Vektorgeometrie 2

Die Punkte $A(2\mid 2\mid 4),$ $B(3\mid 2\mid 2)$ und $C(4\mid 5\mid 3)$ sind die Eckpunkte eines über dem Boden ( $x_1 x_2$ -Ebene) aufgespannten ebenen Sonnensegels.

Zur Befestigung dient unter anderem ein Pfosten, der sich durch die Strecke

$\vec{x}=\begin{pmatrix} 4,5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}+t \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix};$ $0 \leq t \leq 1$

beschreiben lässt. Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.

Sonnensegel - Abi Berufliches Gymnasium 2023 Baden-Württemberg

2.1

Gib den kleinsten Abstand des Sonnensegels zum Boden an.
Zeige, dass das Sonnensegel in der Ebene mit der Gleichung $2 x_1-x_2+x_3=6$ liegt.

2.2

Der für die Herstellung des Sonnensegels benötigte Stoff kostet 21 € pro Quadratmeter. Dabei fallen zum benötigten Flächeninhalt zusätzlich $10\,\%$ Verschnitt an.
Berechne die Kosten.

2.3

Der Punkt $C$ ist mit einem Seil an dem Pfosten befestigt. Beurteile, ob ein Seil der Länge $1,85\,\text{m}$ dafür ausreichend ist.

2.4

Robert blickt von Position $P(1\mid 2\mid 1,5)$ aus in Richtung Sonne.
Das Sonnenlicht fällt aus der Richtung $\begin{pmatrix}-4 \\ -2 \\ -3\end{pmatrix}$ ein.
Untersuche, ob Robert vom Sonnenlicht geblendet wird.

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2.1

Kleinsten Abstand zum Boden angeben

Da der Boden durch die $x_1x_2$ -Ebene beschrieben wird, ist der Punkt mit dem kleinsten Abstand zum Boden der Punkt mit der betragsmäßig kleinsten $x_3$ -Koordinate.

Dies ist der Punkt $B.$ Der kleinste Abstand des Sonnensegels zum Boden beträgt also zwei Meter.

Lage des Sonnensegels in der Ebene zeigen

Punktprobe mit $A(2\mid 2\mid 4):$

$2\cdot 2-2+4 = 6$

Die Koordinaten von $A$ erfüllen die Ebenengleichung $2x_1-x_2+x_3=6.$ Der Eckpunkt $A$ liegt also in der Ebene.

Punktprobe mit $B(3\mid 2\mid 2):$

$2\cdot 3-2+2 = 6$

Die Koordinaten von $B$ erfüllen die Ebenengleichung $2x_1-x_2+x_3=6.$ Der Eckpunkt $B$ liegt also in der Ebene.

Punktprobe mit $C(4\mid 5\mid 3):$

$2\cdot 4-5+3 = 6$

Die Koordinaten von $C$ erfüllen die Ebenengleichung $2x_1-x_2+x_3=6.$ Der Eckpunkt $C$ liegt also in der Ebene.

Alle drei Eckpunkte des Sonnensegels liegen in der Ebene mit der Ebenengleichung $2x_1-x_2+x_3=6.$ Somit liegt das komplette Sonnensegel in dieser Ebene.

2.2

Das Sonnensegel hat die Form eines Dreiecks, das von den Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ aufgespannt wird.
Mit dem Vektorprodukt kann der Flächeninhalt berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} A_{ABC} &=&\frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|\pmatrix{1\\0\\-2}\times\pmatrix{2\\3\\-1} \right|\\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|\pmatrix{0\cdot (-1) - (-2)\cdot 3 \\ -2\cdot 2 - 1\cdot (-1) \\1\cdot 3-0\cdot 2} \right|\\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|\pmatrix{6 \\ -3 \\ 3} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \sqrt{6^2 +(-3)^2 +3^2}\\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \sqrt{54}\\[5pt] \end{array}$

Für die benötigte Menge Stoff müssen zusätzlich $10\,\%$ Verschnitt einberechnet werden:

$\frac{1}{2}\cdot \sqrt{54} \cdot 1,1\,[\text{m}^2]$

Für die Kosten des Sonnensegels folgt:

$\frac{1}{2}\cdot \sqrt{54} \cdot 1,1\,\text{m}^2 \cdot 21\,\frac{€}{\text{m}^2} \approx 84,87\,€$

2.3

1. Schritt: Funktion für die Seillänge aufstellen

Die Länge des Seils entspricht dem Abstand von $C$ zum Befestigungspunkt am Pfosten.
Die Punkte auf der Strecke, die den Pfosten beschreibt, haben die Koordinaten $P_t(4,5 +t \mid 6+t\mid 5t)$ mit $0\leq t\leq 1.$
Mit Hilfe der Abstandsformel zweier Punkte lässt sich daraus eine Funktion in Abhängigkeit von $t$ aufstellen, die die Seillänge beschreibt:

Rechenweg anzeigen

$s(t)=\sqrt{27,25t^2 -27t + 10}$

2. Schritt: Seillänge überprüfen

Es muss überprüft werden, ob es ein $0\leq t\leq 1$ gibt, für das $s(t)\leq 1,85$ ist:

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} s(t) &= & 1,85 \\[5pt] ... \\[5pt] t_1 &\approx& 0,56\\[5pt] t_2 &\approx& 0,43 \end{array}$

Da für beide Lösungen gilt $0\leq t_{1,2}\leq 1$ reicht eine Seillänge von $1,85\,\text{m}$ aus.

2.4

Robert wird nicht geblendet, wenn die Sonnenstrahlen, die in seine Richtung scheinen, vom Sonnensegel unterbrochen werden.

1. Schritt: Geradengleichung für die Sonnenstrahlen aufstellen

Die Sonnenstrahlen, die in Roberts Richtung scheinen, können durch eine Gerade beschrieben werden. Als Ortspunkt wird Roberts Position $P$ verwendet, als Richtungsvektor der Vektor der Sonnenstrahlen:

$g: \; \overrightarrow{x} = \pmatrix{1\\2\\1,5} + s\cdot \pmatrix{-4\\-2\\-3};$ $s\in \mathbb{R}$

2. Schritt: Gleichung für das Sonnensegel aufstellen

Das Dreieck $ABC$ kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OA} + p\cdot \overrightarrow{AB} + r\cdot \overrightarrow{AC}\\[5pt] &=& \pmatrix{2\\2\\4} + p\cdot \pmatrix{1\\0\\-2} + r\cdot \pmatrix{2\\3\\-1} \end{array}$

Dabei gilt $0\leq p,r\leq 1$ und $0\leq p+r \leq 1.$

3. Schritt: Schnittpunkt von Sonnenstrahlen und Sonnensegel überprüfen

Gleichsetzen:

Rechenweg anzeigen

$\scriptsize \pmatrix{-1\\0\\-2,5} = p\cdot \pmatrix{1\\0\\-2} + r\cdot \pmatrix{2\\3\\-1} - s\cdot \pmatrix{-4\\-2\\-3}$

Daraus ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& -1 &=& p+2r+4s &\quad \scriptsize\mid\;\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad& 0 &=& 3r+2s &\quad \\ \text{III}\quad& -2,5 &=& -2p-r+3s &\quad \\ \end{array}$

Aus $\text{II}$ folgt $s = -1,5r.$ Einsetzen in die anderen beiden Gleichungen:

$\(\begin{array}{lrll} \text{I$

Aus $\(\text{I$ folgt $p= 4r-1.$ Einsetzen in $\(\text{II$

$\begin{array}[t]{rll} -2,5 &=& -2\cdot (4r-1)-5,5r \\[5pt] -2,5 &=& -13,5r +2 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] -4,5 &=& -13,5r &\quad \scriptsize \mid\; :(-13,5)\\[5pt] \frac{1}{3} &=& r \\[5pt] r &=& \frac{1}{3} \end{array}$

Damit folgt für $p:$

$p =4\cdot \frac{1}{3}-1 = \frac{1}{3}$

Da $0\leq p\leq 1,$ $0\leq r\leq 1$ und $0\leq p+r \leq 1$ gilt, trifft die Gerade der Sonnenstrahlen auf das Sonnensegel, sodass Robert nicht geblendet wird.

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