Aufgabe B3

Die Parabel Formula: p verläuft durch die Punkte $Formula: P(-4 \mid-3)$ $Formula: P(-4 \mid-3)$ und $Formula: Q(4 \mid 5).$ $Formula: Q(4 \mid 5).$ Sie hat eine

Gleichung der Form Formula: y=0,25 x^2+bx+c mit $Formula: b,c,x,y \in \mathbb{R}.$ $Formula: b,c,x,y \in \mathbb{R}.$

Die Gerade Formula: g hat die Gleichung Formula: y=0,5 x+2 mit $Formula: x,y \in \mathbb{R}.$ $Formula: x,y \in \mathbb{R}.$

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B3.1

Zeig durch Berechnung der Werte für Formula: b und Formula: c, dass die Parabel Formula: p die Gleichung Formula: y=0,25 x^2+x-3 hat.

Zeichne sodann die Parabel Formula: p und die Gerade Formula: g für $Formula: x \in[-8 ; 4]$ $Formula: x \in[-8 ; 4]$ in ein Koordinatensystem ein.

Für die Zeichnung: Längeneinheit $Formula: 1 \mathrm{~cm} ;-8 \leq x \leq 4 ;-4 \leq y \leq 5$ $Formula: 1 \mathrm{~cm} ;-8 \leq x \leq 4 ;-4 \leq y \leq 5$

4 P

B3.2

Punkte $Formula: A_n(x \mid 0,5 x+2)$ $Formula: A_n(x \mid 0,5 x+2)$ auf der Geraden Formula: g und Punkte $Formula: C_n\left(x \mid 0,25 x^2+x-3\right)$ $Formula: C_n\left(x \mid 0,25 x^2+x-3\right)$ auf der Parabel Formula: p haben dieselbe Abszisse Formula: x. Sie sind zusammen mit Punkten Formula: B_n die Eckpunkte von rechtwinkligen Dreiecken Formula: A_nB_nC_n.

Es gilt: $Formula: \overrightarrow{A_nB_n}=\binom{-4}{0}.$ $Formula: \overrightarrow{A_nB_n}=\binom{-4}{0}.$

Zeichne die Dreiecke Formula: A_1 B_1 C_1 für Formula: x=-3 und Formula: A_2 B_2 C_2 für Formula: x=2 in das Koordinatensystem zu B 3.1 ein.

2 P

B3.3

Ermittle rechnerisch, für welche Werte von Formula: x es rechtwinklige Dreiecke Formula: A_n B_n C_n gibt. Gib das Intervall für an.

3 P

B3.4

Zeige, dass für den Flächeninhalt der rechtwinkligen Dreiecke Formula: A_n B_n C_n in Abhängigkeit von der Abszisse Formula: x der Punkte gilt: $Formula: A(x)=\left(-0,5 x^2-x+10\right) \mathrm{~FE}.$ $Formula: A(x)=\left(-0,5 x^2-x+10\right) \mathrm{~FE}.$ Begründe sodann, weshalb es unter diesen Dreiecken Formula: A_nB_nC_n kein Dreieck mit einem Flächeninhalt von $Formula: 11 \mathrm{~FE}$ $Formula: 11 \mathrm{~FE}$ gibt.

4 P

B3.5

Unter den rechtwinkligen Dreiecken Formula: A_n B_n C_n gibt es zwei Dreiecke Formula: A_3 B_3 C_3 und Formula: A_4 B_4 C_4, für die gilt: $Formula: \sphericalangle A_3 C_3 B_3=\sphericalangle A_4 C_4 B_4=45^{\circ}.$ $Formula: \sphericalangle A_3 C_3 B_3=\sphericalangle A_4 C_4 B_4=45^{\circ}.$

Begründe, weshalb die beiden rechtwinkligen Dreiecke Formula: A_3 B_3 C_3 und Formula: A_4 B_4 C_4 auch gleichschenklig sind.

Bestimme sodann rechnerisch den Flächeninhalt dieser Dreiecke.

