Teil B – mit Hilfsmitteln

Andreas spielt gern Computerspiele. Bei einem dieser Spiele wird mit Bällen auf einen Korb geworfen.

Im ersten Level wirft Andreas dreimal auf den Korb und trifft bei jedem Versuch mit einer Wahrscheinlichkeit von $Formula: 85 \, \%.$ $Formula: 85 \, \%.$

Zeichne ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm.

2 BE

Berechne die Wahrscheinlichkeit, mit der er bei drei Versuchen genau einmal trifft.

2 BE

Jetzt probiert Andreas ein höheres Level aus. Dabei stellt er fest, dass er bei zwei Versuchen mit einer Wahrscheinlichkeit von $Formula: 48 \, \%$ $Formula: 48 \, \%$ genau einmal trifft.

Ermittle die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass er in diesem Level den Korb bei einem Wurf trifft.

3 BE

Andreas will seine Freunde zum nächsten Computerspielabend einladen.

Für die Einladungskarte schneidet er aus einem quadratischen Stück Papier mit der Seitenlänge von $Formula: 12 \; \text{cm}$ $Formula: 12 \; \text{cm}$ einen Kreis mit größtmöglichem Flächeninhalt aus.

Weise rechnerisch nach, dass mehr als $Formula: 20 \, \%$ $Formula: 20 \, \%$ des quadratischen Stück Papiers nicht für die Einladungskarte genutzt werden.

3 BE

Für den Bau einer Brücke werden Betonteile verwendet, die die Form von Prismen mit einer dreieckigen Grundfläche besitzen (siehe Skizze, nicht maßstäblich).

Die Höhen der Prismen betragen zwei Meter.

Rechtwinkliges Dreieck mit den Winkeln α und β sowie den Seiten 4 m und 3 m

Berechne die Größen der Winkel $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ und $Formula: \beta$ $Formula: \beta$ der dreieckigen Grundfläche.

2 BE

Zeichne ein Schrägbild eines Prismas in einem geeigneten Maßstab.

2 BE

Für die Betonteile wird Beton verwendet, bei dem ein Kubikmeter eine Masse von $Formula: 2600 \; \text{kg}$ $Formula: 2600 \; \text{kg}$ hat.

Ermittle die Masse eines solchen Betonteils in Tonnen.

3 BE

Bei einer Bank soll für den Bau dieser Brücke ein Kredit über acht Millionen Euro aufgenommen werden. Jedes Jahr soll sich der aktuelle Schuldenstand um den gleichen Prozentsatz Formula: p verringern.

Bestimme Formula: p so, dass sich die Schulden nach Jahrzehnten halbiert haben.

3 BE

Beim Schulfest darf ein Spieler für einen Einsatz von einem Euro einen idealen Würfel zweimal nacheinander werfen.

Gib die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse Formula: A und Formula: B an.

	„Der Würfel zeigt zuerst eine drei und dann eine fünf.“
	„Der Würfel zeigt zweimal dieselbe Zahl.“

2 BE

Bei einem Glücksspiel gibt es einen Gewinnplan. Dieser ist in der Tabelle dargestellt.

Augensumme	zwölf	höchstens drei
Auszahlung	$Formula: 10 \; €$ $Formula: 10 \; €$	$Formula: 3 \; €$ $Formula: 3 \; €$

Bei allen anderen Augensummen erfolgt keine Auszahlung.

Berechne den Erwartungswert des Gewinns für einen Spieler.

Interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.

4 BE

Bei diesem Schulfest verkaufte der Schulförderverein Formula: 383 Getränke.

Die Einnahmen für die Getränke betrugen Formula: 536{,}40 Euro.

Preisliste
Bockwurst mit Brötchen	$Formula: 2{,}50 \; \text{Euro}$ $Formula: 2{,}50 \; \text{Euro}$
Portion Pommes	$Formula: 2{,}20 \; \text{Euro}$ $Formula: 2{,}20 \; \text{Euro}$
Tasse Kaffee	$Formula: 1{,}80 \; \text{Euro}$ $Formula: 1{,}80 \; \text{Euro}$
Glas Wasser	$Formula: 1{,}20 \; \text{Euro}$ $Formula: 1{,}20 \; \text{Euro}$
Kuchenteller	$Formula: 3{,}80 \; \text{Euro}$ $Formula: 3{,}80 \; \text{Euro}$
Eis	$Formula: 0{,}90 \; \text{Euro}$ $Formula: 0{,}90 \; \text{Euro}$

Berechne die Anzahl der verkauften Tassen Kaffee bzw. Gläser Wasser.

