Vektorgeometrie 1

Betrachtet wird das Abtauchen eines U-Boots (siehe Abbildung).
Die Meeresoberfläche wird durch die $x_1x_2$ -Ebene dargestellt. Das punktförmige Modell des U-Boots bewegt sich zu Beginn mit konstanter Geschwindigkeit vom Start im Ursprung $O(0\mid0\mid0)$ innerhalb einer Minute geradlinig zum Punkt $(60\mid 60 \mid -8).$

bw abi berufliches gymnasium technisch teil 1 aufgabe 1 abbildung 1 u boot

Abbildung: Abtauchen des U-Boots.

Danach behält das U-Boot die Richtung und zunächst auch die Geschwindigkeit bei. Eine Längeneinheit entspricht einem Meter $(\text{m})$ in der Realität.

Die Ebene $E$ mit $E: x_1+x_2+10\cdot x_3+200=0$ modelliert für $x_3\leq 0$ die Grenze zwischen dem Meer und dem unter Wasser liegenden Land.

1.1

Gib den Punkt $P$ an, an dem sich das U-Boot nach 2 Minuten befindet. Nenne die zugehörige Tiefe und berechne den Abstand von $P$ und $O.$

1.2

Berechne, wie viele Kilometer das U-Boot in einer Stunde zurücklegen würde.

1.3

Ermittle die Schnittgerade von $E$ mit der $x_1x_2$ -Ebene.
Beschreibe deren Bedeutung im Sachkontext.

1.4

Ab einer Tiefe von $120\,\text{m}$ beschreibt der Vektor

$\overrightarrow{v_1}=\pmatrix{15\\15\\-2}$

die Geschwindigkeit des U-Boots (in Meter pro Minute) beim Abtauchen in den anschließenden 60 Minuten. Danach ist das Abtauchen des U-Boots beendet.

1.4.1

Begründe, dass die folgenden Aussagen wahr sind:

(1)

„Der Betrag der Geschwindigkeit reduziert sich ab $120\,\text{m}$ Tiefe um $75\,\%.$ “

(2)

„Die Geschwindigkeit ändert sich 15 Minuten nach Beginn des Abtauchens.“

1.4.2

Zeige, dass sich der Abstand des U-Boots zu $E$ mit zunehmender Tiefe vergrößert.

1.4.3

Ermittle den mittleren Abstand des U-Boots zu der durch $E$ modellierten Grenze während der letzten 60 Minuten des Abtauchens.

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1.1

Koordinaten und Tiefe angeben

Innerhalb einer Minute bewegt sich das U-Boot vom Punkt $O$ zum Punkt $(60\mid 60\mid -8).$ Es legt also einmal die Strecke entlang des Vektors $\pmatrix{60\\ 60\\ -8}$ zurück. Da es sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, legt es in zwei Minuten die Strecke entlang des Vektors $2\cdot \pmatrix{60\\ 60\\ -8}$ zurück:

$\overrightarrow{OP} = 2\cdot \pmatrix{60\\ 60\\ -8} = \pmatrix{120\\120\\-16}$

Nach zwei Minuten befindet sich das U-Boot im Punkt mit den Koordinaten $P(120\mid 120\mid -16).$
Die Tiefe beträgt dann $16\,\text{m}.$

Abstand zum Ursprung berechnen

$\left|\overrightarrow{OP}\right| = \left| \pmatrix{120\\120\\-16}\right|$ $= \sqrt{120^2+120^2 +(-16)^2}$ $= 8\sqrt{454}\approx 170,46\,\text{[m]}$

Der Abstand von $P$ zu $O$ beträgt ca. $170,46\,\text{m}.$

1.2

In zwei Minuten legt das U-Boot eine Strecke von ca. $170,46\,\text{m}$ zurück.

Zweisatz zur Geschwindigkeit des U-Boots - BaWü Abi berufl. Gymnasium 2022

In einer Stunde würde das U-Boot also ca. $5.114\,\text{m}$ und somit ca. $5,114\,\text{km}$ zurücklegen.

1.3

Die $x_1x_2$ -Ebene wird durch die Gleichung $x_3=0$ beschrieben. Einsetzen in die Ebenengleichung von $E:$

Rechenweg anzeigen

$x_2=-200 -x_1$

Für den Geradenparameter $t$ wird jetzt $x_1 = t$ festgelegt. Damit folgt für die Koordinaten der Punkte auf der Schnittgerade:

$x_1 = t,$ $x_2 = -200-t,$ $x_3=0$

Für die Schnittgerade gilt daher folgende Gleichung:

$g:\quad \overrightarrow{x} = \pmatrix{t\\-200-t\\0}$ $=\pmatrix{0\\-200 \\ 0} + t\cdot \pmatrix{1\\-1\\0},$ $t\in \mathbb{R}$

Die Schnittgerade beschreibt im Sachkontext die Küstenlinie, also die Linie, in der die Meeresoberfläche auf das Land trifft.

