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Aufgaben
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1.
In einer Simulation wird vereinfachend davon ausgegangen, dass die Heimspiele einer Fußballmannschaft regelmäßig von jeweils genau $50.000$ Zuschauern besucht werden. Die Zuschauer reisen ausschließelich mit dem Auto $(A),$ mit dem Bus bzw. der Bahn $(B)$ oder zu Fuß bzw. mit dem Fahrrad $(F)$ an. Mit einem Auto können mehrere Zuschauer befördert werden. Die Zuschauer bilden also hinsichtlich der Anreise drei verschiedene Typen.
In der Simulation gilt das folgende Wechselverhalten der Zuschauertypen von einem Spieltag zum nächsten:
  • Von $A$ wechseln $25\,\%$ zu $B.$
  • Von $B$ wechseln $5\,\%$ zu $F$ und $20\,\%$ zu $A.$
  • Von $F$ wechseln jeweils $10\,\%$ zu $A$ und zu $B.$
Die restlichen Zuschauer wechseln nicht.
1.1
Stelle dieses Wechselverhalten in einem Übergangsdiagramm dar.
Ermittle die jeweilige Anzahl der Zuschauertypen am zweiten Heimspieltag, wenn man bei der simulation annimmt, dass am ersten Heimspieltag alle Zuschauer zu Fuß bzw. mit dem Fahrrad kommen.
(5 BE)
#übergangsgraph
1.2
Bestimme die prozenzualen Anteile der verschiedenen Zuschauertypen, sodass sich diese Anteile an zwei aufeinanderfolgenden Heimspieltagen nicht verändern.
(4 BE)
1.3
Nun geht man in der Simulation davon aus, dass am zweiten Heimspieltag $27.000$ Zuschauer vom Typ $B$ und $3.000$ Zuschauer vom Typ $F$ kommen. Pro Auto reisen zudem immer durchschnittlich $2,5$ Zuschauer an.
1.3.1
Zeige, dass hierbei $8.000$ Parkplätze am dritten Heimspieltag nicht ausreichen würden.
(3 BE)
1.3.2
In der Simulation wird nun das Wechselverhalten der Autofahrer nach dem zweiten Heimspieltag so angepasst, dass die $8.000$ Parkplätze am dritten Heimspieltag genau ausreichen. Das Wechselverhalten der anderen Zuschauertypen $B$ und $F$ ändert sich dabei nicht.
Ermittle den veränderten Prozentsatz von Zuschauern vom Typ $A,$ die dann wieder mit dem Auto kommen.
(3 BE)

(15 BE)
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1.1
$\blacktriangleright$  Übergangsgraphen erstellenMatrizen
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Abb. 1: Übergangsgraph
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Abb. 1: Übergangsgraph
$\blacktriangleright$  Anzahl der Typen berechnen
Der Vektor $\overrightarrow{x}_i = \pmatrix{a\\b\\f}$ beschreibe die Anzahlen der entsprechenden Zuschauertypen beim $i$-ten Heimspieltag. Das Wechselverhalten der Zuschauertypen kann mit folgender Übergangsmatrix beschrieben werden:
von:$A$$B$$F$
$A$$\begin{pmatrix}0,75&0,2&0,1\\[2pt]0,25&0,75&0,1\\[2pt]0&0,05&0,8\end{pmatrix}$
nach:$B$$M=$
$F$
$ M = … $

Es ist $\overrightarrow{x}_1 = \pmatrix{0\\0\\50.000}.$ Gesucht ist $\overrightarrow{x}_2:$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x}_2&=& M \cdot \overrightarrow{x}_1 \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0,75&0,2&0,1\\[2pt]0,25&0,75&0,1\\[2pt]0&0,05&0,8\end{pmatrix}\cdot \pmatrix{0\\0\\50.000}\\[5pt] &=& \pmatrix{5.000\\5.000\\40.000} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{x}_2= \pmatrix{5.000\\5.000\\40.000}$
Wenn am ersten Heimspieltag alle Zuschauer zu Fuß bzw. mit dem Fahrrad kommen, dann kommen am zweiten Heimspieltag jeweils $5.000$ Zuschauer mit dem Auto und mit Bus/Bahn und $40.000$ weiterhin zu Fuß bzw. mit dem Fahrrad.