4 BE

Bei einer Feier wird ein Glücksrad mit genau zwei Sektoren „Gewinn“ und „Trostpreis“ verwendet.

Zeichne die Kreisfläche eines Glücksrades, bei dem der Sektor für „Gewinn“ $Formula: 15 \, \%$ $Formula: 15 \, \%$ der Gesamtfläche einnimmt.

2 BE

Das Glücksrad ist geometrisch gesehen ein Zylinder mit dem Durchmesser Formula: d. Bei einem bestimmten Glücksrad beträgt die Dicke des Brettes, aus dem das Glücksrad hergestellt wurde, ein Fünfzigstel des Durchmessers

Zeige, dass für ein solches Glücksrad das Volumen mit der Formel $Formula: V = \tfrac{\pi}{200} \cdot d^3$ $Formula: V = \tfrac{\pi}{200} \cdot d^3$ berechnet werden kann.

2 BE

Gegeben ist die Funktion Formula: f mit der Gleichung $Formula: f(x) = \tfrac{\pi}{200} \cdot x^3$ $Formula: f(x) = \tfrac{\pi}{200} \cdot x^3$ für $Formula: x \in \mathbb{R}.$ $Formula: x \in \mathbb{R}.$

Gib das Symmetrie- und das Monotonieverhalten der Funktion Formula: f an.

2 BE

Gegeben ist eine weitere Funktion Formula: g mit $Formula: g(x) = \sqrt[3]{\tfrac{200}{\pi} \cdot x}$ $Formula: g(x) = \sqrt[3]{\tfrac{200}{\pi} \cdot x}$ für $Formula: x \in \mathbb{R}, x \geq 0.$ $Formula: x \in \mathbb{R}, x \geq 0.$

Der Graph von Formula: f und der Graph von Formula: g haben zwei Punkte gemeinsam.

Bestimme die Koordinaten dieser beiden Punkte.

Gib den Zusammenhang zwischen den Funktionen Formula: f und Formula: g an.

4 BE

Die Funktion Formula: f ist gegeben durch $Formula: f(x) = 3^{x-2}-3$ $Formula: f(x) = 3^{x-2}-3$ für $Formula: x \in \mathbb{R}.$ $Formula: x \in \mathbb{R}.$

Zeichne den Graphen der Funktion Formula: f im Intervall $Formula: -1 \leq x \leq 4.$ $Formula: -1 \leq x \leq 4.$

2 BE

Der Graph von Formula: f schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten Formula: A und Formula: B. Der Koordinatenursprung, die Punkte und sind die Eckpunkte eines Dreiecks.

Berechne den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

4 BE

Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen von Formula: f mit der Geraden, die durch die Gleichung Formula: y=726 beschrieben wird.

2 BE

Der Graph einer Funktion Formula: g ist gegenüber dem Graphen von Formula: f um Formula: 2026 Einheiten in positive $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Richtung verschoben und anschließend an der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse gespiegelt.

Gib eine Funktionsgleichung für Formula: g an.

2 BE

Gegeben ist ein Dreieck Formula: PQR. Die Länge der Strecke $Formula: \overline{PR}$ $Formula: \overline{PR}$ beträgt $Formula: 5 \; \text{cm},$ $Formula: 5 \; \text{cm},$ die Länge von $Formula: \overline{QR}$ $Formula: \overline{QR}$ beträgt $Formula: 9 \; \text{cm}$ $Formula: 9 \; \text{cm}$ und der Winkel $Formula: \sphericalangle PRQ$ $Formula: \sphericalangle PRQ$ hat eine Größe von $Formula: 35^{\circ}.$ $Formula: 35^{\circ}.$

Der Mittelpunkt der Seite $Formula: \overline{QR}$ $Formula: \overline{QR}$ wird mit Formula: M bezeichnet.

Zeichne das Dreieck Formula: PQR.