1.4.1

(1)

Bis zu einer Tiefe von $120\,\text{m}$ beschreibt der Vektor $\pmatrix{60\\60\\-8}$ die Bewegung des U-Boots in Meter pro Minute.
Es gilt $\overrightarrow{v}_1 = \pmatrix{15\\15\\-2} = \frac{1}{4}\cdot \pmatrix{60\\60\\-8}.$

Das U-Boot bewegt sich also nur noch mit einem Viertel der Geschwindigkeit, sodass der Betrag der Geschwindigkeit nur noch $25\,\%$ des ursprünglichen Wertes beträgt und sich somit um $75\,\%$ reduziert.

(2)

Dem Vektor $\pmatrix{60\\60\\-8}$ lässt sich entnehmen, dass das U-Boot zu Beginn $8\,\text{m}$ pro Minute abtaucht.
$15\,\text{min}$ nach Beginn des Abtauchens befindet sich das U-Boot also in einer Tiefe von $15\cdot 8\,\text{m} = 120\,\text{m}$ und ändert zu diesem Zeitpunkt somit seine Geschwindigkeit.

1.4.2

Das U-Boot bewegt sich entlang der Geraden mit der Gleichung $\overrightarrow{x} = s\cdot \pmatrix{60\\60\\-8}.$ Dies gilt auch nach der Änderung der Geschwindigkeit, da das U-Boot seine Richtung beibehält und lediglich die Geschwindigkeit ändert.

Die Position des U-Boots kann also in Abhängigkeit von $s$ mit $s\in \mathbb{R}$ und $s\geq 0$ durch die Punkte mit den Koordinaten $U_s(60s \mid 60s \mid -8s)$ beschrieben werden.
Je größer $s$ ist, desto weiter ist das U-Boot bereits abgetaucht.

Der Abstand des U-Boots zur Ebene $E$ kann mit Hilfe der Formel für den Abstand eines Punkts zu einer Ebene in Abhängigkeit von $s$ dargestellt werden:

$d(U_s;E)$ $= \dfrac{\left|60s +60s +10\cdot(-8s)+200\right|}{\sqrt{1^2+1^2+10^2}}$ $= \dfrac{\left|40s+200\right|}{\sqrt{102}}$

Je größer $s$ ist, desto größer ist auch der Wert des Terms $\dfrac{\left|40s+200\right|}{\sqrt{102}}.$
Also vergrößert sich der Abstand des U-Boots zu $E$ mit zunehmender Tiefe.

1.4.3

Nach 15 Minuten ändert das U-Boot seine Geschwindigkeit und taucht dann für weitere 60 Minuten weiter ab.
Die Position des U-Boots nach 15 Minuten ergibt sich wie folgt:

$\overrightarrow{OU}_1 = 15\cdot \pmatrix{60\\60\\-8} = \pmatrix{900\\900\\-120}$

Der Abstand zu $E$ zu diesem Zeitpunkt lässt sich mit Hilfe der Formel für den Abstand eines Punkts zu einer Ebene bestimmen:

$d(U_1;E)$ $= \dfrac{\left|900 + 900+10\cdot(-120)+200\right|}{\sqrt{1^2+1^2+10^2}}$ $= \dfrac{800}{\sqrt{102}}$

Die Position zum Ende des Abtauchens ergibt sich wie folgt:

$\overrightarrow{OU}_2$ $= \pmatrix{900\\900\\-120} + 60\cdot \pmatrix{15\\15\\-2}$ $= \pmatrix{1800\\1800\\-240}$

Der Abstand zu $E$ zu diesem Zeitpunkt lässt sich wie oben bestimmen:

$d(U_2;E)$ $= \dfrac{\left|1800 + 1800+10\cdot(-240)+200\right|}{\sqrt{1^2+1^2+10^2}}$ $= \dfrac{1400}{\sqrt{102}}$

Der mittlere Abstand innerhalb dieser 60 Minuten ergibt sich dann als Durchschnitt:

$\overline{d} = \dfrac{\dfrac{800}{\sqrt{102}}+\dfrac{1400}{\sqrt{102}}}{2}$ $= \dfrac{1100}{\sqrt{102}} \approx 108,92\,\text{[m]}.$

Während der letzten 60 Minuten des Abtauchens beträgt der mittlere Abstand des U-Boots zur Ebene $E$ ca. $108,92\,\text{m}.$

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