der Formula: x -Achse einen Winkel der Größe $Formula: 45^{\circ}$ $Formula: 45^{\circ}$ ein.

(4)

An solchen Punkten gilt entweder $Formula: f^{\prime}(x)=-1$ $Formula: f^{\prime}(x)=-1$ oder $Formula: f^{\prime}(x)=1.$ $Formula: f^{\prime}(x)=1.$ Aus $Formula: f^{\prime}(x)=1$ $Formula: f^{\prime}(x)=1$ folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} f^{\prime}(x)&=& 1 \\[5pt] \dfrac{3}{16}\left(3x^2+4x-4\right)&=& 1 &\quad\scriptsize\mid\; :\tfrac{3}{16}\\[5pt] 3x^2+4x-4&=& \dfrac{16}{3} &\quad\scriptsize\mid\; \cdot 3\\[5pt] 9x^2+12x-12&=& 16 &\quad\scriptsize\mid\; -16 \\[5pt] 9x^2+12x-28&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f^{\prime}(x)&=& 1 \\[5pt] \dfrac{3}{16}\left(3x^2+4x-4\right)&=& 1 &\quad\scriptsize\mid\; :\tfrac{3}{16}\\[5pt] 3x^2+4x-4&=& \dfrac{16}{3} &\quad\scriptsize\mid\; \cdot 3\\[5pt] 9x^2+12x-12&=& 16 &\quad\scriptsize\mid\; -16 \\[5pt] 9x^2+12x-28&=&0 \end{array}$

Auflösen nach Formula: x mit dem CAS liefert:

$Formula: x_1=-\dfrac{2+4\sqrt{2}}{3}$ $Formula: x_1=-\dfrac{2+4\sqrt{2}}{3}$

$Formula: x_2=-\dfrac{2-4\sqrt{2}}{3}$ $Formula: x_2=-\dfrac{2-4\sqrt{2}}{3}$

Da es genau zwei weitere Punkte gibt, sind das die gesuchten -Koordinaten.

(1)

Die Breite der Innenseite der Dachrinne beträgt Formula: 4 Längeneinheiten, in der Realität entspricht dies:

$Formula: 4 \cdot 5=20\mathrm{~cm}$ $Formula: 4 \cdot 5=20\mathrm{~cm}$

Da das Blech nur $Formula: 0,7\;\text{mm}=0,07\;\text{cm}$ $Formula: 0,7\;\text{mm}=0,07\;\text{cm}$ dick ist, passt die Dachrinne somit hinsichtlich der Breite in den Karton.

Die Höhe der Dachrinne lässt sich mithilfe der Formula: y -Koordinate des Tiefpunkts von Formula: G bestimmen. Für diese gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} f\left(\dfrac{2}{3}\right)&=& \dfrac{3}{16}\left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^3+2\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-4\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)-8\right) \\[5pt] &=& -\dfrac{16}{9} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f\left(\dfrac{2}{3}\right)&=& \dfrac{3}{16}\left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^3+2\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-4\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)-8\right) \\[5pt] &=& -\dfrac{16}{9} \end{array}$

Die Höhe beträgt somit $Formula: \tfrac{16}{9}$ $Formula: \tfrac{16}{9}$ Längeneinheiten, in der Realität entspricht dies:

$Formula: \dfrac{16}{9} \cdot 5 \approx 8{,}9\mathrm{~cm}$ $Formula: \dfrac{16}{9} \cdot 5 \approx 8{,}9\mathrm{~cm}$

Auch hier ist die zusätzliche Dicke von $Formula: 0,07\;\text{cm}$ $Formula: 0,07\;\text{cm}$ kein Problem. Da $Formula: 20,07\mathrm{~cm} \lt 21\mathrm{~cm}$ $Formula: 20,07\mathrm{~cm} \lt 21\mathrm{~cm}$ und $Formula: 8{,}97\mathrm{~cm} \lt 9{,}5\mathrm{~cm}$ $Formula: 8{,}97\mathrm{~cm} \lt 9{,}5\mathrm{~cm}$ gilt, folgt, dass der Karton für das Stück der Dachrinne geeignet ist.

(2)

Aufgabenstellung angeben

Berechne das Volumen des Wassers im betrachteten Stück der Dachrinne, wenn bis zur vollständigen Befüllung noch $Formula: 5 \mathrm{~cm}$ $Formula: 5 \mathrm{~cm}$ an Höhe fehlen.