2 BE

Berechne die Länge der Seitenhalbierenden $Formula: \overline{PM}.$ $Formula: \overline{PM}.$

2 BE

Beschreibe einen Rechenweg zur Ermittlung des Flächeninhalts des Dreiecks Formula: PQM.

3 BE

Das Dreieck Formula: PQR wird zentrisch gestreckt. Der Flächeninhalt des Bilddreiecks ist fünfundzwanzig Mal so groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks Formula: PQR.

Gib die Längen zweier Seiten und die Größe eines Innenwinkels des Bilddreiecks an.

3 BE

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Wenn Formula: T für einen Treffer steht, ergibt sich das folgende Baumdiagramm:

Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten 0,85 und 0,15 für T und nicht T.

Andreas kann entweder im ersten, zweiten oder dritten Wurf treffen. Somit ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit Formula: p:

$Formula: \begin{array}{rcll} p &=& 3 \cdot 0{,}85 \cdot 0{,}15^2 \\[5pt] &\approx& 0{,}0574 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} p &=& 3 \cdot 0{,}85 \cdot 0{,}15^2 \\[5pt] &\approx& 0{,}0574 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Andreas bei drei Würfen genau einmal trifft, beträgt ca. $Formula: 5{,}74 \, \%.$ $Formula: 5{,}74 \, \%.$

Für die Wahrscheinlichkeit, in diesem Level den Korb zu treffen, folgt:

$Formula: \begin{array}{rcll} 2 \cdot p \cdot (1-p) &=& 0{,}48 \\[5pt] 2p-2p^2 &=& 0{,}48 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} 2 \cdot p \cdot (1-p) &=& 0{,}48 \\[5pt] 2p-2p^2 &=& 0{,}48 \end{array}$

Auflösen nach Formula: p mit dem CAS liefert:

$Formula: \begin{array}{rcll} p_1 &=& 0{,}6 \\[5pt] p_2 &=& 0{,}4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} p_1 &=& 0{,}6 \\[5pt] p_2 &=& 0{,}4 \end{array}$

Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt also $Formula: 40 \, \%$ $Formula: 40 \, \%$ oder $Formula: 60 \, \%.$ $Formula: 60 \, \%.$

Der größtmögliche Kreis hat einen Durchmesser, der der Seitenlänge des Quadrats entspricht. Mit dem Radius von $Formula: \tfrac{12}{2}=6\;[\text{cm}]$ $Formula: \tfrac{12}{2}=6\;[\text{cm}]$ folgt somit für den Flächeninhalt des Kreises:

$Formula: A_\text{Kreis}=\pi\cdot(6\;\text{cm})^2\approx113,10\;\text{cm}^2$ $Formula: A_\text{Kreis}=\pi\cdot(6\;\text{cm})^2\approx113,10\;\text{cm}^2$

Für den Flächeninhalt des Quadrats gilt:

$Formula: A_{\text{Quadrat}} = (12 \; \text{cm})^2 = 144 \; \text{cm}^2$ $Formula: A_{\text{Quadrat}} = (12 \; \text{cm})^2 = 144 \; \text{cm}^2$

Der Anteil des ungenutzten Papiers ergibt sich somit wie folgt:

$Formula: \begin{array}{rcll} \dfrac{144 \; \text{cm}^2 - 113{,}10 \; \text{cm}^2}{144 \; \text{cm}^2} &=& \dfrac{30{,}9 \; \text{cm}^2}{144 \; \text{cm}^2} \\[5pt] &\approx& 0{,}2146 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \dfrac{144 \; \text{cm}^2 - 113{,}10 \; \text{cm}^2}{144 \; \text{cm}^2} &=& \dfrac{30{,}9 \; \text{cm}^2}{144 \; \text{cm}^2} \\[5pt] &\approx& 0{,}2146 \end{array}$

Damit werden mehr als $Formula: 20 \, \%,$ $Formula: 20 \, \%,$ nämlich ungefähr $Formula: 21{,}46 \, \%,$ $Formula: 21{,}46 \, \%,$ des Papiers nicht genutzt.