2 P

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B3.1

Berechnung von $Formula: \boldsymbol{b}$ $Formula: \boldsymbol{b}$ und $Formula: \boldsymbol{c}$ $Formula: \boldsymbol{c}$

Das Einsetzen von Formula: P und Formula: Q in die allgemeine Gleichung von liefert:

$Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$	$Formula: -3=0,25\cdot(-4)^2 +b\cdot(-4) +c$ $Formula: -3=0,25\cdot(-4)^2 +b\cdot(-4) +c$
$Formula: \text{II}$ $Formula: \text{II}$	$Formula: 5=0,25\cdot4^2 + b\cdot 4 +c$ $Formula: 5=0,25\cdot4^2 + b\cdot 4 +c$

Mit dem Additionsverfahren folgt durch $Formula: \text{I} + \text{II}$ $Formula: \text{I} + \text{II}$ für Formula: c:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} -3+5&=&(4-4b+c)+(4+4b+c) \\[5pt] 2&=& 8+2c &\quad\scriptsize\mid\; -8 \\[5pt] -6 &=&2c &\quad\scriptsize\mid\; :2 \\[5pt] -3&=&c \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} -3+5&=&(4-4b+c)+(4+4b+c) \\[5pt] 2&=& 8+2c &\quad\scriptsize\mid\; -8 \\[5pt] -6 &=&2c &\quad\scriptsize\mid\; :2 \\[5pt] -3&=&c \end{array}$

Mit dem Einsetzen in $Formula: \text{II}$ $Formula: \text{II}$ folgt dann für Formula: b:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} 5&=&4+4b-3 &\quad\scriptsize\mid\; -1\\[5pt] 4&=&4b &\quad\scriptsize\mid\; :4\\[5pt] 1&=&b \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} 5&=&4+4b-3 &\quad\scriptsize\mid\; -1\\[5pt] 4&=&4b &\quad\scriptsize\mid\; :4\\[5pt] 1&=&b \end{array}$

Folglich hat die Parabel Formula: p die Gleichung Formula: y=0,25x^2+x-3.

Einzeichnen der Graphen

Koordinatensystem mit drei Graphen: eine Parabel und zwei Geraden.

B3.2

Koordinatensystem mit Parabel und eingezeichneten Geraden und Punkten.

B3.3

$Formula: \begin{array}{rlll} 0,25x^2 + x - 3&=& 0,5x+2 &\quad\scriptsize\mid\; -0,5x\\[5pt] 0,25x^2 + 0,5x - 3&=& 2 &\quad\scriptsize\mid\; -2\\[5pt] 0,25x^2 + 0,5x -5 &=& 0 &\quad\scriptsize\mid\; \cdot 4\\[5pt] x^2 + 2x -20 &=& 0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 0,25x^2 + x - 3&=& 0,5x+2 &\quad\scriptsize\mid\; -0,5x\\[5pt] 0,25x^2 + 0,5x - 3&=& 2 &\quad\scriptsize\mid\; -2\\[5pt] 0,25x^2 + 0,5x -5 &=& 0 &\quad\scriptsize\mid\; \cdot 4\\[5pt] x^2 + 2x -20 &=& 0 \end{array}$

Mit der Formula: abc -Formel folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} x_{1;2} &=& \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20)}}{2 \cdot 1} \\[5pt] x_{1;2} &=& \dfrac{-2 \pm \sqrt{84}}{2} \\[5pt] x_{1;2}&=& -1 \pm \sqrt{21} \\[5pt] x_1 &\approx& -5{,}58 \\[5pt] x_2 &\approx& 3{,}58 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_{1;2} &=& \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20)}}{2 \cdot 1} \\[5pt] x_{1;2} &=& \dfrac{-2 \pm \sqrt{84}}{2} \\[5pt] x_{1;2}&=& -1 \pm \sqrt{21} \\[5pt] x_1 &\approx& -5{,}58 \\[5pt] x_2 &\approx& 3{,}58 \end{array}$

Für $Formula: x \in \,]-5{,}58 ; 3{,}58\left[\right.$ $Formula: x \in \,]-5{,}58 ; 3{,}58\left[\right.$ gibt es rechtwinklige Dreiecke Formula: A_nB_nC_n.

