Vektorgeometrie 1
3
Für ein Viereck
mit den Eckpunkten
und
gilt:
3.1
Bestimme den Vektor
Weise nach, dass dieses Viereck ein Rechteck ist.
Weise nach, dass dieses Viereck ein Rechteck ist.
3
3.2
Berechne die Koordinaten des Punktes
sodass sich die Diagonalen des Vierecks
in
schneiden.
2
3.3
Durch Streckung des Vierecks
wird dessen Flächeninhalt um den Faktor
vergrößert. Die Seitenverhältnisse bleiben dabei unverändert.
Berechne eine Seitenlänge des entstehenden, vergrößerten Vierecks.
2
7
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3.1
Vektor bestimmen
Rechteck nachweisen
Es gilt
und
Die jeweils gegenüberliegenden Seiten des Vierecks
sind also parallel und gleich lang.
Die Rechtwinkligkeit wird mit dem Skalarprodukt zweier benachbarter Vektoren überprüft:
Die Vektoren
und
stehen also senkrecht zueinander. Also besitzt das Viereck
im Punkt
einen rechten Winkel.
Wegen der Parallelität der gegenüberliegenden Seiten gilt dies für alle vier Innenwinkel. Es handelt sich also um ein Rechteck.
Wegen der Parallelität der gegenüberliegenden Seiten gilt dies für alle vier Innenwinkel. Es handelt sich also um ein Rechteck.
3.2

3.3
Für das Viereck
gilt:
Für den Flächeninhalt des gestreckten Vierecks
soll gelten:
Gleichzeitig gilt:
also ist
Da das Seitenverhältnis erhalten bleiben soll, gilt:
also:
Diese Gleichung lässt sich nach
umformen:
Das kann in
eingesetzt werden:
Eine Seite des gestreckten Vierecks ist also
lang.