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Anwendungsorientierte Analysis 2

Aufgaben
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3.
Für eine Gartenschau sollen verschiedene Pflanzenkübel mit einer Höhe von jeweils $2\,\text{m}$ aus Kunststoff gegossen werden. Die Abbildung unten zeigt beispielhaft den halben Querschnitt eines um $90^{\circ}$ gekippten Pflanzenkübels mit seinem Pflanzeinsatz. Der Kübel wird durch Rotation der grauen Fläche um die $x$-Achse beschrieben.
Die Mantelfläche des Kübels wird hierbei mithilfe des Schaubilds $K_f$ der Funktion $f$ erzeugt (in der Abbildung gestrichelt). Analog wird die Mantelfläche des Pflanzeinsatzes mithilfe des Schaubilds $K_g$ der Funktion $g$ erzeugt (in der Abbildung gepunktet). Alle Angaben sind in Meter $(\text{m}).$
3.1
Zur Modellierung eines bestimmten Pflanzenkübels werden die Funktionen $f$ und $g$ mit $f(x)= \sqrt{x+1};$ $0\leq x\leq 2$ und $g(x) = \sqrt{0,5\cdot x +0,5};$ $0,5\leq x\leq 2$ verwendet.
Dieser Pflanzenkübel wird aus Kunststoff der Dichte $0,9$ Tonnen pro Kubikmeter gefertigt.
Berechne die Masse dieses Pflanzenkübels in Tonnen.
(5 BE)
#dichte
3.2
Für einen anderen Pflanzenkübel wird die Funktion $f$ mit
$f(x)= a\cdot x^3 +b\cdot x^2 +1;$ $0\leq x\leq 2$ verwendet.
Prüfe, ob es Werte für $a$ und $b$ gibt, sodass in einer Höhe von $2\,\text{m}$ der Radius des Pflanzenkübels $1,5\,\text{m}$ ist und der kleinste Radius in einer Höhe von $1\,\text{m}$ vorliegt.
(5 BE)

(10 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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3.1
$\blacktriangleright$  Masse des Pflanzenkübels berechnenAnwendungsorientierte Analysis 2
Das Volumen des Kübels ergibt sich aus dem Gesamtvolumen des Kübels, von dem das Volumen des Pflanzeinsatzes abgezogen wird.
1. Schritt: Volumen des gesamten Kübels berechnen
Das Gesamtvolumen des Kübels entspricht dem Volumen des Körpers, der durch Rotation des Graphen von $f$ um die $x$-Achse im Bereich $0\leq x \leq 2$ entsteht. Mit der entsprechenden Formel erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} V_f &=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{2}(f(x))^2\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{2}(\sqrt{x+1})^2\;\mathrm dx\\[5pt] &=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{2}(x+1)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \pi \cdot \left[\frac{1}{2}x^2 +x\right]_0^2 \\[5pt] &=& \pi \cdot \left( \frac{1}{2}\cdot 2^2 +2 -\left(\frac{1}{2}\cdot 0^2 +0 \right) \right) \\[5pt] &=& \pi \cdot 4 \\[5pt] \end{array}$
$ V_f =\pi \cdot 4 $
2. Schritt: Volumen des Pflanzeinsatzes berechnen
Analog zu oben kannst du das Volumen des Körpers berechnen, der durch Rotation des Graphen von $g$ um die $x$-Achse im Bereich $0,5\leq x\leq 2$ entsteht:
$\begin{array}[t]{rll} V_g&=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0,5}^{2}(g(x))^2\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0,5}^{2}\sqrt{0,5\cdot x +0,5}^2\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0,5}^{2}\left(0,5\cdot x +0,5\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \pi \cdot \left[ \frac{1}{4}\cdot x^2 +0,5x \right]_{0,5}^2\\[5pt] &=& \pi \cdot \left( \frac{1}{4}\cdot 2^2 +0,5\cdot 2 - \left(\frac{1}{4}\cdot 0,5^2 +0,5\cdot 0,5 \right) \right)\\[5pt] &=& \pi \cdot 1,6875 \\[5pt] \end{array}$
$ V_g=\pi \cdot 1,6875 $
3. Schritt: Volumen des Kübels berechnen
$V_K = V_f -V_g = 4\pi- 1,6875\pi = 2,3125\pi\,\left[\text{m}^3\right] $
$ V_K = 2,3125\pi\,\left[\text{m}^3\right]$
4. Schritt: Masse berechnen
Das Material des Kübels hat eine Dichte von $0,9$ Tonnen pro Kubikmeter. Die Masse ergibt sich also zu:
$m = 0,9\,\frac{\text{t}}{\text{m}^3} \cdot V_K = 0,9\,\frac{\text{t}}{\text{m}^3} \cdot 2,3125\pi\,\text{m}^3 \approx 6,54\,\text{t} $
$ m\approx 6,54\,\text{t} $
Der Pflanzenkübel hat eine Masse von ca. $6,54$ Tonnen.
