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Stochastik 2

Aufgaben
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Der Mineralwasserproduzent „Sauberwasser“ muss zurückgegebene PET-Pfandflaschen vor einer erneuten Befüllung auf nicht entfernbare Rückstände sowie auf Defekte (wie Risse) untersuchen und gegebenenfalls direkt nach der jeweiligen Kontrolle aussortieren. Der Prozessablauf, den jede einzelne Flasche durchläuft, ist im Folgenden dargestellt:
2.1
Beim Produzenten Sauberwasser weiß man:
  • $99\,\%$ aller Flaschen durchlaufen den Waschgang.
  • $96\,\%$ aller Flaschen werden befüllt, haben also weder nicht entfernbare Rückstände noch einen Defekt.
2.1.1
Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
Von $5$ Flaschen werden $5$ befüllt.
Von $15$ Flaschen wird genau eine Flasche nicht befüllt.
Eine Flasche, die gewaschen wurde, wird auch befüllt.
Ein Flasche, die nicht befüllt wird, wurde nicht gewaschen.
(7 BE)
2.1.2
Bestimme, wie viele Flaschen mindestens kontrolliert werden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $90\,\%$ mindestens eine Flasche vorzufinden, die nicht befüllt wird.
(3 BE)
2.2
Trotz aller Qualitätskontrollen können nicht alle fehlerhaften Flaschen erkannt werden. Erfahrungsgemäß sind $0,5\,\%$ aller ausgelieferten Flaschen fehlerhaft.
Der Produzent Sauberwasser kontrolliert vor der Auslieferung an die Kunden bei einer Stichprobe $500$ Flaschen auf Fehler.
(5 BE)

(15 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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2.1.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit der Ereignisse berechnenStochastik 2
Eine Flasche wird mit einer Wahrscheinlichkeit von $96\,\%$ befüllt. Mit den Pfadregeln folgt:
$P(E_1) = 0,96\cdot 0,96\cdot 0,96\cdot 0,96\cdot 0,96 \approx 0,8154 = 81,54\,\%$
$ P(E_1) \approx 81,54\,\% $
Betrachte für Ereignis $E_2$ die Zufallsvariable $X,$ die die Anzahl der Flaschen beschreibt, die befüllt werden. Diese kann als binomialverteilt angenommen werden. Für $E_2$ beträgt der Stichprobenumfang $n= 15,$ die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt $p = 0,96.$
$\begin{array}[t]{rll} P(E_2)&=& P(X=14)\\[5pt] &=& \binom{15}{14}\cdot 0,96^{14} \cdot 0,04^1 \\[5pt] &\approx& 0,3388 \\[5pt] &=& 33,88\,\% \end{array}$
$ P(E_2) \approx 33,88\,\% $
Verwende nun folgende Bezeichnungen:
  • $B:$ Eine betrachtete Flasche wird befüllt.
  • $W:$ Eine betrachtete Flasche durchläuft den Waschgang.
Gesucht ist nun die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_W(B).$
$\begin{array}[t]{rll} P(E_3)&=& P_W(B) \\[5pt] &=& \dfrac{W\cap B}{P(W)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,96}{0,99} \\[5pt] &\approx& 0,9697 \\[5pt] &=& 96,97\,\% \end{array}$
$ P(E_3)\approx 96,97\,\% $
Für $E_4$ ist nun ebenfalls eine bedingte Wahrscheinlichkeit gesucht $P_{\overline{B}}(\overline{W}).$
$\begin{array}[t]{rll} P(E_4) &=& P_{\overline{B}}(\overline{W}) \\[5pt] &=& \dfrac{\overline{B} \cap \overline{W}}{\overline{B}} \\[5pt] &=& \dfrac{1-0,99}{ 1-0,96} \\[5pt] &=& 0,25 \\[5pt] &=& 25\,\% \end{array}$
$ P(E_4) = 25\,\% $
#bedingtewahrscheinlichkeit#binomialverteilung#pfadregeln
2.1.2
$\blacktriangleright$  Mindestanzahl der Flaschen bestimmen
Betrachte die Zufallsvariable $Y_n,$ die unter $n$ Flaschen die Anzahl der Flaschen beschreibt, die nicht befüllt werden. Diese kann als binomialverteilt angenommen werden, mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0,04.$ Gesucht ist nun das kleinste $n,$ sodass gerade noch folgende Gleichung erfüllt wird:
$\begin{array}[t]{rll} P(Y_n \geq 1) &>& 0,9 \\[5pt] 1- P(Y_n = 0)&>& 0,9 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] -P(Y_n = 0) &>& -0,1 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] P(Y_n=0) &<& 0,1\\[5pt] \binom{n}{0} \cdot 0,04^0 \cdot 0,96^n &< & 0,1 \\[5pt] 0,96^n &<& 0,1 &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] n\cdot \ln 0,96 &<& \ln 0,1 &\quad \scriptsize \mid\;:\ln 0,96 < 0\\[5pt] n&>& 56,41 \end{array}$
$ n > 56,41 $
Es müssen also mindestens $57$ Flaschen kontrolliert werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $90\,\%$ mindestens eine Flasche zu finden, die nicht befüllt wird.
#binomialverteilung
2.2
$\blacktriangleright$  Erwartungswert und Standardabweichung berechnen
$X$ kann als binomialverteilt angenommen werden, mit $n=500$ und $p=0,5\,\% = 0,005.$ Für den Erwartungswert und die Standardabweichung folgt dann mit der entsprechenden Formel:
$\begin{array}[t]{rll} \mu &=& n\cdot p \\[5pt] &=& 500 \cdot 0,005 \\[5pt] &=& 2,5\\[10pt] \sigma &=& \sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)} \\[5pt] &=& \sqrt{500 \cdot 0,005 \cdot 0,995} \\[5pt] &=& \sqrt{2,4875} \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit näherungsweise bestimmen
1. Schritt: Intervall bestimmen
Das $\sigma$-Intervall von $X$ ist:
$\begin{array}[t]{rll} I_{\sigma}&=&\left[\mu-\sigma \,;\, \mu +\sigma\right] \\[5pt] &=&\left[2,5-\sqrt{2,4875} \,;\, 2,5 +\sqrt{2,4875}\right] \\[5pt] &\approx& \left[1 \,;\,4\right] \\[5pt] \end{array}$
$ I_{\sigma} \approx \left[1 \,;\,4\right] $
2. Schritt: Wahrscheinlichkeit bestimmen
Lies aus der Abbildung näherungsweise die Wahrscheinlichkeiten $P(X=1),$ $P(X=2),$ $P(X=3)$ und $P(X=4)$ ab:
$\begin{array}[t]{rll} P(X\in I_{\sigma})&=& P(1\leq X \leq 4) \\[5pt] &=& P(X=1) +P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) \\[5pt] &\approx& 0,205 + 0,255 + 0,215 + 0,135 \\[5pt] &=& 0,81 \\[5pt] &=& 81\,\% \end{array}$
$ P(X\in I_{\sigma}) \approx 81\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $81\,\%$ liegt die Anzahl der fehlerhaften Flaschen im $\sigma$-Intervall des Erwartungswerts.
$\blacktriangleright$  Grund nennen
In der Formelsammlung findest du für eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma > 3$ folgendes:
$P(\mu -\sigma \leq X \leq \mu + \sigma)\approx 0,683$
Im vorliegenden Fall ist aber $\sigma = \sqrt{2,4875} < 3.$ Die Bedingung $\sigma > 3$ für eine hinreichende Näherung durch die Sigma-Regeln ist also nicht erfüllt, wodurch die recht große Abweichung entsteht.
#binomialverteilung
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