Teil A – ohne Hilfsmittel

Berechne folgende Terme.

$Formula: \dfrac{2}{9} : \dfrac{4}{3}$ $Formula: \dfrac{2}{9} : \dfrac{4}{3}$
$Formula: 196^{\frac{1}{2}}$ $Formula: 196^{\frac{1}{2}}$
$Formula: 4 \cdot \cos \left( \dfrac{\pi}{2} \right)$ $Formula: 4 \cdot \cos \left( \dfrac{\pi}{2} \right)$

3 BE

Löse die Gleichung.

$Formula: 5^{3x-4} = 1$ $Formula: 5^{3x-4} = 1$

2 BE

Von einem Dorf Formula: A ist bekannt, dass $Formula: 20 \, \%$ $Formula: 20 \, \%$ der Einwohner in der freiwilligen Feuerwehr und dass $Formula: 10 \, \%$ $Formula: 10 \, \%$ der Einwohner in der freiwilligen Feuerwehr sowie im Sportverein sind. Es sind aber auch $Formula: 50 \, \%$ $Formula: 50 \, \%$ der Einwohner weder im Sportverein noch in der freiwilligen Feuerwehr.

Erstelle eine vollständige Vierfeldertafel zum Sachverhalt.

3 BE

Von einem Dorf Formula: B ist bekannt, dass von Formula: 800 Einwohnern Formula: 320 im Sportverein und von diesen ein Viertel auch in der freiwilligen Feuerwehr sind. Auch hier ist die Hälfte der Einwohner in keinem der beiden Vereine.

Beurteile, ob in beiden Dörfern die gleiche Verteilung der Vereinszugehörigkeiten vorliegt.

2 BE

Gegeben sind die Funktionen Formula: f, g und Formula: h durch

$Formula: f(x) = \sin (2x),$ $Formula: f(x) = \sin (2x),$ $Formula: g(x) = 2 \cdot \cos(x)$ $Formula: g(x) = 2 \cdot \cos(x)$ und Formula: h(x) = 2x+1 für $Formula: x \in \mathbb{R}.$ $Formula: x \in \mathbb{R}.$

Zeichne die Graphen der Funktionen Formula: f, g und Formula: h in ein Koordinatensystem.

3 BE

Gegeben ist eine weitere Funktion Formula: q durch Formula: q(x) = -x^2+1 für $Formula: x \in \mathbb{R}.$ $Formula: x \in \mathbb{R}.$

Nenne eine gemeinsame Eigenschaft der Graphen von Formula: g und Formula: q und eine gemeinsame Eigenschaft der Graphen von Formula: h und Formula: q.

2 BE

Ein zusammengesetzter Körper besteht aus einem Würfel mit aufgesetzter gerader Pyramide.

Der Würfel hat eine Kantenlänge von $Formula: 10 \; \text{m}$ $Formula: 10 \; \text{m}$ und die Pyramide hat eine Höhe von $Formula: 12 \; \text{m}.$ $Formula: 12 \; \text{m}.$

Hausähnliche geometrische Figur mit spitzem Dach, als Linienzeichnung dargestellt

Zeichne ein Zweitafelbild des zusammengesetzten Körpers in einem geeigneten Maßstab.

Gib den verwendeten Maßstab an.

3 BE

Berechne die Höhe einer Seitenfläche der Pyramide.

2 BE

Gegeben ist die Gleichung einer Funktion durch $Formula: f(x) = 3 \cdot (x-t)$ $Formula: f(x) = 3 \cdot (x-t)$ für $Formula: x, t \in \mathbb{R}, t \neq 0.$ $Formula: x, t \in \mathbb{R}, t \neq 0.$

Der Koordinatenursprung und die Schnittpunkte des Graphen von Formula: f mit den Koordinatenachsen sind die Eckpunkte eines Dreiecks.

Stelle diesen Sachverhalt für einen Wert von Formula: t graphisch dar.

Zeige, dass es genau zwei Werte für Formula: t gibt, für die das Dreieck einen Flächeninhalt von $Formula: 6 \; \text{FE}$ $Formula: 6 \; \text{FE}$ besitzt.

