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Stochastik 1

Aufgaben
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Beim Strafstoß („Elfmeter“) gibt es drei mögliche Ergebnisse:
$\,\,$
(1) Der Schütze erzielt ein Tor
(2) Der Torhüter wehrt den Ball ab
(3) Der Schütze trifft die Torbegrenzung oder verfehlt das Tor
Der Fussballer Tom erzielt beim Strafstoß mit einer Wahrscheinlichkeit von $80\,\%$ ein Tor.
1.1
Tom schießt vier Strafstöße. Berechne die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse:
$A$: Er erzielt vier Tore
$B$: Er erzielt mindestens drei Tore
$C$: Er erzielt genau drei Tore in Folge
(5 P)
#wahrscheinlichkeit
1.2
Ein Freund bietet Tom folgendes Spiel an:
„Wenn du ein Tor erzielst, zahle ich dir einen Euro, sollte der Torhüter den Ball abwehren, zahlst du mir zwei Euro. Ansonsten musst du mir $10$ Euro geben.“ Bestimme die Wahrscheinlichkeit, mit der der Torhüter den Ball abwehrt, wenn man davon ausgeht, dass auf lange Sicht keiner der beiden einen Gewinn macht, das Spiel also fair ist.
(5 P)
1.3
In einer Fussballliga wird bei $87\,\%$ aller Strafstöße ein Tor erzielt.
$10\,\%$ der Strafstöße werden vom Torhüter abgewehrt.
1.3.1
Bei einem Strafstoß wird kein Tor erzielt.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass der Torhüter den Ball abgewehrt hat.
(2 P)
#wahrscheinlichkeit
1.3.2
In einer Saison wurden $70$ Strafstöße gegeben.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass davon mindestens $68$ Tore erzielt wurden.
(3 P)
#wahrscheinlichkeit
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Die Anzahl der erzielten Tore kann durch eine Zufallsvariable $X$ beschrieben werden. $X$ ist hierbei binomialverteilt mit $p=0,8$ und $n=4$. Mit der Formel für die Binomialverteilung folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(A)=P(X=4)$:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=4)&=& \binom{4}{4} \cdot 0,8^4 \cdot (1-0,8)^{4-4} \\[5pt] &=& 0,8^4 \\[5pt] &=& 0,4096 \\[5pt] \end{array}$
$P(X=4)=0,4096$
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Tom vier Tore erzielt $40,96\,\%$.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(B)=P(X\geq3)$ folgt mit der Formel für die Binomialverteilung und dem Ergebnis aus der vorherigen Teilaufgabe:
$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq 3)&=& P(X=3) +P(X=4) \\[5pt] &=& \binom{4}{3} \cdot 0,8^3 \cdot (1-0,8)^{4-3} +0,4096 \\[5pt] &=& 0,4096 +0,4096 \\[5pt] &=& 0,8192 \\[5pt] \end{array}$
$P(X\geq 3)=0,8192$
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Tom mindestens drei Tore erzielt $81,92\,\%$.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten genau drei Tore in Folge zu erzielen. Entweder er trifft die ersten drei Schüsse oder er trifft die letzten drei Schüsse. Somit gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(C)$:
$\begin{array}[t]{rll} P(C)&=& 2 \cdot \left(0,8^3 \cdot (1-0,8)^1\right)\\[5pt] &=& 0,2048\\[5pt] \end{array}$
$P(C)=0,2048$
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Tom drei Tore in Folge erzielt $20,48\,\%$.
#binomialverteilung
1.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Ein Spiel ist fair, wenn der erwartete Gewinn bzw. Verlust für alle Teilnehmer gleich $0$ ist. Wir bezeichnen den Gewinn aus Sicht von Tom mit der Zufallsvariablen $Y$. Damit soll $E(Y)=0$ gelten. Mit der Formel für den Erwartungswert und der Formel für die Gegenwahrscheinlichkeit folgt für die unbekannte Wahrscheinlichkeit $p$, mit der der Torhüter den Ball abwehrt:
$\begin{array}[t]{rll} E(Y)&=& 0 \\[5pt] 1 \cdot P(Y=+1) -2 \cdot P(Y=-2) -10 \cdot P(Y=-10)&=& 0 \\[5pt] 1 \cdot 0,8 -2 \cdot p -10 \cdot (1-0,8-p)&=& 0 \\[5pt] 0,8 -2 \cdot p -10 +8+10 \cdot p &=& 0 \\[5pt] -1,2 +8 \cdot p &=& 0 & \quad \scriptsize \mid \, +1,2 \\[5pt] 8 \cdot p&=& 1,2 & \quad \scriptsize \mid \, :8 \\[5pt] p&=& 0,15 \\[5pt] \end{array}$
$p=0,15$
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Torhüter den Ball abwehrt $15\,\%$.
#erwartungswert#gegenwahrscheinlichkeit
1.3.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit ermitteln
Das Ereignis, dass ein Tor erzielt wird, wird mit $T$ bezeichnet und das Ereignis, dass der Torhüter den Ball abwehrt mit $A$. Hierbei ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass der Torhüter den Ball abgewehrt hat unter der Voraussetzung, dass kein Tor erzielt wird. Somit ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{\overline{T}}(A)$ gesucht. Mit der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P\left(T \cap A\right) +P\left(\overline{T} \cap A\right) &\quad \scriptsize \mid\; -P\left(T \cap A\right) \\[5pt] P(A)-P\left(T \cap A\right)&=& P\left(\overline{T} \cap A\right) \end{array}$
$P\left(\overline{T} \cap A\right)=\dotsc$
Damit folgt mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit:
$\begin{array}[t]{rll} P_{\overline{T}}(A)&=& \dfrac{P\left(\overline{T} \cap A\right)}{P\left(\overline{T}\right)} \\[5pt] &=& \dfrac{P(A)-P\left(T \cap A\right)}{P\left(\overline{T}\right)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,1-0}{1-0,87} \\[5pt] &=& \dfrac{0,1}{0,13} \\[5pt] &\approx& 0,7692 \\[5pt] \end{array}$
$P_{\overline{T}}(A)\approx 0,7692$
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Torhüter den Ball abgewehrt hat unter der Bedingung, dass kein Tor erzielt wurde, ungefähr $76,92\,\%$.
#bedingtewahrscheinlichkeit
1.3.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Die Anzahl der erzielten Tore kann durch die binomialverteilte Zufallsvariable $Z$ bezeichnet werden. Hierbei ist $Z$ mit $n=70$ und $p=0,87$ binomialverteilt. Somit gilt mit der Formel für die Binomialverteilung für die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(Z\geq 68)$:
$\begin{array}[t]{rll} P(Z\geq 68)&=& P(Z=68)+P(Z=69) +P(Z=70)\\[5pt] &=& \binom{70}{68} \cdot (0,87)^{68} \cdot (0,13)^{2}+\binom{70}{69} \cdot (0,87)^{69} \cdot (0,13)^{1}\\[5pt] &&+\binom{70}{70} \cdot (0,87)^{70} \cdot (0,13)^{0}\\[5pt] &=& 2.415 \cdot (0,87)^{68} \cdot (1-0,87)^{2}+70 \cdot (0,87)^{69} \cdot (1-0,87)^{1} + (0,87)^{70} \\[5pt] &\approx& 0,0038 \\[5pt] \end{array}$
$P(Z\geq 68) \approx 0,0038$
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von insgesamt $70$ Strafstößen mindestens $68$ Tore erzielt wurden etwa $0,38\,\%$.
#binomialverteilung
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