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Aufgabe P1

An einer Messstation wurde über einen Zeitraum von $10$ Stunden die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft ermittelt. Dabei kann die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft zum Zeitpunkt $t$ (in Stunden nach Beginn der Messung) durch die Gleichung $n(t)= 3t^2-60t+500$ mit $t\in\mathbb{R};$ $0\leq t\leq 10,$ beschrieben werden.
a)
Bestimme die mittlere Änderungsrate der Anzahl der Pollen pro Kubikmeter und Stunde während der ersten beiden Stunden der Messung.
(3 BE)
b)
Ermittle den Zeitpunkt nach Beginn der Messung, zu dem die momentane zeitliche Änderung der Anzahl der Pollen pro Kubikmeter und Stunde $-30$ beträgt.
(2 BE)
#zentraleraufgabenpool#änderungsrate

Aufgabe P2

Eine Funktion $f$ ist durch $f(x)= 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x}-1$ mit $x\in \mathbb{R}$ gegeben.
a)
Ermittle die Nullstelle der Funktion $f$.
(2 BE)
b)
Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$ begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weise nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist.
(3 BE)
#tangente#nullstelle#gleichschenkligesdreieck#zentraleraufgabenpool

Aufgabe P3

a)
Gegeben ist die Funktion $p$ mit $p(x)= c\cdot x -x^2,$ $x\in \mathbb{R},$ $c> 0.$ Der Graph von $p$ schließt zwischen den beiden Nullstellen $x=0$ und $x=c$ mit der $x$-Achse ein Flächenstück ein.
Berechne den Wert von $c$ so, dass der Inhalt dieses Flächenstücks $\frac{9}{2}$ groß ist.
(3 BE)
b)
Gegebn sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $g.$
$f$ und $g$ haben für $x=a$ einen gemeinsamen Punkt und es gilt $\displaystyle\int_{a}^{b}\left(f'(x)-g'(x)\right)\;\mathrm dx = 0.$
Zeige damit, dass die Funktionen $f$ und $g$ auch für $x=b$ einen gemeinsamen Punkt haben.
(3 BE)
#integral

Aufgabe P4

Ein Glücksrad hat drei Sektoren, einen blauen, einen gelben und einen roten. Diese sind unterschiedlich groß. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim einmaligen Drehen der blaue Sektor getroffen wird, beträgt $p$.
a)
Interpretiere den Term $(1-p)^7$ im Sachzusammenhang.
(2 BE)
b)
Das Glücksrad wird zehnmal gedreht. Gib einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden kann, dass der blaue Sektor genau zweimal getroffen wird.
(1 BE)
c)
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim einmaligen Drehen der gelbe Sektor getroffen wird, beträgt $50\,\%.$ Felix hat $100$ Drehungen des Glücksrads beobachtet und festgestellt, dass bei diesen der Anteil der Drehungen bei denen der gelbe Sektor getroffen wurde, deutlich geringer als $50\,\%$ war. Er folgert: „Der Anteil der Drehungen, bei denen der gelbe Sektor getroffen wird, muss also bei den nächsten $100$ Drehungen deutlich größer als $50\,\%$ sein. “ Beurteile die Aussage von Felix.
(2 BE)
#zentraleraufgabenpool

Aufgabe P5

Gegeben ist die Ebene $E:\; 2x_1+x_2-2x_3 = -18.$
a)
Der Schnittpunkt von $E$ mit der $x_1$-Achse, der Schnittpunkt von $E$ mit der $x_2$-Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimme den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
(2 BE)
b)
Ermittle die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von $E$ als auch der Ortsvektor eines Punkts der Ebene $E$ ist.
(3 BE)
#normalenvektor#zentraleraufgabenpool#ebenengleichung
#hilfsmittelfreieaufgaben
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