Matrizen 2

Ein Betrieb stellt aus den Rohstoffen $R_1,$ $R_2$ und $R_3$ die Zwischenprodukte $Z_1,$ $Z_2$ und $Z_3$ her. Aus diesen Zwischenprodukten werden die Endprodukte $E_1,$ $E_2$ und $E_3$ hergestellt. Der Materialfluss in Mengeneinheiten (ME) ist den folgenden Tabellen zu entnehmen.

	$E_1$	$E_2$	$E_3$
$Z_1$	2	1	2
$Z_2$	3	0	1
$Z_3$	1	4	2

	$E_1$	$E_2$	$E_3$
$R_1$	43	36	33
$R_2$	30	15	19
$R_3$	37	14	20

2.1

Für einen Auftrag sollen 400 ME von $E_1,$ 600 ME von $E_2$ und 500 ME von $E_3$ hergestellt werden.

2.1.1

Berechne, wie viele ME der drei Rohstoffe dafür benötigt werden.

2.1.2

Für diesen Auftrag betragen die Fixkosten $2050 \,€,$ die gesamten Rohstoffkosten $400 \,€$ und die gesamten Fertigungskosten der Endprodukte betragen $1850 \,€.$
Die Fertigungskosten pro ME für $Z_2$ sind 2,5 mal so hoch wie für $Z_1.$ Für $Z_3$ sind diese Kosten 1,25 mal so hoch wie für $Z_1.$
Die Verkaufspreise pro ME der Endprodukte betragen $20 \,€$ für $E_1$ und jeweils $35 \,€$ für $E_2$ und $E_3.$ Es wird ein Gewinn von $8 000 \,€$ erwirtschaftet.
Bestimme die Fertigungskosten pro ME der drei Zwischenprodukte.

2.2

Für einen weiteren Auftrag werden 4 600 ME des Zwischenprodukts $Z_1,$ 3 800 ME von $Z_2$ und 6 250 ME von $Z_3$ hergestellt. Die Zwischenprodukte sollen für den Auftrag vollständig zu Endprodukten weiterverarbeitet werden, wobei 950 ME von $E_1$ produziert werden sollen.
Beurteile, ob dieser Auftrag ausführbar ist.

2.3

Das Endprodukt $E_3$ wird zukünftig nicht mehr produziert.
Im Lager befinden sich noch 30 000 ME des Rohstoffs $R_2,$ die vollständig aufgebraucht werden müssen. Es sollen zudem nicht mehr als 1 000 ME von $E_1$ produziert werden.
Ermittle, wie viele ME der Rohstoffe $R_1$ und $R_3$ mindestens bzw. höchstens im Lager vorhanden sein müssen.

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2.1.1

Die Rohstoff-Endprodukt-Matrix $C$ lässt sich aus der zweiten Tabelle ablesen:

$C = \pmatrix{43 & 36 & 33 \\ 30 & 15 & 19 \\ 37 & 14 & 20}$

Für den Produktionsvektor gilt $\overrightarrow{p} = \pmatrix{400 \\ 600 \\500}.$ Daraus ergibt sich der Verbrauchsvektor für die Rohstoffe wie folgt:

Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{r} = \pmatrix{55.300 \\ 30.500 \\ 33.200}$

Es werden $55.300\,\text{ME}$ des Rohstoffs $R_1,$ $30.500\,\text{ME}$ des Rohstoffs $R_2$ und $33.200\,\text{ME}$ des Rohstoffs $R_3$ benötigt.

2.1.2

1. Schritt: Gesamtverkaufspreis berechnen

$V = 400\cdot 20 \,€ + 600\cdot 35\,€ + 500\cdot 35\,€$ $= 46.500\,€$

2. Schritt: Gesamte Fertigungskosten der Zwischenprodukte berechnen

Insgesamt werden die Endprodukte für $V= 46.500\,€$ verkauft.
Dabei wird ein Gewinn in Höhe von $G= 8.000\,€$ erwirtschaftet.
Die Fixkosten für den Auftrag betragen $F = 2.050\,€.$
Die gesamten Rohstoffkosten betragen $R = 400\,€.$
Die gesamten Fertigungskosten für die Endprodukte betragen $FK_E = 1.850\,€.$
Damit lässt sich für die gesamten Fertigungskosten $FK_Z$ folgende Gleichung aufstellen:

Rechenweg anzeigen

$FK_Z=34.200\,€$

3. Schritt: Menge der benötigten Zwischenprodukte bestimmen

Die Zwischnprodukt-Endprodukt-Matrix $B$ kann mit Hilfe der ersten Tabelle erstellt werden:

$B = \pmatrix{2&1&2 \\ 3&0&1 \\ 1&4&2}$

Für den Verbrauchsvektor für die Zwischenprodukte $\overrightarrow{z}$ folgt:

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$\overrightarrow{z} = \pmatrix{2.400 \\ 1.700 \\3.800}$

4. Schritt: Fertigungskosten berechnen

$k_1,$ $k_2$ und $k_3$ bezeichnen jeweils die Fertigungskosten pro ME der Zwischenprodukte $Z_1,$ $Z_2$ und $Z_3.$
Laut Aufgabenstellung gilt:

$k_2 = 2,5 \cdot k_1$ und $k_3 = 1,25\cdot k_1$

Es werden $2.400\,\text{ME}$ von $Z_1,$ $1.700\,\text{ME}$ von $Z_2$ und $3.800\,\text{ME}$ von $Z_3$ benötigt. Die Fertigungskosten dafür betragen insgesamt $FK_Z = 34.200\,€.$

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$k_1 = 3\,€$

Daraus folgt:

$k_2 = 2,5 \cdot k_1 = 2,5\cdot 3\,€ = 7,5\,€$

$k_3 = 1,25 \cdot k_1 = 1,25\cdot 3\,€ = 3,75\,€$

Die Fertigungskosten betragen $3\,€$ pro $\text{ME}$ des Zwischenprodukts $Z_1,$ $7,5\,€$ pro $\text{ME}$ des Zwischenprodukts $Z_2$ und $3,75\,€$ pro $\text{ME}$ des Zwischenprodukts $Z_3.$

2.2

Für den Produktionsvektor der Endprodukte gilt jetzt $\overrightarrow{p} = \pmatrix{950 \\ e_2 \\ e_3}.$
Für den Verbrauchsvektor der Zwischenprodukte gilt $\overrightarrow{z} = \pmatrix{4.600 \\ 3.800 \\ 6.250}.$
Es gilt $B\cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{z},$ also:

$\pmatrix{2&1&2 \\ 3&0&1 \\ 1&4&2} \cdot \pmatrix{950 \\ e_2 \\ e_3} = \pmatrix{4.600 \\ 3.800 \\ 6.250}$

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

Gleichungssystem anzeigen

$e_3 = 950$ kann in $text{I}$ eingesetzt werden:

$\begin{array}[t]{rll} e_2 +2e_3 &=& 2.700 \\[5pt] e_2 + 2\cdot 950 &=& 2.700 \\[5pt] e_2 + 1.900 &=& 2.700 &\quad \scriptsize \mid\; -1.900 \\[5pt] e_2 &=& 800 \end{array}$

$e_3 = 950$ kann in $\text{III}$ eingesetzt werden:

$\begin{array}[t]{rll} 3e_2 +2e_3 &=& 5.300 \\[5pt] 3e_2 + 2\cdot 950 &=& 5.300 \\[5pt] 3e_2 + 1.900 &=& 5.300 &\quad \scriptsize \mid\; -1.900 \\[5pt] 3e_2 &=& 3.400 &\quad \scriptsize \mid\; : 3 \\[5pt] e_2 &\approx& 1.133,33 \end{array}$

Die Ergebnisse für $e_2$ widersprechen sich.
Das Gleichungssystem ist also nicht lösbar und der Auftrag damit nicht ausführbar.

2.3

Da $E_3$ nicht mehr produziert wird, wird jetzt die Rohstoff-Endprodukt-Matrix $\(C$ betrachtet:

$\(C$

$r_1,$ $r_2 = 30.000$ und $r_3$ sind die benötigten Mengeneinheiten der drei Rohstoffe.
$e_1$ und $e_2$ sind die herzustellenden Mengeneinheiten der Endprodukte.

$\pmatrix{43 & 36 \\ 30 & 15 \\ 37 & 14} \cdot \pmatrix{e_1 \\ e_2 } = \pmatrix{r_1 \\ 30.000 \\ r_3}$

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 43e_1 +36e_2 &=& r_1 \\ \text{II}\quad& 30e_1 +15e_2 &=& 30.000 \\ \text{III}\quad& 37e_1 +14e_2 &=& r_3\\ \end{array}$

Aus $\text{II}$ folgt:

Rechenweg anzeigen

$e_2 = 2.000 -2e_1$

Da höchstens $1.000\,\text{ME}$ von $E_1$ hergestellt werden sollen, gilt $e_1 \leq 1.000.$
Für $e_1 = 1.000$ gilt:

$e_2 = 2.000 -2 \cdot 1.000 = 0$

Für $e_1 = 0$ gilt:

$e_2 = 2.000 -2\cdot 0 =2.000$

Die beiden Extremfälle sind also:

(A)

$1.000\,\text{ME}$ von $E_1$ und keine von $E_2:$

$r_1 = 43\cdot 1.000 \,\text{ME} + 36\cdot 0 \,\text{ME}$ $= 43.000 \,\text{ME}$

$r_3 =37\cdot 1.000\,\text{ME} + 14\cdot 0\,\text{ME}$ $=37.000 \,\text{ME}$

(B)

Keine von $E_1$ und $2.000\,\text{ME}$ von $E_2:$

$r_1 = 43\cdot 0 \,\text{ME} + 36\cdot 2.000 \,\text{ME}$ $= 72.000 \,\text{ME}$

$r_3 =37\cdot 0\,\text{ME} + 14\cdot 2.000\,\text{ME}$ $=28.000 \,\text{ME}$

Von $r_1$ müssen also mindestens $43.000\,\text{ME}$ und höchstens $72.000\,\text{ME}$ zur Verfügung stehen.
Von $r_3$ müssen mindestens $28.000\,\text{ME}$ und höchstens $37.000\,\text{ME}$ zur Verfügung stehen.

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