Aufgabe B2
Die Vorlage für einen Salzstreuer ist ein Rotationskörper mit der Rotationsachse MS. Nebenstehende Skizze zeigt grau eingefärbt den zugehörigen Axialschnitt.
Es gilt:
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeige, dass das Volumen des Rotationskörpers 
beträgt.
![Formula: \left[ \text{Zwischenergebnis: } \left|\overline{SP}\right|=1,33 \mathrm{~cm}\right]](https://www.schullv.de/resources/formulas/40ada07e4f54dc0a4fc6fd97f7767e67f9463317b40d0ad32c3b6cc81616d971_light.svg)
![Formula: \left[ \text{Zwischenergebnis: } \left|\overline{SP}\right|=1,33 \mathrm{~cm}\right]](https://www.schullv.de/resources/formulas/40ada07e4f54dc0a4fc6fd97f7767e67f9463317b40d0ad32c3b6cc81616d971_dark.svg)
Drei solcher Salzstreuer sollen vollständig befüllt werden.
Ermittle, ob eine Packung mit 
Kochsalz dafür ausreicht, wenn ein Kubikzentimeter Kochsalz eine Masse von 
hat.
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monatlich kündbarSchulLV Plus-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?Der Rotationskörper setzt sich aus drei Figuren zusammen, einem Zylinder, einem Kegelstumpf und einer Halbkugel. Für das Volumen des gesamten Rotationskörpers gilt nach Ansicht der Skizze somit:
Mit Hilfe des Strahlensatzes ergibt sich für die Länge der Strecke 
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
\dfrac{\left|\overline{SP}\right|}{\left|\overline{SN}\right|} &=& \dfrac{\left|\overline{PD}\right|}{\left|\overline{NC}\right|} \\[5pt]
\dfrac{\left|\overline{SP}\right|}{3\mathrm{~cm}}&=&\dfrac{1 \mathrm{~cm}}{2,25\mathrm{~cm}} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot 3\mathrm{~cm} \\[5pt]
\left|\overline{SP}\right| &=& \dfrac{1 \cdot 3 \mathrm{~cm}}{2,25\mathrm{~cm}} \\[5pt]
\left|\overline{SP}\right|&\approx&1,33
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/a228a2ab984fb67b7dc7ededa863e84f84b91c821a828054b65ea1a2a590fac0_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
\dfrac{\left|\overline{SP}\right|}{\left|\overline{SN}\right|} &=& \dfrac{\left|\overline{PD}\right|}{\left|\overline{NC}\right|} \\[5pt]
\dfrac{\left|\overline{SP}\right|}{3\mathrm{~cm}}&=&\dfrac{1 \mathrm{~cm}}{2,25\mathrm{~cm}} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot 3\mathrm{~cm} \\[5pt]
\left|\overline{SP}\right| &=& \dfrac{1 \cdot 3 \mathrm{~cm}}{2,25\mathrm{~cm}} \\[5pt]
\left|\overline{SP}\right|&\approx&1,33
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/a228a2ab984fb67b7dc7ededa863e84f84b91c821a828054b65ea1a2a590fac0_dark.svg)
Das Einsetzen der Werte in die Formel für das Volumen liefert:
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
V &=&\left(2,25^2 \cdot \pi \cdot 3+\dfrac{1}{3} \cdot 2,25^2 \cdot \pi \cdot 3-\dfrac{1}{3} \cdot 1^2 \cdot \pi \cdot 1,33+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot 1^3 \cdot \pi\right) \mathrm{~cm}^3 \\[5pt]
&\approx&64,32\mathrm{~cm}^3
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/f450cc7ef698aa687ff04f9d725962d1357e4b8fdb85900b3cf650b96343cf93_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
V &=&\left(2,25^2 \cdot \pi \cdot 3+\dfrac{1}{3} \cdot 2,25^2 \cdot \pi \cdot 3-\dfrac{1}{3} \cdot 1^2 \cdot \pi \cdot 1,33+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot 1^3 \cdot \pi\right) \mathrm{~cm}^3 \\[5pt]
&\approx&64,32\mathrm{~cm}^3
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/f450cc7ef698aa687ff04f9d725962d1357e4b8fdb85900b3cf650b96343cf93_dark.svg)
Für die Masse 
des benötigten Kochsalzes gilt mit 
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
m_{\text{Salz}}&=& 3 \cdot V \cdot \rho \\[5pt]
&=&3 \cdot 64,32 \mathrm{~cm}^3 \cdot 2,16 \mathrm{~\tfrac{g}{cm^3}} \\[5pt]
&\approx&416,79 \mathrm{~g}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/6986c2db79121dd910d0da3d0a200e09ffbe618e63f559b9a98d2d9cb6a83df6_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
m_{\text{Salz}}&=& 3 \cdot V \cdot \rho \\[5pt]
&=&3 \cdot 64,32 \mathrm{~cm}^3 \cdot 2,16 \mathrm{~\tfrac{g}{cm^3}} \\[5pt]
&\approx&416,79 \mathrm{~g}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/6986c2db79121dd910d0da3d0a200e09ffbe618e63f559b9a98d2d9cb6a83df6_dark.svg)
Da 
gilt, reicht eine Packung Kochsalz folglich aus.