5 BE

In einem blickdichten Beutel befinden sich zehn Kugeln. Davon sind Formula: m Kugeln blau.

Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen.

Bestimme Formula: m so, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von einem Drittel zweimal hintereinander blau gezogen wird.

5 BE

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$Formula: \dfrac{2}{9} : \dfrac{4}{3} = \dfrac{2}{9} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$ $Formula: \dfrac{2}{9} : \dfrac{4}{3} = \dfrac{2}{9} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$
$Formula: 196^{\tfrac{1}{2}} = \sqrt{196} = 14$ $Formula: 196^{\tfrac{1}{2}} = \sqrt{196} = 14$
$Formula: 4 \cdot \cos\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = 4 \cdot 0 = 0$ $Formula: 4 \cdot \cos\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = 4 \cdot 0 = 0$

$Formula: 5^{3x-4} = 1$ Jede Zahl kann nur hoch Formula: 0 genommen werden, um den Wert Formula: 1 zu ergeben. Somit liefert die Gleichung für Formula: x:

$Formula: \begin{array}{rcll} 3x-4 &=& 0 &\quad\scriptsize\mid\; + 4 \\[5pt] 3x &=& 4 &\quad\scriptsize\mid\; :3 \\[5pt] x &=& \dfrac{4}{3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} 3x-4 &=& 0 &\quad\scriptsize\mid\; + 4 \\[5pt] 3x &=& 4 &\quad\scriptsize\mid\; :3 \\[5pt] x &=& \dfrac{4}{3} \end{array}$

	„Der Einwohner ist in der freiwilligen Feuerwehr“
	„Der Einwohner ist im Sportverein“

	$Formula: \boldsymbol{S}$ $Formula: \boldsymbol{S}$	$Formula: \boldsymbol{\overline{S}}$ $Formula: \boldsymbol{\overline{S}}$
$Formula: \boldsymbol{F}$ $Formula: \boldsymbol{F}$	$Formula: 10 \, \%$ $Formula: 10 \, \%$	$Formula: 10 \, \%$ $Formula: 10 \, \%$	$Formula: 20 \, \%$ $Formula: 20 \, \%$
$Formula: \boldsymbol{\overline{F}}$ $Formula: \boldsymbol{\overline{F}}$	$Formula: 30 \, \%$ $Formula: 30 \, \%$	$Formula: 50 \, \%$ $Formula: 50 \, \%$	$Formula: 80 \, \%$ $Formula: 80 \, \%$
$Formula: \quad\quad$ $Formula: \quad\quad$	$Formula: 40 \, \%$ $Formula: 40 \, \%$	$Formula: 60 \, \%$ $Formula: 60 \, \%$	$Formula: 100 \, \%$ $Formula: 100 \, \%$

Formula: 320 von Formula: 800 Einwohnern sind im Sportverein. Das entspricht $Formula: \tfrac{320}{800} = \tfrac{4}{10} = 40 \, \%.$ $Formula: \tfrac{320}{800} = \tfrac{4}{10} = 40 \, \%.$

Ein Viertel der Formula: 320 Mitglieder im Sportverein ist auch in der freiwilligen Feuerwehr. Das entspricht $Formula: \tfrac{1}{4} \cdot 40 \, \% = 10 \, \%.$ $Formula: \tfrac{1}{4} \cdot 40 \, \% = 10 \, \%.$

Die Hälfte der Einwohner ist in keinem der beiden Vereine, also $Formula: 50 \, \%.$ $Formula: 50 \, \%.$

Damit ergibt sich für Dorf Formula: B die folgende Vierfeldertafel:

	$Formula: \boldsymbol{S}$ $Formula: \boldsymbol{S}$	$Formula: \boldsymbol{\overline{S}}$ $Formula: \boldsymbol{\overline{S}}$
$Formula: \boldsymbol{F}$ $Formula: \boldsymbol{F}$	$Formula: 10 \, \%$ $Formula: 10 \, \%$	$Formula: 10 \, \%$ $Formula: 10 \, \%$	$Formula: 20 \, \%$ $Formula: 20 \, \%$
$Formula: \boldsymbol{\overline{F}}$ $Formula: \boldsymbol{\overline{F}}$	$Formula: 30 \, \%$ $Formula: 30 \, \%$	$Formula: 50 \, \%$ $Formula: 50 \, \%$	$Formula: 80 \, \%$ $Formula: 80 \, \%$
$Formula: \quad\quad$ $Formula: \quad\quad$	$Formula: 40 \, \%$ $Formula: 40 \, \%$	$Formula: 60 \, \%$ $Formula: 60 \, \%$	$Formula: 100 \, \%$ $Formula: 100 \, \%$

Die Verteilung stimmt somit mit der Verteilung in Dorf Formula: A überein.

Diagramm mit Sinus-, Kosinus- und Geradengraphen.

Gemeinsame Eigenschaft der Graphen von $Formula: \boldsymbol{g}$ $Formula: \boldsymbol{g}$ und $Formula: \boldsymbol{q}$ $Formula: \boldsymbol{q}$

Beide Graphen sind achsensymmetrisch zur $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Achse.

Gemeinsame Eigenschaft der Graphen von $Formula: \boldsymbol{h}$ $Formula: \boldsymbol{h}$ und $Formula: \boldsymbol{q}$ $Formula: \boldsymbol{q}$

Beide Graphen enthalten den Punkt $Formula: S_y(0 \mid 1).$ $Formula: S_y(0 \mid 1).$

Schematische Skizze eines Hauses mit Aufriss, Rissachse und Grundriss.

Ein geeigneter Maßstab ist zum Beispiel Formula: 1 : 200. Dabei entsprechen $Formula: 1 \; \text{cm}$ $Formula: 1 \; \text{cm}$ in der Zeichnung $Formula: 200 \; \text{cm} = 2 \; \text{m}$ $Formula: 200 \; \text{cm} = 2 \; \text{m}$ in der Realität.

Die halbe Seitenlänge der quadratischen Grundfläche beträgt $Formula: \tfrac{10\;\text{m}}{2} = 5 \; \text{m}.$ $Formula: \tfrac{10\;\text{m}}{2} = 5 \; \text{m}.$ Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten der Länge $Formula: 12 \; \text{m}$ $Formula: 12 \; \text{m}$ und $Formula: 5 \; \text{m}.$ $Formula: 5 \; \text{m}.$ Mit dem Satz des Pythagoras gilt somit für die Höhe der Pyramide:

$Formula: \begin{array}{rcll} h^2 &=& (12 \; \text{m})^2 + (5 \; \text{m})^2 \\[5pt] h^2 &=& 144 \; \text{m}^2 + 25 \; \text{m}^2 \\[5pt] h^2 &=& 169 \; \text{m}^2 &\quad \scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] h &=& \sqrt{169 \; \text{m}^2} \\[5pt] h&=& 13 \; \text{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} h^2 &=& (12 \; \text{m})^2 + (5 \; \text{m})^2 \\[5pt] h^2 &=& 144 \; \text{m}^2 + 25 \; \text{m}^2 \\[5pt] h^2 &=& 169 \; \text{m}^2 &\quad \scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] h &=& \sqrt{169 \; \text{m}^2} \\[5pt] h&=& 13 \; \text{m} \end{array}$

Die Höhe einer Seitenfläche beträgt $Formula: 13 \; \text{m}.$ $Formula: 13 \; \text{m}.$

Graphische Darstellung des Sachverhalts

Für Formula: t=2 ergibt sich z.B.:

Koordinatensystem mit markiertem Dreieck und grüner Gerade

Nachweis der zwei möglichen Werte für $Formula: \boldsymbol{t{:}}$ $Formula: \boldsymbol{t{:}}$

