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Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}{lrll}
\text{I}\quad&x_1 &+ &x_2 &+& x_3 &=& 4 \\
\text{II}\quad&2x_1 &- &x_2 &+& 3x_3 &=& 3 \\
\text{III}\quad&& &3x_2 &-& x_3 &=& 5 \\
\end{array}$
$\begin{array}{lrll}
\text{I}\quad&… \\
\text{II}\quad&… \\
\text{III}\quad&…\\
\end{array}$
$\begin{array}{lrll}
\text{I}\quad&x_1 &+ &x_2 &+& x_3 &=& 4 \\
\text{II}\quad&2x_1 &- &x_2 &+& 3x_3 &=& 3 \\
\text{III}\quad&& &3x_2 &-& x_3 &=& 5 \\
\end{array}$
Du kannst beispielsweise die dritte Gleichung nach $x_3$ umformen:
$\begin{array}[t]{lll}
\text{III}& 3x_2 -x_3 &=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; -3x_2\\[5pt]
&-x_3 &=& 5-3x_2 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt]
\text{III'}& x_3 &=& 3x_2 -5
\end{array}$
$ \text{III'} x_3 = 3x_2 -5 $
$\begin{array}[t]{lll}
\text{III}& 3x_2 -x_3 &=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; -3x_2\\[5pt]
&-x_3 &=& 5-3x_2 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt]
\text{III'}& x_3 &=& 3x_2 -5
\end{array}$
Setzt du diese widerum in die anderen beiden Gleichungen ein, hast du bereits eine Variable eliminiert.
$\begin{array}[t]{lll}
\text{I} & x_1 + x_2 +x_3 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; x_3 = 3x_2 -5 \\[5pt]
&x_1 + x_2 + 3x_2 -5 &=& 4\\[5pt]
&x_1 +4x_2 -5&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; +5\\[5pt]
\text{I'} & x_1 +4x_2 &=& 9 \\[10pt]
\text{II}& 2x_1 -x_2+3x_3 &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; x_3 = 3x_2 -5 \\[5pt]
& 2x_1 -x_2 +3\cdot(3x_2-5)&=& 3 \\[5pt]
&2x_1 -x_2 +9x_2-15 &=& 3 \\[5pt]
& 2x_1 +8x_2 -15 &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; +15\\[5pt]
\text{II'}& 2x_1 +8x_2 &=& 18
\end{array}$
$\begin{array}[t]{lll}
\text{I'} x_1 +4x_2 = 9 \\[10pt]
\text{II'} 2x_1 +8x_2 = 18
\end{array}$
$\begin{array}[t]{lll}
\text{I} & x_1 + x_2 +x_3 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; x_3 = 3x_2 -5 \\[5pt]
&x_1 + x_2 + 3x_2 -5 &=& 4\\[5pt]
&x_1 +4x_2 -5&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; +5\\[5pt]
\text{I'} & x_1 +4x_2 &=& 9 \\[10pt]
\text{II}& 2x_1 -x_2+3x_3 &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; x_3 = 3x_2 -5 \\[5pt]
& 2x_1 -x_2 +3\cdot(3x_2-5)&=& 3 \\[5pt]
&2x_1 -x_2 +9x_2-15 &=& 3 \\[5pt]
& 2x_1 +8x_2 -15 &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; +15\\[5pt]
\text{II'}& 2x_1 +8x_2 &=& 18
\end{array}$
Betrachtest du nun das Gleichungssystem aus $\text{I'}$ und $\text{II'},$ so hast du nur noch ein Gleichungssystem mit zwei Variablen und zwei Gleichungen:
$\begin{array}[t]{lll}
\text{I'} & x_1& + & 4x_2 &=& 9 \\[5pt]
\text{II'}& 2x_1& + & 8x_2 &=& 18 \\[5pt]
\end{array}$
$\begin{array}[t]{lll}
\text{I'} & x_1 + 4x_2 &= 9 \\[5pt]
\text{II'}& 2x_1 + 8x_2 &= 18 \\[5pt]
\end{array}$
$\begin{array}[t]{lll}
\text{I'} & x_1& + & 4x_2 &=& 9 \\[5pt]
\text{II'}& 2x_1& + & 8x_2 &=& 18 \\[5pt]
\end{array}$
Du kannst erkennen, dass $\text{II'} = 2\cdot \text{I'}.$
Diese beiden Gleichungen sind also linear abhängig, sodass eine davon wegfällt.
Du hast also insgesamt ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Variablen, sodass du eine Variable festlegen kannst, beispielsweise $x_2$ und alle anderen in Abhängigkeit dieser setzen kannst.
Forme also beispielsweise $\text{I'}$ nach $x_1$ um:
$\begin{array}[t]{rll}
\text{I'} & x_1 +4x_2 &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\;-4x_2 \\[5pt]
& x_1 &=& 9-4x_2
\end{array}$
$ x_1 = 9-4x_2 $
$\begin{array}[t]{rll}
\text{I'} & x_1 +4x_2 &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\;-4x_2 \\[5pt]
& x_1 &=& 9-4x_2
\end{array}$
Insgesamt hast du also folgende Darstellungen:
$\begin{array}[t]{rll}
x_1 &=& 9-4x_2 \\[5pt]
x_2 &=& x_2 \\[5pt]
x_3 &=& 3x_2 -5
\end{array}$
Setzt du nun $x_2 =t,$ so gilt:
$\begin{array}[t]{rll}
x_1 &=& 9-4t \\[5pt]
x_2 &=& t \\[5pt]
x_3 &=& 3t -5
\end{array}$
Die Lösungsmenge lautet dann:
$\mathbb{L} = \{\left(9-4t \mid t\mid 3t-5 \right)\mid t\in \mathbb{R}\}$
$ \mathbb{L} = … $
$\mathbb{L} = \{\left(9-4t \mid t\mid 3t-5 \right)\mid t\in \mathbb{R}\}$
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