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Stochastik 2

Aufgaben
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Stochastik 2
Abb. 1: Rubbellos
Stochastik 2
Abb. 1: Rubbellos
Der Käufer eines Loses muss genau zwei Felder aufrubbeln (vgl. Abbildung). Das Produkt der Zahlen, die hierdurch sichtbar werden, ist der Betrag in Euro, die der Kioskbetreiber an den Losbesitzer auszahlen muss.
2.1
Eine Frau kauft ein Rubbellos und rubbelt genau zwei Felder frei. Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
A: Genau ein frei gerubbeltes Feld zeigt die Zahl $5$.
B: Die Frau bekommt mindestens einen Euro ausgezahlt.
(3 P)
#wahrscheinlichkeit
2.2
Ein Mann kauft an fünf Tagen in Folge jeweils ein Los. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, mit der der Mann genau zweimal $25\,€$ erhält.
(3 P)
#wahrscheinlichkeit
2.3
Der Kioskbetreiber kauft die Lose für $20$ Cent je Stück ein und verkauft ein Los für $2,50$ Euro. Bestimme die Höhe des Gewinns pro Los, den der Kioskbetreiber im Mittel erwarten kann.
(4 P)
2.4
Ein Kioskbetreiber notiert immer am Ende des Tages die Anzahl der an diesem Tag verkauften Rubellose. Ein Student, der als Aushilfe im Kiosk arbeitet, wertet diese Daten aus: Im Mittel werden $17$ Lose pro Tag verkauft, wobei die Standardabweichung $4$ beträgt.
Der Student macht folgende Annahmen:
  1. Die Anzahl $n$ der Kunden, die den Kiosk aufsuchen, ist an jedem Tag gleich.
  2. Die Kunden kaufen unabhängig voneinander entweder genau ein oder aber kein Rubbellos.
Bestimme den Wert für $n$, den der Student unter der Annahme einer Binomialverteilung ermittelt.
Welche Information liefert die Sigma-Regel $P(\mu - \sigma \leq X\leq \mu + \sigma)\approx68,3\,\%$ dem Studenten in diesem Sachzusammenhang?
(5 P)
#erwartungswert#standardabweichung#binomialverteilung
Bildnachweise [nach oben]
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2.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Insgesamt gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten in welcher Reihenfolge die Frau die beiden Felder aufrubbeln kann. Hierbei muss beachtet werden, dass sich die Wahrscheinlichkeiten nach dem ersten freirubbeln ändern, da sich das Vorgehen als Ziehen ohne Zurücklegen beschreiben lässt. Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(A)$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=&\dfrac{4}{16} \cdot \dfrac{12}{15} + \dfrac{12}{16} \cdot \dfrac{4}{15} \\[5pt] &=& 0,4 \\[5pt] \end{array}$
$P(A)=0,4$
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Frau genau ein Feld freirubbelt, welches die Zahl $5$ zeigt $40\,\%$.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Die Frau bekommt nichts ausgezahlt, falls das erste aufgerubbelte Feld die Zahl $0$ zeigt oder falls das zweite Feld die Zahl $0$ zeigt, nachdem das erste Feld nicht die Zahl $0$ zeigte. Es folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(B)$ mit der Gegenwahrscheinlichkeit:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& 1- \left(\dfrac{8}{16}+ \dfrac{8}{16} \cdot \dfrac{8}{15}\right) \\[5pt] &=& 1- \left(\dfrac{1}{2}+ \dfrac{4}{15}\right)\\[5pt] &=& 1- \dfrac{23}{30} \\[5pt] &=& \dfrac{7}{30} \\[5pt] &\approx& 0,2333 \\[5pt] \end{array}$
$P(B) \approx 0,2333$
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Frau mindestens $1 \,€$ ausgezahlt bekommt ungefähr $23,33\,\%$.
#gegenwahrscheinlichkeit
2.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit ermitteln
Die Anzahl der Gewinne in Höhe von $25\,€$ kann durch die Zufallsvariable $X$ bezeichnet werden. Die Gewinne in Höhe von $25\,€$ an den jeweiligen Tagen sind unabhängig voneinander und treten immer mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf. Somit ist $X$ binomialverteilt mit $n=5$ und $p=\dfrac{4}{16} \cdot \dfrac{3}{15} = 0,05$. Damit folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(X=2)$ mit der Formel für die Binomialverteilung:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=2)&=& \binom{5}{2} \cdot \left(0,05 \right)^2 \cdot \left(1-0,05 \right)^3 \\[5pt] &=& 10 \cdot \left(0,05 \right)^2 \cdot \left(1-0,05 \right)^3 \\[5pt] &\approx& 0,0214 \\[5pt] \end{array}$
$P(X=2) \approx 0,0214$
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Mann genau zweimal $25\,€$ erhält etwa $2,14\,\%.$
#binomialverteilung
2.3
$\blacktriangleright$  Erwartungswert berechnen
Der Gewinn aus Sicht des Kioskbetreibers in Euro kann mit $Y$ bezeichnet werden. Der Kioskbetreiber nimmt zunächst durch den Verkauf eines Loses $2,30\,€$ ein, da er ein Los für $2,50\,€$ verkauft und die Lose für $20$ Cent je Stück kauft. Hierbei muss noch beachtet werden, dass davon die jeweiligen Gewinne der Kunden durch das Rubbellos abgezogen werden.
