Aufgabe B4

Die nebenstehende Skizze zeigt das gleichschenklige

Trapez Formula: ABCD mit der Höhe $Formula: \overline{CE}.$ $Formula: \overline{CE}.$

Es gilt:

$Formula: \begin{aligned} & \left|\overline{AB}\right|=12 \mathrm{~cm};\left|\overline{CE}\right|=7 \mathrm{~cm} ; \\& AB \| CD ;\sphericalangle CBA=\sphericalangle {BAD}=60^{\circ} .\end{aligned}$ $Formula: \begin{aligned} & \left|\overline{AB}\right|=12 \mathrm{~cm};\left|\overline{CE}\right|=7 \mathrm{~cm} ; \\& AB \| CD ;\sphericalangle CBA=\sphericalangle {BAD}=60^{\circ} .\end{aligned}$

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Geometrische Skizze eines Trapezes mit Punkten A, B, C, D und einer Senkrechten zu E.

B4.1

Zeichne das Trapez Formula: A B C D sowie die Höhe $Formula: \overline{C E}$ $Formula: \overline{C E}$ und die Diagonale $Formula: \overline{A C}.$ $Formula: \overline{A C}.$

2 P

B4.2

Berechne die Längen der Strecken $Formula: \overline{BC}$ $Formula: \overline{BC}$ und $Formula: \overline{AC}$ $Formula: \overline{AC}$ sowie das Maß des Winkels Formula: BAC.

$Formula: \left[ \text{Ergebnisse: } \left|\overline{BC}\right|=8,08 \mathrm{~cm} ; \left|\overline{AC}\right|=10,60 \mathrm{~cm} ; \sphericalangle BAC=41,33^{\circ} \right]$ $Formula: \left[ \text{Ergebnisse: } \left|\overline{BC}\right|=8,08 \mathrm{~cm} ; \left|\overline{AC}\right|=10,60 \mathrm{~cm} ; \sphericalangle BAC=41,33^{\circ} \right]$

3 P

B4.3

Ermittle rechnerisch die Länge der Strecke $Formula: \overline{CD}$ $Formula: \overline{CD}$ sowie den Flächeninhalt des Trapezes Formula: ABCD.

$Formula: \left[\text { Ergebnisse: }\left|\overline{C D}\right|=3,92 \mathrm{~cm} ; A_{A B C D}=55,72 \mathrm{~cm}^2\right]$ $Formula: \left[\text { Ergebnisse: }\left|\overline{C D}\right|=3,92 \mathrm{~cm} ; A_{A B C D}=55,72 \mathrm{~cm}^2\right]$

3 P

B4.4

Der Punkt Formula: F liegt auf der Strecke $Formula: \overline{BC}$ $Formula: \overline{BC}$ und es gilt: $Formula: \left|\overline{AF}\right|=\left|\overline{AC}\right|.$ $Formula: \left|\overline{AF}\right|=\left|\overline{AC}\right|.$

Ergänze in der Zeichnung zu B 4.1 die Strecke $Formula: \overline{AF}.$ $Formula: \overline{AF}.$

Berechne anschließend das Maß des Winkels Formula: AFB.

2,5 P

B4.5

Ein Kreis mit dem Mittelpunkt Formula: D berührt die Diagonale $Formula: \overline{A C}$ $Formula: \overline{A C}$ im Punkt Formula: G und schneidet die Strecke $Formula: \overline{AD}$ $Formula: \overline{AD}$ im Punkt Formula: P sowie die Strecke $Formula: \overline{CD}$ $Formula: \overline{CD}$ im Punkt Formula: Q.

Ergänze in der Zeichnung zu B 4.1 die Strecke $Formula: \overline{DG}$ $Formula: \overline{DG}$ sowie den Kreisbogen $Formula: \overparen{PQ}$ $Formula: \overparen{PQ}$ mit dem Mittelpunkt Formula: D.