$Formula: \begin{array}{rcll} \tan (\alpha) &=& \dfrac{3 \; \text{m}}{4 \; \text{m}} &\quad \mid \,\tan^{-1} \\[5pt] \alpha &=& \tan^{-1} \left( \dfrac{3}{4} \right) \\[5pt] \alpha &\approx& 36{,}87^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \tan (\alpha) &=& \dfrac{3 \; \text{m}}{4 \; \text{m}} &\quad \mid \,\tan^{-1} \\[5pt] \alpha &=& \tan^{-1} \left( \dfrac{3}{4} \right) \\[5pt] \alpha &\approx& 36{,}87^{\circ} \end{array}$

Da in jedem Dreieck die Summe der Innenwinkel $Formula: 180^{\circ}$ $Formula: 180^{\circ}$ beträgt, folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \beta&=& 180^\circ-90^\circ-\alpha \\[5pt] &\approx& 90^\circ-36,87^\circ \\[5pt] &=&53,13^\circ \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \beta&=& 180^\circ-90^\circ-\alpha \\[5pt] &\approx& 90^\circ-36,87^\circ \\[5pt] &=&53,13^\circ \end{array}$

Geometrische Skizze eines Körpers mit Maßangaben in Metern.

Ein geeigneter Maßstab ist zum Beispiel Formula: 1 : 100. Dabei entsprechen in der Zeichnung $Formula: 100 \; \text{cm} = 1 \; \text{m}$ $Formula: 100 \; \text{cm} = 1 \; \text{m}$ in der Realität.

Für das Volumen der einzelnen Bauteile folgt:

$Formula: V_{\text{Prisma}} =\dfrac{1}{2}\cdot3\cdot4\cdot2= 12 \; [\text{m}^3]$ $Formula: V_{\text{Prisma}} =\dfrac{1}{2}\cdot3\cdot4\cdot2= 12 \; [\text{m}^3]$

Die Masse eines Bauteils ist somit wie folgt gegeben:

$Formula: m = 12 \; \text{m}^3 \cdot 2600\;\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} = 31200 \; \text{kg}$ $Formula: m = 12 \; \text{m}^3 \cdot 2600\;\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} = 31200 \; \text{kg}$

$Formula: 1000\;\text{kg}$ $Formula: 1000\;\text{kg}$ entsprechen $Formula: 1\;\text{t}.$ $Formula: 1\;\text{t}.$ Damit hat jedes Betonteil eine Masse von $Formula: \tfrac{31200}{1000}=31{,}2\;\text{t}.$ $Formula: \tfrac{31200}{1000}=31{,}2\;\text{t}.$

Nach zehn Jahren soll sich der Schuldenstand halbiert haben. Damit ergibt sich die folgende Gleichung:

$Formula: 4 \cdot 10^6 = 8 \cdot 10^6 \cdot (1-p)^{10}$ $Formula: 4 \cdot 10^6 = 8 \cdot 10^6 \cdot (1-p)^{10}$

Auflösen nach Formula: p mit dem CAS liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} p_1 &\approx& 1{,}933 \\[5pt] p_2 &\approx& 0{,}067 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} p_1 &\approx& 1{,}933 \\[5pt] p_2 &\approx& 0{,}067 \end{array}$

Da $Formula: p_1\gt1$ $Formula: p_1\gt1$ gilt, entfällt dieser Wert und der Schuldenstand muss jährlich somit um ca. $Formula: 0{,}067=6{,}7 \, \%$ $Formula: 0{,}067=6{,}7 \, \%$ sinken.

Beim zweimaligen Werfen eines idealen Würfels gibt es insgesamt $Formula: 6 \cdot 6 = 36$ $Formula: 6 \cdot 6 = 36$ gleich wahrscheinliche Ergebnisse. Für Ereignis Formula: A gibt es genau ein günstiges Ergebnis, nämlich zuerst die Formula: 3 zu werfen, und dann die Formula: 5. Daher gilt:

$Formula: P(A) = \dfrac{1}{36}$ $Formula: P(A) = \dfrac{1}{36}$

Für Ereignis Formula: B gibt es Formula: 6 günstige Ergebnisse, da der Würfel mit sechs verschiedenen Zahlen beschriftet ist. Daher gilt:

$Formula: P(B) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$ $Formula: P(B) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$

Berechnung und Interpretation des Erwartungswertes:

Die Augensumme Formula: 12 tritt nur bei dem Ergebnis zweier Sechsen auf, und hat damit eine Wahrscheinlichkeit von $Formula: \tfrac{1}{36}.$ $Formula: \tfrac{1}{36}.$

Eine Augensumme von höchstens Formula: 3 tritt auf wenn einmal die Formula: 2 und einmal die Formula: 1 geworfen wird oder zweimal die Formula: 1. Da die Reihenfolge, in der und geworfen werden egal ist, existieren hierfür günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt also $Formula: \tfrac{3}{36}.$ $Formula: \tfrac{3}{36}.$

$Formula: P(\text{Augensumme höchstens } 3) = \dfrac{3}{36}$

Bei allen anderen Ergebnissen verliert der Spieler, d.h. mit der folgenden Wahrscheinlichkeit:

$Formula: 1 - \dfrac{1}{36} - \dfrac{3}{36} = \dfrac{32}{36}$ $Formula: 1 - \dfrac{1}{36} - \dfrac{3}{36} = \dfrac{32}{36}$

Der Spieler zahlt $Formula: 1 \, €$ $Formula: 1 \, €$ Einsatz. Bei Augensumme Formula: 12 beträgt der Gewinn somit $Formula: 9 \, €,$ $Formula: 9 \, €,$ bei einer Augensumme von höchstens Formula: 3 nur $Formula: 2 \, €.$ $Formula: 2 \, €.$ Damit gilt für den Erwartungswert des Gewinns:

$Formula: \begin{array}{rcll} E &=& 9 \, € \cdot \dfrac{1}{36} + 2 \, € \cdot \dfrac{3}{36} - 1 \, € \cdot \dfrac{32}{36} \\[5pt] &=& -\dfrac{17}{36} \, € \\[5pt] &\approx& -0{,}47 \, € \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} E &=& 9 \, € \cdot \dfrac{1}{36} + 2 \, € \cdot \dfrac{3}{36} - 1 \, € \cdot \dfrac{32}{36} \\[5pt] &=& -\dfrac{17}{36} \, € \\[5pt] &\approx& -0{,}47 \, € \end{array}$

Ein Spieler verliert langfristig somit durchschnittlich etwa $Formula: 0{,}47 \, €$ $Formula: 0{,}47 \, €$ pro Spiel.

Wenn Formula: x die Anzahl der verkauften Tassen Kaffee und Formula: y die Anzahl der verkauften Gläser Wasser angibt, gilt:

$Formula: \begin{array}{lrll}\text{I}\quad&x+y&=& 383 \\\text{II}\quad&1{,}8x+1{,}2y&=&536{,}4 \\\end{array}$ $Formula: \begin{array}{lrll}\text{I}\quad&x+y&=& 383 \\\text{II}\quad&1{,}8x+1{,}2y&=&536{,}4 \\\end{array}$

Gleichung $Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$ liefert:

$Formula: \begin{array}{rcll} x+y &=& 383 &\quad\scriptsize\mid\; -x \\[5pt] y &=& 383-x \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} x+y &=& 383 &\quad\scriptsize\mid\; -x \\[5pt] y &=& 383-x \end{array}$

Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt dann:

$Formula: \begin{array}{rcll} 1{,}8 x+1{,}2\cdot (383-x) &=& 536{,}4\\[5pt] 0{,}6x+459{,}6&=& 536{,}4 &\quad\scriptsize\mid\; -459{,}6 \\[5pt] 0{,}6 x &=& 76{,}8 &\quad\scriptsize\mid\; :0{,}6 \\[5pt] x &=& 128 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} 1{,}8 x+1{,}2\cdot (383-x) &=& 536{,}4\\[5pt] 0{,}6x+459{,}6&=& 536{,}4 &\quad\scriptsize\mid\; -459{,}6 \\[5pt] 0{,}6 x &=& 76{,}8 &\quad\scriptsize\mid\; :0{,}6 \\[5pt] x &=& 128 \end{array}$

Damit folgt für Formula: y{:}

Formula: y=383-128=255

Es wurden somit insgesamt Formula: 128 Tassen Kaffee und Formula: 255 Gläser Wasser verkauft.