Der Kioskbetreiber verliert $22,70\,€$, falls der Kunde $25\,€$ ausgezahlt bekommt. Außerdem verliert der Kioskbetrieber $2,70\,€$ falls der Kunde $5\,€$ ausgezahlt bekommt. Er macht einen Gewinn von $1,30\,€$ falls der Kunde $1\,€$ ausgezahlt bekommt. Zudem macht er einen Gewinn von $2,30\,€$ falls der Kunde $0\,€$ ausgezahlt bekommt
Für die Wahrscheinlichkeit $P(Y=-2,70)$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(Y=-2,70)&=& \dfrac{4}{16} \cdot \dfrac{4}{15} + \dfrac{4}{16} \cdot \dfrac{4}{15}\\[5pt] &=& \dfrac{4}{30} \\[5pt] &=& \dfrac{2}{15} \\[5pt] \end{array}$
$P(Y=-2,70)=\dfrac{2}{15}$
Für die Wahrscheinlichkeit $P(Y=1,30)$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(Y=1,30)&=& \dfrac{4}{16} \cdot \dfrac{3}{15} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{20} \\[5pt] &=& 0,05 \\[5pt] \end{array}$
Aus der vorherigen Teilaufgabe gilt $P(Y=2,30)=\dfrac{23}{30}.$
Mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten und der Formel für den Erwartungswert folgt:
$\begin{array}[t]{rll} E(Y)&=& -22,70 \cdot P(X=-22,70)-2,70 \cdot P(X=-2,70)+1,30 \cdot P(X=1,30)\\[5pt] &&+2,30 \cdot P(X=2,30) \\[5pt] &=& -22,70 \cdot 0,05 -2,70 \cdot \dfrac{2}{15}+1,30 \cdot 0,05 +2,30 \cdot \dfrac{23}{30} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3} \\[5pt] &\approx& 0,33 \\[5pt] \end{array}$
$E(Y) \approx 0,33$
Der Kioskbetreiber kann ungefähr pro Los einen Gewinn von $0,33\,€$ erwarten.
#erwartungswert
2.4
$\blacktriangleright$  Wert bestimmen
Mit der Formel für die Standardabweichung $\sigma=4$ und dem Erwartungswert $\mu=17$ einer binomialverteilten Zufallsvariable gelten die folgenden Gleichungen für die Unbekannten $p$ und $n$:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& n \cdot p&=& 17 \\ \text{II}\quad& \sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}&=& 4 &\quad \scriptsize\mid\; (\,)^2\\ \hline \text{I}\quad& n \cdot p&=& 17 &\quad \scriptsize\mid\; :n \\ \text{II}\quad& n\cdot p \cdot (1-p)&=& 16 \\ \hline \text{I}\quad& p&=& \dfrac{17}{n} \\ \text{II}\quad& n\cdot p \cdot (1-p)&=& 16 \\ \end{array}$
$\text{I}: \dotsc$
Durch Einsetzen der Gleichung $\text{I}$ in $\text{II}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} n \cdot \dfrac{17}{n} \cdot \left(1-\dfrac{17}{n} \right)&=& 16 \\[5pt] 17 \cdot \left(1-\dfrac{17}{n} \right)&=& 16 \\[5pt] 17 -\dfrac{289}{n} &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; -17 \\[5pt] -\dfrac{289}{n} &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot(-n) \\[5pt] 289 &=& n \\[5pt] \end{array}$
$n=289$
Unter Annahme einer Binomialverteilung ergibt sich $n=289$.
$\blacktriangleright$  Regel im Sachzusammenhang erläutern
Mit $\sigma=4$ und $\mu =17$ folgt die Gleichung $P(13 \leq X \leq 21) \approx 68,3\,\%$. Dies bedeutet im Sachzusammenhang, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens $13$ und höchstens $21$ Rubbellose an einem Tag verkauft werden etwa $68,3\,\%$ beträgt.
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