Anwendungsorientierte Analysis 1

Bei der Untersuchung einer Gletscherspalte eines Alpengletschers wurden im Jahr 2012 im Gletschereis nur wenige Zentimeter über dem Grund des Gletschers Ausrüstungsteile gefunden, die im Jahr 1950 von Bergsteigern im Gletschereis zurückgelassen wurden.
Im Laufe der Zeit hatten sich die Ausrüstungsteile mit dem Gletscher talabwärts bis zur Fundstelle bewegt. Durch eine dort in den Gesteinsboden verankerte Eisenstange wurde der Fundort der Ausrüstungsteile markiert.
Der Ort, an dem der Gletscher talabwärts endet, lag 2012 noch 7 Kilometer $(\text{km})$ vom Fundort der Ausrüstungsteile entfernt. Aufgrund der Klimaerwärmung der letzten Jahrzehnte zieht sich das Gletscherende zurück. Es bewegt sich um durchschnittlich 200 Meter $(\text{m})$ pro Jahr in Richtung des Fundorts.

2.1

Betrachtet wird der Abstand des Gletscherendes zum Fundort der Ausrüstung.

Begründe, dass dieser Abstand bezogen auf das Jahr 2012 durch die Gerade mit der Gleichung $y=-0,2 \cdot x +7$ beschrieben werden kann.

Gib die Bedeutung von $x$ im Sachkontext an.

2.2

Die Funktion $v$ mit

$v(t)$ $=7,56 \cdot 10^{-6} \cdot t^2 -2,27 \cdot 10^{-4} \cdot t +0,11;$ $t\geq 0$ ,

modelliert die Geschwindigkeit (in $\text{km}$ pro Jahr) des Gletschers bei seiner Bewegung talabwärts.
Hier entspricht t=0 dem Jahr 1950.
Das Schaubild von $v$ ist in der Abbildung dargestellt.

Graph zeigt die Geschwindigkeit v(t) in km/Jahr über die Zeit t in Jahren.

2.2.1

Bestimme $v(71)$ und interpretiere das Ergebnis im Sachkontext.

2.2.2

Prüfe, ob mit Hilfe von $v$ belegbar ist, dass der Gletscher sich von 1950 bis 2021 um durchschnittlich etwa $115\,\text{m}$ pro Jahr talwärts bewegt hat.

2.2.3

Bei der Bergung der Ausrüstungsteile wurden kleine Ausrüstungsteile übersehen, sodass diese im Eis zurückblieben.
Formuliere eine Frage im Sachkontext, die durch das Lösen der Gleichung

$\displaystyle\int_{62}^{62+x}v(t)\;\mathrm dt = -0,2 \cdot x +7$ mit $x \gt 0$ beantwortet werden kann.

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