#rotationsvolumen#integral
3.2
$\blacktriangleright$  Parameterwerte prüfen
Der Radius des Kübels in der Höhe $x$ wird durch den Funktionswert $f(x)$ beschrieben. Es gelten daher folgende Bedingungen:
  • Es soll $f(2)=1,5$ sein.
  • Das globale Minimum von $f$ im Intervall $[0;2]$ soll an der Stelle $x=1$ liegen. An dieser Stelle muss der Graph von $f$ also einen Tiefpunkt besitzen. Es muss daher gelten $f'(1)=0$ und $f''(1) > 0.$
Die erste Ableitung von $f$ lautet:
$f'(x)= 3ax^2 +2bx $
Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 1,5&=& f(2) \\[5pt] & 1,5&=& a\cdot 2^3 + b\cdot 2^2 +1 \\[5pt] & 1,5&=& 8a + 4b + 1 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] & 0,5&=& 8a + 4b \\[10pt] \text{II}\quad& 0 &=& f'(1) \\[5pt] & 0 &=& 3a\cdot 1^2 +2b\cdot 1 \\[5pt] & 0 &=& 3a+2b \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& …\\[10pt] \text{II}\quad& … \\[5pt] \end{array}$
Du kannst beispielsweise die erste Gleichung nach $b$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}\quad & 8a + 4b &=& 0,5 &\quad \scriptsize \mid\;-8a \\[5pt] & 4b &=& 0,5 -8a &\quad \scriptsize \mid\;:4 \\[5pt] & b&=& \frac{1}{8} - 2a \end{array}$
$ b= \frac{1}{8} - 2a $
Dies kannst du nun wiederum in die zweite Gleichung einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad & 0 &=& 3a+2b &\quad \scriptsize \mid\; b= \frac{1}{8} - 2a \\[5pt] & 0 &=& 3a + 2\cdot \left( \frac{1}{8} - 2a \right) \\[5pt] & 0 &=& 3a + \frac{1}{4} - 4a \\[5pt] & 0 &=& -a+\frac{1}{4} &\quad \scriptsize \mid\;+a\\[5pt] & a&=& \frac{1}{4} \end{array}$
$ a= \frac{1}{4} $
Dies kannst du nun wiederum einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} b &=& \frac{1}{8} - 2a &\quad \scriptsize \mid\;a=\frac{1}{4} \\[5pt] &=&\frac{1}{8} -2\cdot \frac{1}{4} \\[5pt] &=& -\frac{3}{8} \end{array}$
$ b=-\frac{3}{8} $
Für die Parameter $a= \frac{1}{4}$ und $b= -\frac{3}{8}$ gilt also $f(2)= 1,5$ und, dass $f$ an der Stelle $x=1$ ein lokales Extremum besitzt. Überprüfe noch, ob es sich dabei um ein Minimum handelt und ob es ein globales ist.
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=&\frac{1}{4} \cdot x^3- \frac{3}{8} \cdot x^2 +1 \\[5pt] f'(x) &=& \frac{3}{4}\cdot x^2 -\frac{3}{4}\cdot x \\[5pt] f''(x)&=& \frac{3}{2}\cdot x -\frac{3}{4} \\[10pt] f''(1)&=& \frac{3}{2}\cdot 1 -\frac{3}{4} \\[5pt] &=& \frac{3}{4} > 0 \\[5pt] \end{array}$
$ f''(1)=\frac{3}{4} > 0 $
An der Stelle $x=1$ besitzt $f$ also ein lokales Minimum. Berechne nun noch $f(1)$ und $f(0),$ um zu vergleichen, ob bei $x=1$ auch tatsächlich der kleinste Funktionswert liegt.
$\begin{array}[t]{rll} f(0) &=& \frac{1}{4} \cdot 0^3- \frac{3}{8} \cdot 0^2 +1 \\[5pt] &=& 1 \\[10pt] f(1) &=& \frac{1}{4} \cdot 1^3- \frac{3}{8} \cdot 1^2 +1 \\[5pt] &=& \frac{7}{8} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(0) &= 1 \\[10pt] f(1) &= \frac{7}{8} \\[5pt] \end{array}$
Der Radius in der Höhe $1\,\text{m}$ ist also der kleinste Radius des Pflanzkübels.
Mit den Parametern $a=\frac{1}{4}$ und $b= -\frac{3}{8}$ sind also die geforderten Bedingungen erfüllt.
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