Anwendungsorientierte Analysis 2

Für eine Gartenschau sollen verschiedene Pflanzenkübel mit einer Höhe von jeweils $2\,\text{m}$ aus Kunststoff gegossen werden. Die Abbildung unten zeigt beispielhaft den halben Querschnitt eines um $90^{\circ}$ gekippten Pflanzenkübels mit seinem Pflanzeinsatz. Der Kübel wird durch Rotation der grauen Fläche um die $x$ -Achse beschrieben.
Die Mantelfläche des Kübels wird hierbei mithilfe des Schaubilds $K_f$ der Funktion $f$ erzeugt (in der Abbildung gestrichelt). Analog wird die Mantelfläche des Pflanzeinsatzes mithilfe des Schaubilds $K_g$ der Funktion $g$ erzeugt (in der Abbildung gepunktet). Alle Angaben sind in Meter $(\text{m}).$

Abb. 1

3.1

Zur Modellierung eines bestimmten Pflanzenkübels werden die Funktionen $f$ und $g$ mit $f(x)= \sqrt{x+1};$ $0\leq x\leq 2$ und $g(x) = \sqrt{0,5\cdot x +0,5};$ $0,5\leq x\leq 2$ verwendet.
Dieser Pflanzenkübel wird aus Kunststoff der Dichte $0,9$ Tonnen pro Kubikmeter gefertigt.
Berechne die Masse dieses Pflanzenkübels in Tonnen.

(5 BE)

3.2

Für einen anderen Pflanzenkübel wird die Funktion $f$ mit

$f(x)= a\cdot x^3 +b\cdot x^2 +1;$ $0\leq x\leq 2$ verwendet.

Prüfe, ob es Werte für $a$ und $b$ gibt, sodass in einer Höhe von $2\,\text{m}$ der Radius des Pflanzenkübels $1,5\,\text{m}$ ist und der kleinste Radius in einer Höhe von $1\,\text{m}$ vorliegt.

(5 BE)

(10 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

3.1

$\blacktriangleright$ Masse des Pflanzenkübels berechnen

Das Volumen des Kübels ergibt sich aus dem Gesamtvolumen des Kübels, von dem das Volumen des Pflanzeinsatzes abgezogen wird.

1. Schritt: Volumen des gesamten Kübels berechnen

Das Gesamtvolumen des Kübels entspricht dem Volumen des Körpers, der durch Rotation des Graphen von $f$ um die $x$ -Achse im Bereich $0\leq x \leq 2$ entsteht. Mit der entsprechenden Formel erhältst du:

$V_f =\pi \cdot 4$

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2. Schritt: Volumen des Pflanzeinsatzes berechnen

Analog zu oben kannst du das Volumen des Körpers berechnen, der durch Rotation des Graphen von $g$ um die $x$ -Achse im Bereich $0,5\leq x\leq 2$ entsteht:

$V_g=\pi \cdot 1,6875$

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3. Schritt: Volumen des Kübels berechnen

$V_K = 2,3125\pi\,\left[\text{m}^3\right]$

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4. Schritt: Masse berechnen

Das Material des Kübels hat eine Dichte von $0,9$ Tonnen pro Kubikmeter. Die Masse ergibt sich also zu:

$m\approx 6,54\,\text{t}$

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Der Pflanzenkübel hat eine Masse von ca. $6,54$ Tonnen.

3.2

$\blacktriangleright$ Parameterwerte prüfen

Der Radius des Kübels in der Höhe $x$ wird durch den Funktionswert $f(x)$ beschrieben. Es gelten daher folgende Bedingungen:

Es soll $f(2)=1,5$ sein.
Das globale Minimum von $f$ im Intervall $[0;2]$ soll an der Stelle $x=1$ liegen. An dieser Stelle muss der Graph von $f$ also einen Tiefpunkt besitzen. Es muss daher gelten $f‘(1)=0$ und $f‘‘(1) \gt 0.$

Die erste Ableitung von $f$ lautet:

$f‘(x)= 3ax^2 +2bx$

Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& ...\\[10pt] \text{II}\quad& ... \\[5pt] \end{array}$

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Du kannst beispielsweise die erste Gleichung nach $b$ auflösen:

$b= \frac{1}{8} - 2a$

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Dies kannst du nun wiederum in die zweite Gleichung einsetzen.

$a= \frac{1}{4}$

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Dies kannst du nun wiederum einsetzen:

$b=-\frac{3}{8}$

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Für die Parameter $a= \frac{1}{4}$ und $b= -\frac{3}{8}$ gilt also $f(2)= 1,5$ und, dass $f$ an der Stelle $x=1$ ein lokales Extremum besitzt. Überprüfe noch, ob es sich dabei um ein Minimum handelt und ob es ein globales ist.

$f‘‘(1)=\frac{3}{4} \gt 0$

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An der Stelle $x=1$ besitzt $f$ also ein lokales Minimum. Berechne nun noch $f(1)$ und $f(0),$ um zu vergleichen, ob bei $x=1$ auch tatsächlich der kleinste Funktionswert liegt.

$\begin{array}[t]{rll} f(0) &= 1 \\[10pt] f(1) &= \frac{7}{8} \\[5pt] \end{array}$

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Der Radius in der Höhe $1\,\text{m}$ ist also der kleinste Radius des Pflanzkübels.
Mit den Parametern $a=\frac{1}{4}$ und $b= -\frac{3}{8}$ sind also die geforderten Bedingungen erfüllt.