B3.4

Für $Formula: x \in \,]-5{,}58 ; 3{,}58\left[\right.$ $Formula: x \in \,]-5{,}58 ; 3{,}58\left[\right.$ gilt:

$Formula: A=0,5 \cdot \left|\overline{A_nB_n}\right| \cdot \left|\overline{A_nC_n}\right|$ $Formula: A=0,5 \cdot \left|\overline{A_nB_n}\right| \cdot \left|\overline{A_nC_n}\right|$

In diesem Intervall liegen die Punkte Formula: A_n über den Punkten Formula: C_n. Somit gilt für die Streckenlänge $Formula: \overline{A_nC_n} (x):$ $Formula: \overline{A_nC_n} (x):$

$Formula: \begin{array}{rlll} \left|\overline{A_n C_n}\right|(x) &=& y_{A_n} - y_{C_n} \\[5pt] &=& \left(0{,}5x + 2 - (0{,}25x^2 + x - 3)\right) \mathrm{~LE} \\[5pt] &=& \left(-0{,}25x^2 - 0{,}5x + 5\right) \mathrm{~LE} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \left|\overline{A_n C_n}\right|(x) &=& y_{A_n} - y_{C_n} \\[5pt] &=& \left(0{,}5x + 2 - (0{,}25x^2 + x - 3)\right) \mathrm{~LE} \\[5pt] &=& \left(-0{,}25x^2 - 0{,}5x + 5\right) \mathrm{~LE} \end{array}$

Somit folgt für den Flächeninhalt Formula: A(x):

$Formula: \begin{array}{rlll} A(x)&=& 0,5 \cdot 4 \cdot\left(-0,25 x^2-0,5 x+5\right) \mathrm{~FE}\\[5pt] &=& \left(-0,5 x^2-x+10\right) \mathrm{~FE} \\[5pt] &=& \left(-0{,}5(x^2 + 2x) + 10\right) \mathrm{~FE} \\[5pt] &=& \left(-0{,}5(x + 1)^2 + 10{,}5\right) \mathrm{~FE} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A(x)&=& 0,5 \cdot 4 \cdot\left(-0,25 x^2-0,5 x+5\right) \mathrm{~FE}\\[5pt] &=& \left(-0,5 x^2-x+10\right) \mathrm{~FE} \\[5pt] &=& \left(-0{,}5(x^2 + 2x) + 10\right) \mathrm{~FE} \\[5pt] &=& \left(-0{,}5(x + 1)^2 + 10{,}5\right) \mathrm{~FE} \end{array}$

Der erste Summand ist für keinen Wert von Formula: x größer als Null. Somit gilt $Formula: A_{\max} = 10{,}5 \mathrm{~FE} \lt 11\mathrm{~FE}.$ $Formula: A_{\max} = 10{,}5 \mathrm{~FE} \lt 11\mathrm{~FE}.$ Folglich gibt es kein Dreieck mit einem Flächeninhalt von $Formula: 11 \mathrm{~FE}.$ $Formula: 11 \mathrm{~FE}.$

B3.5

Es gilt: $Formula: \sphericalangle A_3 C_3 B_3=\sphericalangle A_4 C_4 B_4=45^{\circ}.$ $Formula: \sphericalangle A_3 C_3 B_3=\sphericalangle A_4 C_4 B_4=45^{\circ}.$ Wegen der Innenwinkelsumme eines Dreiecks von $Formula: 180^\circ$ $Formula: 180^\circ$ muss somit auch der jeweils dritte Winkel der Dreiecke $Formula: 45^\circ$ $Formula: 45^\circ$ betragen. Somit sind die Dreiecke Formula: A_3 B_3 C_3 und Formula: A_4 B_4 C_4 auch gleichschenklig.

Für den Flächeninhalt der Dreiecke folgt dann jeweils:

$Formula: \begin{array}{rlll} A&=& (0,5 \cdot 4\cdot 4) \mathrm{~FE} \\[5pt] &=& 8 \mathrm{~FE} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A&=& (0,5 \cdot 4\cdot 4) \mathrm{~FE} \\[5pt] &=& 8 \mathrm{~FE} \end{array}$

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