Für den benötigten Innenwinkel des Sektors ergibt sich $Formula: 0{,}15 \cdot 360^{\circ} = 54^{\circ}.$ $Formula: 0{,}15 \cdot 360^{\circ} = 54^{\circ}.$ Damit ergibt sich für das Glücksrad:

Kreisdiagramm mit grün markiertem Sektor und 54° Winkel

$Formula: \begin{array}{rcll} V &=& \pi \cdot r^2 \cdot h \\[5pt] &=& \pi\cdot \left(\dfrac{d}{2} \right)^2 \cdot \dfrac{d}{50} \\[5pt] &=& \pi \cdot \dfrac{d^2}{4} \cdot \dfrac{d}{50} \\[5pt] &=& \dfrac{\pi}{200} \cdot d^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} V &=& \pi \cdot r^2 \cdot h \\[5pt] &=& \pi\cdot \left(\dfrac{d}{2} \right)^2 \cdot \dfrac{d}{50} \\[5pt] &=& \pi \cdot \dfrac{d^2}{4} \cdot \dfrac{d}{50} \\[5pt] &=& \dfrac{\pi}{200} \cdot d^3 \end{array}$

Der Graph ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

Außerdem ist die Funktion für alle $Formula: x \in \mathbb{R}$ $Formula: x \in \mathbb{R}$ monoton wachsend.

Koordinaten bestimmen

Gleichsetzen von Formula: f(x) und Formula: g(x) liefert:

$Formula: \begin{array}{rcll} f(x) &=& g(x) \\[5pt] \dfrac{\pi}{200}\cdot x^3 &=& \sqrt[3]{\dfrac{200}{\pi}\cdot x} &\quad \scriptsize\mid\; - \sqrt[3]{\dfrac{200}{\pi}\cdot x} \\[5pt] \dfrac{\pi}{200}\cdot x^3-\sqrt[3]{\dfrac{200}{\pi}\cdot x} &=& 0 \\[5pt] x\cdot\left(\dfrac{\pi}{200}\cdot x^2-\sqrt[3]{\dfrac{200}{\pi\cdot x^2}}\right) &=& 0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} f(x) &=& g(x) \\[5pt] \dfrac{\pi}{200}\cdot x^3 &=& \sqrt[3]{\dfrac{200}{\pi}\cdot x} &\quad \scriptsize\mid\; - \sqrt[3]{\dfrac{200}{\pi}\cdot x} \\[5pt] \dfrac{\pi}{200}\cdot x^3-\sqrt[3]{\dfrac{200}{\pi}\cdot x} &=& 0 \\[5pt] x\cdot\left(\dfrac{\pi}{200}\cdot x^2-\sqrt[3]{\dfrac{200}{\pi\cdot x^2}}\right) &=& 0 \end{array}$

Aus dem Satz des Nullprodukts folgt Formula: x_1 = 0 und weiter:

$Formula: \dfrac{\pi}{200}\cdot x^2-\sqrt[3]{\dfrac{200}{\pi}\cdot x^2} = 0$ $Formula: \dfrac{\pi}{200}\cdot x^2-\sqrt[3]{\dfrac{200}{\pi}\cdot x^2} = 0$

Auflösen nach Formula: x mit dem CAS liefert $Formula: x_2=\sqrt{\tfrac{200}{\pi}}.$ $Formula: x_2=\sqrt{\tfrac{200}{\pi}}.$

Einsetzen in Formula: f(x) liefert:

$Formula: \begin{array}{rcll} f(0) &=& \dfrac{\pi}{200}\cdot 0^3\\[5pt] &=& 0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} f(0) &=& \dfrac{\pi}{200}\cdot 0^3\\[5pt] &=& 0 \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcll} f\left(\sqrt{\dfrac{200}{\pi}}\right) &=& \dfrac{\pi}{200}\cdot \left(\sqrt{\dfrac{200}{\pi}}\right)^3\\[5pt] &=& \sqrt{\dfrac{200}{\pi}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} f\left(\sqrt{\dfrac{200}{\pi}}\right) &=& \dfrac{\pi}{200}\cdot \left(\sqrt{\dfrac{200}{\pi}}\right)^3\\[5pt] &=& \sqrt{\dfrac{200}{\pi}} \end{array}$

Damit haben die Schnittpunkte die Koordinaten $Formula: S_1(0 \mid 0)$ $Formula: S_1(0 \mid 0)$ und $Formula: S_2 \left(\sqrt{\tfrac{200}{\pi}} \,\bigg| \,\sqrt{\tfrac{200}{\pi}}\right).$ $Formula: S_2 \left(\sqrt{\tfrac{200}{\pi}} \,\bigg| \,\sqrt{\tfrac{200}{\pi}}\right).$

Zusammenhang angeben

Die Funktion Formula: g ist die Umkehrfunktion von Formula: f.

