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Stochastik

Aufgaben
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2.
In der norwegischen Hauptstadt Oslo ist jeder zehnte PKW ein Elektroauto.
2.1
Auf einem kommunalen Parkplatz in Oslo beträgt die Parkgebühr für PKW fünf norwegische Kronen. Elektroautos parken kostenlos. Pro Tag wird der Parkplatz von $300$ PKW genutzt.
Bestimme die Höhe der Einnahmen, die man erwarten kann.
(2 BE)
2.2
Im Folgenden werden in Oslo zufällig vorbeifahrende PKW betrachtet.
2.2.1
Drei PKW fahren vorbei. Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
Unter diesen PKW ist genau ein Elektroauto.
Unter diesen PKW ist mindestens ein Elektroauto.
(4 BE)
2.2.2
Definiere die zufallsvariable $X$ und formuleire im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit wie folgt berechnet werden kann:
$P(X\leq 2) = 0,9^{100}+100\cdot 0,1\cdot 0,9^{99}+ \binom{100}{2} \cdot 0,1^2\cdot 0,9^{98} $
$ P(X\leq 2) = … $
(2 BE)

(8 BE)
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Lösungen
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2.1
$\blacktriangleright$  Höhe der erwarteten Einnahmen bestimmenStochastik
Gesucht ist der Erwartungswert der Einnahmen. Der Anteil der Elektroautos in Oslo beträgt $\frac{1}{10}.$ Man kann also damit rechnen, dass unter den $300$ PKWs pro Tag $30$ Elektroautos sind. Die übrigen $270$ PKW sind keine Elektroautos und zahlen daher $5$ Kronen.
$E = 30\cdot 0 + 270 \cdot 5 = 1.350$
Pro Tag kann man also mit Einnahmen in Höhe von $1.350$ norwegischen Kronen rechnen.
2.2.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Betrachte die Zufallsgröße $X,$ die die Anzahl der Elektroautos unter den drei vorbeifahrenden PKW beschreibt. Da man davon ausgehen kann, dass es genügend PKWs in Oslo gibt, sodass man von einer konstanten Wahrscheinlichkeit ausgehen kann, kann $X$ als binomialverteilt mit $n=3$ und $p=\frac{1}{10}$ angenommen werden.
Für die Ereignisse folgt dann:
$\begin{array}[t]{rll} P(A) &=& P(X=1)\\[5pt] &=& \binom{3}{1}\cdot\left(\frac{1}{10}\right)^1\cdot \left(\frac{9}{10} \right)^2 \\[5pt] &=& 3\cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{81}{100}\\[5pt] &=& \frac{243}{1\,000} \\[5pt] &=& 0,243 \\[5pt] &=& 24,3\,\% \\[10pt] P(B) &=& P(X\geq 1)\\[5pt] &=& 1- P(X=0)\\[5pt] &=& 1- \binom{3}{0}\cdot\left(\frac{1}{10}\right)^0\cdot \left(\frac{9}{10} \right)^3 \\[5pt] &=& 1-1 \cdot \frac{729}{1.000}\\[5pt] &=& 1-0,729 \\[5pt] &=& 0,271 \\[5pt] &=& 27,1\,\% \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(A) &= 24,3\,\% \\[10pt] P(B) &= 27,1\,\% \\[10pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $24,3\,\%$ ist unter den drei vorbeifahrenden PKW genau ein Elektroauto.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $27,1\,\%$ ist unter den drei vorbeifahrenden PKW mindestens ein Elektroauto.
#binomialverteilung
2.2.2
$\blacktriangleright$  Ereignis definieren
Aus dem angegebenen Term kannst du ablesen, dass für $X$ die Binomialverteilung mit $n=100$ und $p= 0,1$ verwendet wird.
$0,1$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter PKW in Oslo ein Elektroauto ist.
$X$ kann also beispielsweise wie folgt definiert werden:
$X$ beschreibe unter $100$ zufällig ausgewählten PKW in Oslo die Anzahl der Elektroautos. $X$ kann daher als binomialverteilt mit $n=100$ und $p=0,1$ angenommen werden.
Mit dem angegebenen Term $P(X\leq 2)$ wird dann die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass sich unter $100$ zufällig ausgewählten PKW in Oslo höchstens $2$ Elektroautos befinden.
#binomialverteilung
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