Lösungsweg erläutern

Die -Koordinaten der drei Schnittpunkte von und der Gerade mit der Gleichung werden berechnet.
Der Inhalt der Fläche zwischen und dieser Gerade wird berechnet.
Unter Verwendung des Umrechnungsfaktors beim Flächeninhalt wird das Volumen des Wassers berechnet.

(3)

Da beide Dachrinnen gleich lang sind und das gleiche maximale Wasservolumen besitzen,

müssen ihre Querschnittsflächen übereinstimmen.

Für die erste Dachrinne gilt:

$Formula: \begin{array}{rll} A&=&5^2\cdot\left|\displaystyle\int_{-2}^{2}f(x)\;\mathrm{d}x\right| \\[5pt] &=&25\cdot\left|\displaystyle\int_{-2}^{2}\dfrac{3}{16}\left(x^3+2x^2-4x-8\right)\;\mathrm{d}x\right| \\[5pt] &=&25\cdot\left|\dfrac{3}{16}\left[\dfrac14x^4+\dfrac23x^3-2x^2-8x\right]_{-2}^{2}\right| \\[5pt] &=&25\cdot|-4| \\[5pt] &=&100\;[\mathrm{cm}^2] \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} A&=&5^2\cdot\left|\displaystyle\int_{-2}^{2}f(x)\;\mathrm{d}x\right| \\[5pt] &=&25\cdot\left|\displaystyle\int_{-2}^{2}\dfrac{3}{16}\left(x^3+2x^2-4x-8\right)\;\mathrm{d}x\right| \\[5pt] &=&25\cdot\left|\dfrac{3}{16}\left[\dfrac14x^4+\dfrac23x^3-2x^2-8x\right]_{-2}^{2}\right| \\[5pt] &=&25\cdot|-4| \\[5pt] &=&100\;[\mathrm{cm}^2] \end{array}$

Für den Radius des halbkreisförmigen Querschnitts der zweiten Dachrinne folgt:

$Formula: \frac12\pi r^2=100$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{\pi r^2}{2}&=&100 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot 2 \\[5pt] \pi r^2&=&200 &\quad\scriptsize\mid\; :\pi \\[5pt] r^2&=&\dfrac{200}{\pi} &\quad\scriptsize\mid\; \sqrt{\phantom{x}}\\[5pt] r&=&\sqrt{\dfrac{200}{\pi}} \\[5pt] r&=&10\sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{\pi r^2}{2}&=&100 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot 2 \\[5pt] \pi r^2&=&200 &\quad\scriptsize\mid\; :\pi \\[5pt] r^2&=&\dfrac{200}{\pi} &\quad\scriptsize\mid\; \sqrt{\phantom{x}}\\[5pt] r&=&\sqrt{\dfrac{200}{\pi}} \\[5pt] r&=&10\sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \end{array}$

Die Blechdicke beträgt $Formula: 0{,}7\,\mathrm{mm}=0{,}07\,\mathrm{cm}.$ $Formula: 0{,}7\,\mathrm{mm}=0{,}07\,\mathrm{cm}.$ Damit beträgt der Außenradius Formula: r+0{,}07.

Für die Querschnittsfläche des Blechs gilt:

$Formula: A_{\text{Blech}}=\frac12\pi\left((r+0{,}07)^2-r^2\right)$ $Formula: A_{\text{Blech}}=\frac12\pi\left((r+0{,}07)^2-r^2\right)$

Dann folgt für das Volumen des $Formula: 300\mathrm{~cm}$ $Formula: 300\mathrm{~cm}$ langen Dachrinnenstücks:

$Formula: V=\frac12\pi\left((r+0{,}07)^2-r^2\right)\cdot300$ $Formula: V=\frac12\pi\left((r+0{,}07)^2-r^2\right)\cdot300$

Für die Masse gilt somit:

$Formula: \begin{array}{rlll} m&=&\dfrac12\pi\left((r+0{,}07)^2-r^2\right)\cdot300\cdot8{,}96\\[5pt] &=&\dfrac12\pi\left(\left(10\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}+0{,}07\right)^2-\left(10\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}\right)^2\right)\cdot300\cdot8{,}96\\[5pt] &\approx& 4737\mathrm{~g} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} m&=&\dfrac12\pi\left((r+0{,}07)^2-r^2\right)\cdot300\cdot8{,}96\\[5pt] &=&\dfrac12\pi\left(\left(10\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}+0{,}07\right)^2-\left(10\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}\right)^2\right)\cdot300\cdot8{,}96\\[5pt] &\approx& 4737\mathrm{~g} \end{array}$

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