Diagramm einer steigenden Exponentialfunktion im Koordinatensystem.

Für den Formula: y -Achsenabschnitt folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f(0)&=&3^{0-2}-3 \\[5pt] &=&-\dfrac{26}{9} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f(0)&=&3^{0-2}-3 \\[5pt] &=&-\dfrac{26}{9} \end{array}$

Auflösen von Formula: f(x)=0 nach Formula: x mit dem solve-Befehl des CAS liefert:

Formula: x=3

Damit folgt für den Flächeninhalt des Dreiecks:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{26}{9}\cdot3 \\[5pt] &=&\dfrac{13}{3}\;[\text{FE}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{26}{9}\cdot3 \\[5pt] &=&\dfrac{13}{3}\;[\text{FE}] \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f(x)&=&726 \\[5pt] 3^{x-2}-3&=&726 &\quad\scriptsize\mid\;+3 \\[5pt] 3^{x-2}&=&729 &\quad\scriptsize\mid\;\ln \\[5pt] (x-2)\cdot\ln(3)&=&\ln(729) &\quad\scriptsize\mid\;:\ln(3) \\[5pt] x-2&=&\dfrac{\ln(729)}{\ln(3)} &\quad\scriptsize\mid\;+2 \\[5pt] x&=&8 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f(x)&=&726 \\[5pt] 3^{x-2}-3&=&726 &\quad\scriptsize\mid\;+3 \\[5pt] 3^{x-2}&=&729 &\quad\scriptsize\mid\;\ln \\[5pt] (x-2)\cdot\ln(3)&=&\ln(729) &\quad\scriptsize\mid\;:\ln(3) \\[5pt] x-2&=&\dfrac{\ln(729)}{\ln(3)} &\quad\scriptsize\mid\;+2 \\[5pt] x&=&8 \end{array}$

$Formula: g(x)=-3^{x-2}-2023$ $Formula: g(x)=-3^{x-2}-2023$

Mit dem Kosinussatz folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \left\vert\overline{PM}\right\vert^2&=&\left(4,5^2+5^2-2\cdot\cos(35^\circ)\cdot4,5\cdot5\right)\;\text{cm}^2 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \left\vert\overline{PM}\right\vert&\approx&2,9\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \left\vert\overline{PM}\right\vert^2&=&\left(4,5^2+5^2-2\cdot\cos(35^\circ)\cdot4,5\cdot5\right)\;\text{cm}^2 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \left\vert\overline{PM}\right\vert&\approx&2,9\;\text{cm} \end{array}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks kann mit der Formel $Formula: A=\tfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin(\alpha)$ $Formula: A=\tfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin(\alpha)$ berechnet werden, wobei $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ ein Winkel im Dreieck Formula: PQM ist. Zunächst wird dafür die Strecke $Formula: \overline{PQ}$ $Formula: \overline{PQ}$ über den Kosinussatz im Dreieck Formula: PQR berechnet. Danach kann dann ein Winkel $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ im Dreieck mit dem Kosinussatz berechnet werden, wodurch dann alle Größen für die Formel des Flächeninhalts bestimmt worden sind.

Die Größe der Winkel verändert sich bei einer zentrischen Streckung nicht, während die Seiten sich im gleichen Verhältnis verändern. Somit folgt, dass beide Seiten mit dem Faktor Formula: 5 vergrößert werden, d.h. es folgen die Seitenlängen $Formula: 25\;\text{cm}, 45\;\text{cm}$ $Formula: 25\;\text{cm}, 45\;\text{cm}$ und der Winkel $Formula: 35^\circ.$ $Formula: 35^\circ.$

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