1 P

B4.6

Durch die Strecken $Formula: \overline{QD}$ $Formula: \overline{QD}$ und $Formula: \overline{DP}$ $Formula: \overline{DP}$ sowie den Kreisbogen $Formula: \overparen{PQ}$ $Formula: \overparen{PQ}$ wird ein Kreissektor begrenzt.

Berechne den prozentualen Anteil des Flächeninhalts dieses Kreissektors am Flächeninhalt des Trapezes Formula: ABCD.

$Formula: \left[ \text{Zwischenergebnis: } \left|\overline{DG}\right|=2,59 \mathrm{~cm}\right]$ $Formula: \left[ \text{Zwischenergebnis: } \left|\overline{DG}\right|=2,59 \mathrm{~cm}\right]$

4 P

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B4.1

Geometrische Skizze eines Vierecks mit eingezeichneten Strecken und Punkten A, B, C, D, E

B4.2

Streckenlängen berechnen

Für die Länge der Strecke $Formula: \overline{BC}$ $Formula: \overline{BC}$ folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \sin (\sphericalangle CBA)&=& \dfrac{\left|\overline{CE}\right|}{\left|\overline{BC}\right|} \\[5pt] \sin 60^{\circ}&=& \dfrac{7 \mathrm{~cm}}{\left|\overline{BC}\right|} &\quad\scriptsize\mid\; \cdot \left|\overline{BC}\right| \\[5pt] \sin 60^{\circ} \cdot \left|\overline{BC}\right| &=& 7 \mathrm{~cm} &\quad\scriptsize\mid\; : \sin 60^{\circ} \\[5pt] \left|\overline{BC}\right| &=& \dfrac{7 \mathrm{~cm}}{\sin 60^{\circ}} \\[5pt] \left|\overline{BC}\right|&\approx& 8,08 \mathrm{~cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \sin (\sphericalangle CBA)&=& \dfrac{\left|\overline{CE}\right|}{\left|\overline{BC}\right|} \\[5pt] \sin 60^{\circ}&=& \dfrac{7 \mathrm{~cm}}{\left|\overline{BC}\right|} &\quad\scriptsize\mid\; \cdot \left|\overline{BC}\right| \\[5pt] \sin 60^{\circ} \cdot \left|\overline{BC}\right| &=& 7 \mathrm{~cm} &\quad\scriptsize\mid\; : \sin 60^{\circ} \\[5pt] \left|\overline{BC}\right| &=& \dfrac{7 \mathrm{~cm}}{\sin 60^{\circ}} \\[5pt] \left|\overline{BC}\right|&\approx& 8,08 \mathrm{~cm} \end{array}$

Nach dem Kosinussatz folgt für die Länge der Strecke $Formula: \overline{AC}:$ $Formula: \overline{AC}:$

$Formula: \begin{array}{rcll} \left|\overline{AC}\right|^2 &=& \left|\overline{AB}\right|^2 + \left|\overline{BC}\right|^2 - 2 \cdot \left|\overline{AB}\right| \cdot \left|\overline{BC}\right| \cdot \cos(\sphericalangle CBA) \\[5pt] \left|\overline{AC}\right|^2 &=& (12\mathrm{~cm})^2 + (8{,}08\mathrm{~cm})^2 - 2 \cdot (12\mathrm{~cm}) \cdot (8{,}08\mathrm{~cm}) \cdot \cos 60^\circ &\quad& \mid \sqrt{\phantom{x}} \\[5pt] \left|\overline{AC}\right| &=& \sqrt{(12\mathrm{~cm})^2 + (8{,}08\mathrm{~cm})^2 - 2 \cdot (12\mathrm{~cm}) \cdot (8{,}08\mathrm{~cm}) \cdot \cos 60^\circ} \\[5pt] \left|\overline{AC}\right|&\approx& 10{,}60\,\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \left|\overline{AC}\right|^2 &=& \left|\overline{AB}\right|^2 + \left|\overline{BC}\right|^2 - 2 \cdot \left|\overline{AB}\right| \cdot \left|\overline{BC}\right| \cdot \cos(\sphericalangle CBA) \\[5pt] \left|\overline{AC}\right|^2 &=& (12\mathrm{~cm})^2 + (8{,}08\mathrm{~cm})^2 - 2 \cdot (12\mathrm{~cm}) \cdot (8{,}08\mathrm{~cm}) \cdot \cos 60^\circ &\quad& \mid \sqrt{\phantom{x}} \\[5pt] \left|\overline{AC}\right| &=& \sqrt{(12\mathrm{~cm})^2 + (8{,}08\mathrm{~cm})^2 - 2 \cdot (12\mathrm{~cm}) \cdot (8{,}08\mathrm{~cm}) \cdot \cos 60^\circ} \\[5pt] \left|\overline{AC}\right|&\approx& 10{,}60\,\text{cm} \end{array}$