1.2
$\blacktriangleright$  Prozentuale Anteile bestimmen
Betrachte $\overrightarrow{x} = \pmatrix{a\\b\\f}$ als den gesuchten Verteilungsvektor. $a,$ $b$ und $f$ beschreiben die jeweiligen prozentualen Anteile der einzelnen Zuschauertypen. Es muss folgendes gelten:
  1. $a+b+f = 1$
  2. $M\cdot \overrightarrow{x} = \overrightarrow{x}$
Aus 1. folgt:
$a= 1-b-f$
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} M\cdot \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{x} \\[5pt] \begin{pmatrix}0,75&0,2&0,1\\[2pt]0,25&0,75&0,1\\[2pt]0&0,05&0,8\end{pmatrix}\cdot\pmatrix{1-b-f\\b\\f} &=& \pmatrix{1-b-f\\b\\f} \\[5pt] \pmatrix{0,75\cdot (1-b-f) + 0,2\cdot b +0,1\cdot f \\ 0,25\cdot (1-b-f) + 0,75\cdot b +0,1\cdot f \\ 0\cdot (1-b-f) + 0,05\cdot b + 0,8\cdot f }&=& \pmatrix{1-b-f\\b\\f} \\[5pt] \pmatrix{0,75-0,55b-0,65f \\ 0,25+ 0,5\cdot b -0,15\cdot f \\ 0,05\cdot b + 0,8\cdot f }&=& \pmatrix{1-b-f\\b\\f} &\quad \scriptsize \mid \; -\pmatrix{1-b-f\\b\\f} \\[5pt] \pmatrix{-0,25+0,45b+0,35f \\ 0,25- 0,5\cdot b -0,15\cdot f \\ 0,05\cdot b - 0,2\cdot f }&=& \pmatrix{0\\0\\0} \\[5pt] \end{array}$
$ …= \pmatrix{0\\0\\0} $
Dies entspricht folgendem Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&0&=& -0,25+0,45b+0,35f \\ \text{II}\quad&0&=& 0,25- 0,5\cdot b -0,15\cdot f \\ \text{III}\quad&0&=& 0,05\cdot b - 0,2\cdot f &\quad \scriptsize\mid\; +0,2f \\[5pt] &0,2f&=& 0,05\cdot b &\quad \scriptsize\mid\; :0,2 \\[5pt] \text{III'}\quad&f&=& 0,25\cdot b \\[5pt] \end{array}$
$ \text{III'}\; f= 0,25\cdot b $
Die umgeformte dritte Gleichung kannst du nun beispielsweise in die erste Gleichung einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{III'}\to \text{I}\quad& 0 &=& -0,25+0,45b+0,35f &\quad \scriptsize \mid\;f=0,25\cdot b \\[5pt] & 0 &=& -0,25+0,45b+0,35\cdot 0,25\cdot b \\[5pt] & 0 &=& -0,25 +0,5375b &\quad \scriptsize \mid\; +0,25\\[5pt] & 0,25 &=& 0,5375b &\quad \scriptsize \mid\; :0,5375\\[5pt] & \frac{20}{43} &=& b \end{array}$
$ b=\frac{20}{43} $
Einsetzen in $\text{III'}$ ergibt:
$f = 0,25\cdot b = 0,25\cdot \frac{20}{43} = \frac{5}{43} $
Überprüfe nun, ob die zweite Gleichung auch durch das Ergebnis erfüllt wird:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad & 0 &=& 0,25- 0,5\cdot b -0,15\cdot f &\quad \scriptsize \mid\; b=\frac{20}{43};f =\frac{5}{43}\\[5pt] & 0 &=& 0,25- 0,5\cdot \frac{20}{43} -0,15\cdot \frac{5}{43} \\[5pt] & 0 &=& 0 \end{array}$
$ 0=0 $
$b= \frac{20}{43}$ und $f= \frac{5}{43}$ erfüllen also das Gleichungssystem. Damit ergibt sich:
$a= 1-b-f = 1-\frac{20}{43} - \frac{5}{43} = \frac{18}{43}$
$ a=\frac{18}{43} $
Es ist also
$\overrightarrow{x} = \pmatrix{a\\b\\f} = \pmatrix{\frac{18}{43} \\ \frac{20}{43}\\\frac{5}{43}} \approx \pmatrix{0,4186 \\ 0,4651 \\0,1163}$
$ \overrightarrow{x} \approx \pmatrix{0,4186 \\ 0,4651 \\0,1163} $
Damit sich an zwei aufeinander folgenden Heimspieltagen die Verteilung der Zuschauertypen nicht ändert, müssen ca. $41,86\,\%$ der Zuschauer mit dem Auto kommen, ca. $46,51\,\%$ mit Bus bzw. Bahn kommen und ca. $11,63\,\%$ mit dem Fahrrad bzw. zu Fuß kommen.
#gleichungssystem
1.3.1
$\blacktriangleright$  Anzahl der Parlplätze zeigen
Es ist nun $\overrightarrow{x}_2 = \pmatrix{20.000 \\ 27.000 \\ 3.000}.$ Gesucht ist $\overrightarrow{x}_3:$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x}_3 &=& M \cdot \overrightarrow{x}_2 \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0,75&0,2&0,1\\[2pt]0,25&0,75&0,1\\[2pt]0&0,05&0,8\end{pmatrix} \cdot \pmatrix{20.000 \\ 27.000 \\ 3.000} \\[5pt] &=& \pmatrix{20.700\\25.550\\ 3.750}\\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{x}_3=\pmatrix{20.700\\25.550\\ 3.750} $
Am dritten Heimspieltag würden dann also $27.000$ Zuschauer mit dem Auto anreisen.
$20.700 : 2,5 = 8.280 $
Dies entspräche $8.280$ Autos, sodass $8.000$ Parkplätze am dritten Heimspieltag nicht ausreichen würden.
1.3.2
$\blacktriangleright$  Veränderten Prozentsatz berechnen
Die veränderte Übergangsmatrix ist:
$M_a = \pmatrix{a& 0,2& 0,1 \\ b& 0,75 & 0,1 \\ f & 0,05 & 0,8}$
Es ist $\overrightarrow{x}_2 = \pmatrix{20.000\\27.000 \\ 3.000}.$ Gesucht ist $a,$ sodass der erste Eintrag von $\overrightarrow{x}_3 = 8.000\cdot 2,5 = 20.000.$
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{a& 0,2& 0,1 \\ b& 0,75 & 0,1 \\ f & 0,05 & 0,8} \cdot \pmatrix{20.000\\27.000\\3.000}&=& \pmatrix{20.000 \\ x \\ y } \\[5pt] \end{array}$
$… = \pmatrix{20.000 \\ x \\ y } $
Aus der obersten Zeile erhältst du folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} 20.000\cdot a +0,2\cdot 27.000 + 0,1\cdot 3.000 &=& 20.000 \\[5pt] 20.000\cdot a +5.700 &=& 20.000&\quad \scriptsize \mid\; -5.700 \\[5pt] 20.000 a&=& 14.300 &\quad \scriptsize \mid\; :20.000\\[5pt] a&=& 0,715 \end{array}$
$ a=0,715 $
Nach dem zweiten Heimspieltag kommen noch $71,5\,\%$ der Zuschauer vom Typ $A$ wieder mit dem Auto.
Bildnachweise [nach oben]
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© – SchulLV.
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