Aufgabe B2
Die Vorlage für einen Salzstreuer ist ein Rotationskörper mit der Rotationsachse MS. Nebenstehende Skizze zeigt grau eingefärbt den zugehörigen Axialschnitt.
Es gilt:
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeige, dass das Volumen des Rotationskörpers 
beträgt.
![Formula: \left[ \text{Zwischenergebnis: } \left|\overline{SP}\right|=1,33 \mathrm{~cm}\right]](https://www.schullv.de/resources/formulas/40ada07e4f54dc0a4fc6fd97f7767e67f9463317b40d0ad32c3b6cc81616d971_light.svg)
![Formula: \left[ \text{Zwischenergebnis: } \left|\overline{SP}\right|=1,33 \mathrm{~cm}\right]](https://www.schullv.de/resources/formulas/40ada07e4f54dc0a4fc6fd97f7767e67f9463317b40d0ad32c3b6cc81616d971_dark.svg)
Drei solcher Salzstreuer sollen vollständig befüllt werden.
Ermittle, ob eine Packung mit 
Kochsalz dafür ausreicht, wenn ein Kubikzentimeter Kochsalz eine Masse von 
hat.
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Der Rotationskörper setzt sich aus drei Figuren zusammen, einem Zylinder, einem Kegelstumpf und einer Halbkugel. Für das Volumen des gesamten Rotationskörpers gilt nach Ansicht der Skizze somit:
Mit Hilfe des Strahlensatzes ergibt sich für die Länge der Strecke 
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
\dfrac{\left|\overline{SP}\right|}{\left|\overline{SN}\right|} &=& \dfrac{\left|\overline{PD}\right|}{\left|\overline{NC}\right|} \\[5pt]
\dfrac{\left|\overline{SP}\right|}{3\mathrm{~cm}}&=&\dfrac{1 \mathrm{~cm}}{2,25\mathrm{~cm}} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot 3\mathrm{~cm} \\[5pt]
\left|\overline{SP}\right| &=& \dfrac{1 \cdot 3 \mathrm{~cm}}{2,25\mathrm{~cm}} \\[5pt]
\left|\overline{SP}\right|&\approx&1,33
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/a228a2ab984fb67b7dc7ededa863e84f84b91c821a828054b65ea1a2a590fac0_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
\dfrac{\left|\overline{SP}\right|}{\left|\overline{SN}\right|} &=& \dfrac{\left|\overline{PD}\right|}{\left|\overline{NC}\right|} \\[5pt]
\dfrac{\left|\overline{SP}\right|}{3\mathrm{~cm}}&=&\dfrac{1 \mathrm{~cm}}{2,25\mathrm{~cm}} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot 3\mathrm{~cm} \\[5pt]
\left|\overline{SP}\right| &=& \dfrac{1 \cdot 3 \mathrm{~cm}}{2,25\mathrm{~cm}} \\[5pt]
\left|\overline{SP}\right|&\approx&1,33
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/a228a2ab984fb67b7dc7ededa863e84f84b91c821a828054b65ea1a2a590fac0_dark.svg)
Das Einsetzen der Werte in die Formel für das Volumen liefert:
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
V &=&\left(2,25^2 \cdot \pi \cdot 3+\dfrac{1}{3} \cdot 2,25^2 \cdot \pi \cdot 3-\dfrac{1}{3} \cdot 1^2 \cdot \pi \cdot 1,33+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot 1^3 \cdot \pi\right) \mathrm{~cm}^3 \\[5pt]
&\approx&64,32\mathrm{~cm}^3
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/f450cc7ef698aa687ff04f9d725962d1357e4b8fdb85900b3cf650b96343cf93_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
V &=&\left(2,25^2 \cdot \pi \cdot 3+\dfrac{1}{3} \cdot 2,25^2 \cdot \pi \cdot 3-\dfrac{1}{3} \cdot 1^2 \cdot \pi \cdot 1,33+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot 1^3 \cdot \pi\right) \mathrm{~cm}^3 \\[5pt]
&\approx&64,32\mathrm{~cm}^3
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/f450cc7ef698aa687ff04f9d725962d1357e4b8fdb85900b3cf650b96343cf93_dark.svg)
Für die Masse 
des benötigten Kochsalzes gilt mit 
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
m_{\text{Salz}}&=& 3 \cdot V \cdot \rho \\[5pt]
&=&3 \cdot 64,32 \mathrm{~cm}^3 \cdot 2,16 \mathrm{~\tfrac{g}{cm^3}} \\[5pt]
&\approx&416,79 \mathrm{~g}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/6986c2db79121dd910d0da3d0a200e09ffbe618e63f559b9a98d2d9cb6a83df6_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
m_{\text{Salz}}&=& 3 \cdot V \cdot \rho \\[5pt]
&=&3 \cdot 64,32 \mathrm{~cm}^3 \cdot 2,16 \mathrm{~\tfrac{g}{cm^3}} \\[5pt]
&\approx&416,79 \mathrm{~g}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/6986c2db79121dd910d0da3d0a200e09ffbe618e63f559b9a98d2d9cb6a83df6_dark.svg)
Da 
gilt, reicht eine Packung Kochsalz folglich aus.
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