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Parameterwerte prüfen
Der Radius des Kübels in der Höhe $x$ wird durch den Funktionswert $f(x)$ beschrieben. Es gelten daher folgende Bedingungen:
- Es soll $f(2)=1,5$ sein.
- Das globale Minimum von $f$ im Intervall $[0;2]$ soll an der Stelle $x=1$ liegen. An dieser Stelle muss der Graph von $f$ also einen Tiefpunkt besitzen. Es muss daher gelten $f'(1)=0$ und $f''(1) > 0.$
Die erste Ableitung von $f$ lautet:
$f'(x)= 3ax^2 +2bx $
Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll}
\text{I}\quad& 1,5&=& f(2) \\[5pt]
& 1,5&=& a\cdot 2^3 + b\cdot 2^2 +1 \\[5pt]
& 1,5&=& 8a + 4b + 1 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt]
& 0,5&=& 8a + 4b \\[10pt]
\text{II}\quad& 0 &=& f'(1) \\[5pt]
& 0 &=& 3a\cdot 1^2 +2b\cdot 1 \\[5pt]
& 0 &=& 3a+2b \\[5pt]
\end{array}$
$\begin{array}{lrll}
\text{I}\quad& …\\[10pt]
\text{II}\quad& … \\[5pt]
\end{array}$
$\begin{array}{lrll}
\text{I}\quad& 1,5&=& f(2) \\[5pt]
& 1,5&=& a\cdot 2^3 + b\cdot 2^2 +1 \\[5pt]
& 1,5&=& 8a + 4b + 1 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt]
& 0,5&=& 8a + 4b \\[10pt]
\text{II}\quad& 0 &=& f'(1) \\[5pt]
& 0 &=& 3a\cdot 1^2 +2b\cdot 1 \\[5pt]
& 0 &=& 3a+2b \\[5pt]
\end{array}$
Du kannst beispielsweise die erste Gleichung nach $b$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll}
\text{I}\quad & 8a + 4b &=& 0,5 &\quad \scriptsize \mid\;-8a \\[5pt]
& 4b &=& 0,5 -8a &\quad \scriptsize \mid\;:4 \\[5pt]
& b&=& \frac{1}{8} - 2a
\end{array}$
$ b= \frac{1}{8} - 2a $
$\begin{array}[t]{rll}
\text{I}\quad & 8a + 4b &=& 0,5 &\quad \scriptsize \mid\;-8a \\[5pt]
& 4b &=& 0,5 -8a &\quad \scriptsize \mid\;:4 \\[5pt]
& b&=& \frac{1}{8} - 2a
\end{array}$
Dies kannst du nun wiederum in die zweite Gleichung einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll}
\text{II}\quad & 0 &=& 3a+2b &\quad \scriptsize \mid\; b= \frac{1}{8} - 2a \\[5pt]
& 0 &=& 3a + 2\cdot \left( \frac{1}{8} - 2a \right) \\[5pt]
& 0 &=& 3a + \frac{1}{4} - 4a \\[5pt]
& 0 &=& -a+\frac{1}{4} &\quad \scriptsize \mid\;+a\\[5pt]
& a&=& \frac{1}{4}
\end{array}$
$ a= \frac{1}{4} $
$\begin{array}[t]{rll}
\text{II}\quad & 0 &=& 3a+2b &\quad \scriptsize \mid\; b= \frac{1}{8} - 2a \\[5pt]
& 0 &=& 3a + 2\cdot \left( \frac{1}{8} - 2a \right) \\[5pt]
& 0 &=& 3a + \frac{1}{4} - 4a \\[5pt]
& 0 &=& -a+\frac{1}{4} &\quad \scriptsize \mid\;+a\\[5pt]
& a&=& \frac{1}{4}
\end{array}$
Dies kannst du nun wiederum einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll}
b &=& \frac{1}{8} - 2a &\quad \scriptsize \mid\;a=\frac{1}{4} \\[5pt]
&=&\frac{1}{8} -2\cdot \frac{1}{4} \\[5pt]
&=& -\frac{3}{8}
\end{array}$
$ b=-\frac{3}{8} $
$\begin{array}[t]{rll}
b &=& \frac{1}{8} - 2a &\quad \scriptsize \mid\;a=\frac{1}{4} \\[5pt]
&=&\frac{1}{8} -2\cdot \frac{1}{4} \\[5pt]
&=& -\frac{3}{8}
\end{array}$
Für die Parameter $a= \frac{1}{4}$ und $b= -\frac{3}{8}$ gilt also $f(2)= 1,5$ und, dass $f$ an der Stelle $x=1$ ein lokales Extremum besitzt.
Überprüfe noch, ob es sich dabei um ein Minimum handelt und ob es ein globales ist.
$\begin{array}[t]{rll}
f(x) &=&\frac{1}{4} \cdot x^3- \frac{3}{8} \cdot x^2 +1 \\[5pt]
f'(x) &=& \frac{3}{4}\cdot x^2 -\frac{3}{4}\cdot x \\[5pt]
f''(x)&=& \frac{3}{2}\cdot x -\frac{3}{4} \\[10pt]
f''(1)&=& \frac{3}{2}\cdot 1 -\frac{3}{4} \\[5pt]
&=& \frac{3}{4} > 0 \\[5pt]
\end{array}$
$ f''(1)=\frac{3}{4} > 0 $
$\begin{array}[t]{rll}
f(x) &=&\frac{1}{4} \cdot x^3- \frac{3}{8} \cdot x^2 +1 \\[5pt]
f'(x) &=& \frac{3}{4}\cdot x^2 -\frac{3}{4}\cdot x \\[5pt]
f''(x)&=& \frac{3}{2}\cdot x -\frac{3}{4} \\[10pt]
f''(1)&=& \frac{3}{2}\cdot 1 -\frac{3}{4} \\[5pt]
&=& \frac{3}{4} > 0 \\[5pt]
\end{array}$
An der Stelle $x=1$ besitzt $f$ also ein lokales Minimum.
Berechne nun noch $f(1)$ und $f(0),$ um zu vergleichen, ob bei $x=1$ auch tatsächlich der kleinste Funktionswert liegt.
$\begin{array}[t]{rll}
f(0) &=& \frac{1}{4} \cdot 0^3- \frac{3}{8} \cdot 0^2 +1 \\[5pt]
&=& 1 \\[10pt]
f(1) &=& \frac{1}{4} \cdot 1^3- \frac{3}{8} \cdot 1^2 +1 \\[5pt]
&=& \frac{7}{8} \\[5pt]
\end{array}$
$\begin{array}[t]{rll}
f(0) &= 1 \\[10pt]
f(1) &= \frac{7}{8} \\[5pt]
\end{array}$
$\begin{array}[t]{rll}
f(0) &=& \frac{1}{4} \cdot 0^3- \frac{3}{8} \cdot 0^2 +1 \\[5pt]
&=& 1 \\[10pt]
f(1) &=& \frac{1}{4} \cdot 1^3- \frac{3}{8} \cdot 1^2 +1 \\[5pt]
&=& \frac{7}{8} \\[5pt]
\end{array}$
Der Radius in der Höhe $1\,\text{m}$ ist also der kleinste Radius des Pflanzkübels.
Mit den Parametern $a=\frac{1}{4}$ und $b= -\frac{3}{8}$ sind also die geforderten Bedingungen erfüllt.
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