Winkel berechnen

Für $Formula: \sphericalangle BAC$ $Formula: \sphericalangle BAC$ folgt somit:

$Formula: \begin{array}{rlll} \sin (\sphericalangle BAC)&=& \dfrac{\left|\overline{CE}\right|}{\left|\overline{AC}\right|} \\[5pt] \sin (\sphericalangle BAC)&=& \dfrac{7}{10{,}60} &\quad\scriptsize\mid\; \sin^{-1} \\[5pt] \sphericalangle BAC&=& \sin^{-1}\left(\dfrac{7}{10{,}60}\right) \\[5pt] \sphericalangle BAC&=& 41{,}33^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \sin (\sphericalangle BAC)&=& \dfrac{\left|\overline{CE}\right|}{\left|\overline{AC}\right|} \\[5pt] \sin (\sphericalangle BAC)&=& \dfrac{7}{10{,}60} &\quad\scriptsize\mid\; \sin^{-1} \\[5pt] \sphericalangle BAC&=& \sin^{-1}\left(\dfrac{7}{10{,}60}\right) \\[5pt] \sphericalangle BAC&=& 41{,}33^{\circ} \end{array}$

B4.3

Streckenlänge berechnen

In dem gleichschenkligen Trapez folgt für die Länge der Strecke $Formula: \overline{CD}:$ $Formula: \overline{CD}:$

$Formula: \left|\overline{CD}\right|=\left|\overline{AB}\right|-2 \cdot \left|\overline{BE}\right|$ $Formula: \left|\overline{CD}\right|=\left|\overline{AB}\right|-2 \cdot \left|\overline{BE}\right|$

Für die Länge der Teilstrecke $Formula: \overline{BE}$ $Formula: \overline{BE}$ ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} \tan (\sphericalangle CBA)&=& \dfrac{\left|\overline{CE}\right|}{\left|\overline{BE}\right|} \\[5pt] \tan 60^{\circ}&=& \dfrac{7 \mathrm{~cm}}{\left|\overline{BE}\right|} &\quad\scriptsize\mid\; \cdot \left|\overline{BE}\right| \\[5pt] \tan 60^{\circ} \cdot \left|\overline{BE}\right| &=& 7 \mathrm{~cm} &\quad\scriptsize\mid\; : \tan 60^{\circ} \\[5pt] \left|\overline{BE}\right| &=& \dfrac{7 \mathrm{~cm}}{\tan 60^{\circ}} \\[5pt] \left|\overline{BE}\right|&\approx& 4{,}04 \mathrm{~cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \tan (\sphericalangle CBA)&=& \dfrac{\left|\overline{CE}\right|}{\left|\overline{BE}\right|} \\[5pt] \tan 60^{\circ}&=& \dfrac{7 \mathrm{~cm}}{\left|\overline{BE}\right|} &\quad\scriptsize\mid\; \cdot \left|\overline{BE}\right| \\[5pt] \tan 60^{\circ} \cdot \left|\overline{BE}\right| &=& 7 \mathrm{~cm} &\quad\scriptsize\mid\; : \tan 60^{\circ} \\[5pt] \left|\overline{BE}\right| &=& \dfrac{7 \mathrm{~cm}}{\tan 60^{\circ}} \\[5pt] \left|\overline{BE}\right|&\approx& 4{,}04 \mathrm{~cm} \end{array}$

