Matrizen
3.1
Bestimme die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems:
(3 BE)
3.2
Im Folgenden sind alle vorliegenden 
-Matrizen invertierbar.
ist die Einheitsmatrix.
Löse die Matrizengleichung
nach 
auf und vereinfache so weit wie möglich.
-Matrizen invertierbar.
ist die Einheitsmatrix.
Löse die Matrizengleichung
nach auf und vereinfache so weit wie möglich.
(4 BE)
(7 BE)
3.1
Lösungsmenge bestimmen
Du kannst beispielsweise die dritte Gleichung nach 
Vollständige Lösung anzeigen
umformen:
Setzt du diese widerum in die anderen beiden Gleichungen ein, hast du bereits eine Variable eliminiert.
Betrachtest du nun das Gleichungssystem aus 
![\(\begin{array}[t]{lll}
\text{III}& 3x_2 -x_3 &=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; -3x_2\\[5pt]
&-x_3 &=& 5-3x_2 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt]
\text{III‘}& x_3 &=& 3x_2 -5
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6ac75b112ba0519007ab4312c2580640f23e17b86e7c363416f2cf92eb1cc56a_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{lll}
\text{I‘} x_1 +4x_2 = 9 \\[10pt]
\text{II‘} 2x_1 +8x_2 = 18
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7a595aa8cf505732ea461fc485df160b38980b63f3845ffefc11d15167f13af1_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{lll}
\text{I} & x_1 + x_2 +x_3 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; x_3 = 3x_2 -5 \\[5pt]
&x_1 + x_2 + 3x_2 -5 &=& 4\\[5pt]
&x_1 +4x_2 -5&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; +5\\[5pt]
\text{I‘} & x_1 +4x_2 &=& 9 \\[10pt]
\text{II}& 2x_1 -x_2+3x_3 &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; x_3 = 3x_2 -5 \\[5pt]
& 2x_1 -x_2 +3\cdot(3x_2-5)&=& 3 \\[5pt]
&2x_1 -x_2 +9x_2-15 &=& 3 \\[5pt]
& 2x_1 +8x_2 -15 &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; +15\\[5pt]
\text{II‘}& 2x_1 +8x_2 &=& 18
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6f21a3ba4bf625985024826c22847a8201988373dd88999e19a1c120f1901e87_light.svg)
und 
so hast du nur noch ein Gleichungssystem mit zwei Variablen und zwei Gleichungen:
Du kannst erkennen, dass ![\(\begin{array}[t]{lll}
\text{I‘} & x_1 + 4x_2 &= 9 \\[5pt]
\text{II‘}& 2x_1 + 8x_2 &= 18 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/bfd20e7309bd360eff6bf813a1f2b53b907418a123b82df6e02517b03beb097b_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{lll}
\text{I‘} & x_1& + & 4x_2 &=& 9 \\[5pt]
\text{II‘}& 2x_1& + & 8x_2 &=& 18 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/64c275a501661a7735181940482214e1ba4aaf03abacaa9ead45a6965302723e_light.svg)
Diese beiden Gleichungen sind also linear abhängig, sodass eine davon wegfällt.
Du hast also insgesamt ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Variablen, sodass du eine Variable festlegen kannst, beispielsweise
und alle anderen in Abhängigkeit dieser setzen kannst. Forme also beispielsweise nach 
um:
Insgesamt hast du also folgende Darstellungen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\text{I‘} & x_1 +4x_2 &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\;-4x_2 \\[5pt]
& x_1 &=& 9-4x_2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/604e799abffa74c6856c61210d9957533fcab530aa96b3d727de69d0644dd501_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_1 &=& 9-4x_2 \\[5pt]
x_2 &=& x_2 \\[5pt]
x_3 &=& 3x_2 -5
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/bf6899da476b032f72994bf3ddd6514116704ec92b4b2205f7fdba44dfacc47f_light.svg)
Setzt du nun 
so gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_1 &=& 9-4t \\[5pt]
x_2 &=& t \\[5pt]
x_3 &=& 3t -5
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/31ff9e9cf94680fdd4bab89e594f62ba6132bdb95aa29824be736e02dad9b1d2_light.svg)
Die Lösungsmenge lautet dann:
3.2
Gleichung lösen
![\(\begin{array}[t]{rll}
(B+A)\cdot (E-A)&=& (X-B)\cdot A \\[5pt]
B\cdot E - B\cdot A +A\cdot E -A\cdot A &=& (X-B)\cdot A \\[5pt]
B - B\cdot A +A -A\cdot A &=& (X-B)\cdot A &\quad \scriptsize \mid\;\cdot A^{-1} \\[5pt]
B\cdot A^{-1} -B +E -A &=& X-B &\quad \scriptsize \mid\; +B \\[5pt]
B\cdot A^{-1} +E -A &=& X \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/eee7fb312b238fb17c665c00a89cdc727ab9a207830417df6df12fdbe4172388_light.svg)