Aus der Funktionsgleichung von Formula: f lässt sich ablesen, dass der Graph die $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse bei Formula: t schneidet. Der Schnittpunkt mit der $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Achse liegt bei $Formula: y= 3 \cdot (-t) = -3t.$ $Formula: y= 3 \cdot (-t) = -3t.$ Damit hat das Dreieck die Eckpunkte $Formula: O(0 \mid 0), S_x(t \mid 0)$ $Formula: O(0 \mid 0), S_x(t \mid 0)$ und $Formula: S_y(0 \mid - 3t)$ $Formula: S_y(0 \mid - 3t)$ und die Länge der Grundseite beträgt Formula: |t| sowie die zugehörige Höhe $Formula: |-3t| = 3 \cdot |t|.$ $Formula: |-3t| = 3 \cdot |t|.$ Für Formula: t ergibt sich somit:

$Formula: \begin{array}{rcll} A &=& 6 \\[5pt] \dfrac{1}{2}\cdot\vert t\vert\cdot 3\cdot \vert t\vert &=& 6 &\quad \scriptsize\mid\;\cdot\dfrac{2}{3} \\[5pt] t^2 &=& 4 &\quad \scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] t_1 &=& 2 \\[5pt] t_2 &=& -2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} A &=& 6 \\[5pt] \dfrac{1}{2}\cdot\vert t\vert\cdot 3\cdot \vert t\vert &=& 6 &\quad \scriptsize\mid\;\cdot\dfrac{2}{3} \\[5pt] t^2 &=& 4 &\quad \scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] t_1 &=& 2 \\[5pt] t_2 &=& -2 \end{array}$

Damit gibt es genau zwei Werte für Formula: t für die das Dreieck einen Flächeninhalt von $Formula: 6\;\text{FE}$ $Formula: 6\;\text{FE}$ hat.

Bestimmung der Anzahl blauer Kugeln:

Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Zug eine blaue Kugel zu ziehen, beträgt $Formula: \tfrac{m}{10}.$ $Formula: \tfrac{m}{10}.$ Falls im ersten Zug eine blaue Kugel gezogen wurde, beträgt die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Zug wieder eine blaue Kugel zu ziehen $Formula: \tfrac{(m-1)}{9}.$ $Formula: \tfrac{(m-1)}{9}.$ Somit folgt:

$Formula: \begin{array}{rcll} \dfrac{m}{10}\cdot\dfrac{m-1}{9} &=& \dfrac{1}{3} \\[5pt] \dfrac{m^2-m}{90} &=& \dfrac{1}{3} &\quad\scriptsize\mid \;\cdot 90 \\[5pt] m^2-m &=& 30 &\quad \scriptsize\mid\; -30 \\[5pt] m^2-m-30 &=& 0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \dfrac{m}{10}\cdot\dfrac{m-1}{9} &=& \dfrac{1}{3} \\[5pt] \dfrac{m^2-m}{90} &=& \dfrac{1}{3} &\quad\scriptsize\mid \;\cdot 90 \\[5pt] m^2-m &=& 30 &\quad \scriptsize\mid\; -30 \\[5pt] m^2-m-30 &=& 0 \end{array}$

Mit der $Formula: pq\text{-}$ $Formula: pq\text{-}$ Formel folgt:

$Formula: \begin{array}{rcll} m_{1;2} &=& -\dfrac{-1}{2} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 - (-30)} \\[5pt] m_{1;2} &=& \dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\dfrac{1}{4}+30} \\[5pt] m_{1;2} &=& \dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\dfrac{121}{4}} \\[5pt] m_{1;2} &=& \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{11}{2} \\[5pt] m_1&=& 6 \\[5pt] m_2 &=& -5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} m_{1;2} &=& -\dfrac{-1}{2} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 - (-30)} \\[5pt] m_{1;2} &=& \dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\dfrac{1}{4}+30} \\[5pt] m_{1;2} &=& \dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\dfrac{121}{4}} \\[5pt] m_{1;2} &=& \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{11}{2} \\[5pt] m_1&=& 6 \\[5pt] m_2 &=& -5 \end{array}$

Da die Anzahl der blauen Kugeln nicht negativ sein kann, befinden sich Formula: 6 blaue Kugeln im Beutel.

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