Einsetzen liefert für $Formula: \left|\overline{CD}\right|:$ $Formula: \left|\overline{CD}\right|:$

$Formula: \begin{array}{rlll} \left|\overline{CD}\right|&=& (12 -2\cdot 4{,}04) \mathrm{~cm} \\[5pt] &=& 3{,}92 \mathrm{~cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \left|\overline{CD}\right|&=& (12 -2\cdot 4{,}04) \mathrm{~cm} \\[5pt] &=& 3{,}92 \mathrm{~cm} \end{array}$

Trapezflächeninhalt berechnen

Die Anwendung der Trapezflächenformel liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} A_{ABCD}&=& 0{,}5 \cdot \left(\left|\overline{AB}\right| + \left|\overline{CD}\right| \right) \cdot \left|\overline{CE}\right| \\[5pt] &=& 0{,}5 \cdot (12 + 3{,}92) \cdot 7 \mathrm{~cm^2} \\[5pt] &=& 55{,}72 \mathrm{~cm^2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A_{ABCD}&=& 0{,}5 \cdot \left(\left|\overline{AB}\right| + \left|\overline{CD}\right| \right) \cdot \left|\overline{CE}\right| \\[5pt] &=& 0{,}5 \cdot (12 + 3{,}92) \cdot 7 \mathrm{~cm^2} \\[5pt] &=& 55{,}72 \mathrm{~cm^2} \end{array}$

B4.4

Zeichnung ergänzen

Geometrische Skizze mit Punkten und Linienverbindungen in einem Viereck

Winkel berechnen

Für das Maß des Winkels Formula: AFB folgt:

$Formula: \sphericalangle A F B=180^{\circ}-\sphericalangle C F A$ $Formula: \sphericalangle A F B=180^{\circ}-\sphericalangle C F A$

Es gilt $Formula: \sphericalangle C F A=\sphericalangle A C F$ $Formula: \sphericalangle C F A=\sphericalangle A C F$ aufgrund der Gleichheit der Schenkel $Formula: \overline{AC}$ $Formula: \overline{AC}$ und $Formula: \overline{AF}.$ $Formula: \overline{AF}.$ Mit $Formula: \sphericalangle ACF=\sphericalangle ACB$ $Formula: \sphericalangle ACF=\sphericalangle ACB$ folgt dann über die Innenwinkelsumme eines Dreiecks:

$Formula: \begin{array}{rlll} \sphericalangle ACF&=& 180^\circ - \sphericalangle CBA - \sphericalangle BAC \\[5pt] &=& 180^\circ -60^\circ - 41{,}33^\circ \\[5pt] &=& 78{,}67^\circ \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \sphericalangle ACF&=& 180^\circ - \sphericalangle CBA - \sphericalangle BAC \\[5pt] &=& 180^\circ -60^\circ - 41{,}33^\circ \\[5pt] &=& 78{,}67^\circ \end{array}$

Das Einsetzen in $Formula: \sphericalangle AFB$ $Formula: \sphericalangle AFB$ liefert dann:

$Formula: \begin{array}{rlll} \sphericalangle AFB&=&180^\circ -78{,}67^\circ \\[5pt] &=&101{,}33^\circ \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \sphericalangle AFB&=&180^\circ -78{,}67^\circ \\[5pt] &=&101{,}33^\circ \end{array}$

B4.5

Geometrische Skizze mit Punkten, Linien und Winkeln in einem Dreieck.

B4.6

Wegen $Formula: AB \| CD$ $Formula: AB \| CD$ folgt, dass $Formula: \sphericalangle BAD$ $Formula: \sphericalangle BAD$ ein Wechselwinkel des Winkels bei Formula: D außerhalb des Trapezes ist, der zusammen mit $Formula: \sphericalangle ADC$ $Formula: \sphericalangle ADC$ genau $Formula: 180^\circ$ $Formula: 180^\circ$ ergibt. Damit folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \sphericalangle ADC &=& 180^\circ - 60^\circ \\[5pt] &=& 120^\circ \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \sphericalangle ADC &=& 180^\circ - 60^\circ \\[5pt] &=& 120^\circ \end{array}$

Wegen $Formula: AB \| CD$ $Formula: AB \| CD$ folgt außerdem, dass $Formula: \sphericalangle DCG$ $Formula: \sphericalangle DCG$ ein Wechselwinkel von $Formula: \sphericalangle BAC$ $Formula: \sphericalangle BAC$ ist. Zudem gilt $Formula: \sphericalangle DCG = \sphericalangle BAC = 41{,}33^\circ.$ $Formula: \sphericalangle DCG = \sphericalangle BAC = 41{,}33^\circ.$ Da Formula: DCG ein rechtwinkliges Dreieck ist folgt dann für die Länge von $Formula: \overline{DG}:$ $Formula: \overline{DG}:$

$Formula: \begin{array}{rlll} \sin (\sphericalangle DCG) &=& \dfrac{\left|\overline{DG}\right|}{\left|\overline{CD}\right|} \\[5pt] \sin 41{,}33^\circ &=& \dfrac{\left|\overline{DG}\right|}{3{,}92\text{ cm}} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot 3{,}92\text{ cm} \\[5pt] 3{,}92\text{ cm} \cdot \sin 41{,}33^\circ&=& \left|\overline{DG}\right| \\[5pt] 2{,}59\text{ cm}&\approx&\left|\overline{DG}\right| \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \sin (\sphericalangle DCG) &=& \dfrac{\left|\overline{DG}\right|}{\left|\overline{CD}\right|} \\[5pt] \sin 41{,}33^\circ &=& \dfrac{\left|\overline{DG}\right|}{3{,}92\text{ cm}} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot 3{,}92\text{ cm} \\[5pt] 3{,}92\text{ cm} \cdot \sin 41{,}33^\circ&=& \left|\overline{DG}\right| \\[5pt] 2{,}59\text{ cm}&\approx&\left|\overline{DG}\right| \end{array}$

Somit gilt dann für den Flächeninhalt des Kreissektors:

$Formula: \begin{array}{rlll} A_{\text{Sektor}} &=& \dfrac{\sphericalangle ADC}{360^\circ} \cdot \left|\overline{DG}\right|^2 \cdot \pi \\[5pt] &=& \dfrac{120^\circ}{360^\circ} \cdot 2{,}59^2 \cdot \pi\text{ cm}^2 \\[5pt] &\approx& 7{,}02\text{ cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A_{\text{Sektor}} &=& \dfrac{\sphericalangle ADC}{360^\circ} \cdot \left|\overline{DG}\right|^2 \cdot \pi \\[5pt] &=& \dfrac{120^\circ}{360^\circ} \cdot 2{,}59^2 \cdot \pi\text{ cm}^2 \\[5pt] &\approx& 7{,}02\text{ cm}^2 \end{array}$

Für den prozentualen Anteil folgt dann:

$Formula: \begin{array}{rlll} p\,\% &=& \dfrac{7{,}02}{55{,}72} \cdot 100\% \\[5pt] &\approx& 12{,}60\%\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p\,\% &=& \dfrac{7{,}02}{55{,}72} \cdot 100\% \\[5pt] &\approx& 12{,}60\%\end{array}$

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