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Matrizen

Aufgaben
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1.1
Ein Unternehmen stellt aus den beiden Rohstoffen $R1$ und $R2$ die drei Zwischenprodukte $Z1$, $Z2$ und $Z3$ her. Aus den drei Zwischenprodukten entstehen die beiden Endprodukte $E1$ und $E2$.
Die benötigten Rohstoffe je Mengeneinheit (ME) der einzelnen Zwischenprodukte sowie die erforderlichen Zwischenprodukte zur Produktion je einer ME der Endprodukte sind in den nachfolgenden Tabellen angegeben.
Zwischen-Endprodukt
$E1$$E2$
$Z1$$1$$0$
$Z2$$0$$2$
$Z3$$2$$1$
Rohstoff-Endprodukt
$E1$$E2$
$R1$$5$$4$
$R2$$4$$3$
1.1.1
Zeige, dass $a$ in der Rohstoff-Zwischenprodukt-Tabelle den Wert $2$ hat.
(2 P)
1.1.2
Täglich werden $5$ ME von $E1$ und $10$ ME von $E2$ hergestellt.
1.1.2.1
Ein Mitarbeiter des Unternehmens behauptet, dass hierfür $65$ ME von $R1$ und $50$ ME von $R2$ benötigt werden. Überprüfe die Behauptung.
(2 P)
1.1.2.2
Betrachte die Matrizen $D_1=\pmatrix{-3&2\\2&-6}$, $D_2=\pmatrix{-3&5\\5&-4}$, $D_3=\pmatrix{-3&4\\4&-5}$. Welche dieser drei Matrizen ist die Inverse der Rohstoff-Endproduktmatrix?
Begründe.
Aufgrund von Problemen in der Produktion wurden an einem Tag nur $43$ ME von $R1$ und $33$ ME von $R2$ verarbeitet.
Bestimme, wie viele ME von $E1$ und $E2$ an diesem Tag produziert wurden.
(5 P)
#matrix
1.2
Ein Institut prüft jährlich die Wasserqualität von Stränden in einer Urlaubsregion und vergibt hierfür ein bis drei Sterne. Ein Stern wird vergeben, wenn die Wasserqualität des Gewässers zum Baden ungeeignet ist. Bei zwei Sternen ist die Wasserqualität noch ausreichend, sodass Baden unbedenklich ist, und drei Sterne verweisen auf eine gute bis hervorragende Wasserqualität.
Das nachfolgende Diagramm beschreibt die Übergangswahrscheinlichkeiten für eine Zeiteinheit von einem Jahr.
Matrizen
Abb. 1: Übergangsgraph
Matrizen
Abb. 1: Übergangsgraph
Gib die Übergangsmatrix an.
Berechne den prozentualen Anteil der zum Baden ungeeigneten Strände, der sich langfristig einstellt.
(6 P)
#übergangsgraph#übergangsmatrix
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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1.1.1
$\blacktriangleright$  Wert zeigen
Aus der Tabelle folgt für die Rohstoff-Zwischenprodukt Matrix $P_1$:
$P_1=\pmatrix{1&1&a\\2&1&1}$
Entsprechend folgt für die Zwischen-Endprodukt Matrix $P_2$:
$P_2=\pmatrix{1&0\\0&2\\2&1}$
Für die Rohstoff-Endprodukt Matrix gilt die Gleichung $P=P_1 \cdot P_2.$ Wobei die Rohstoff-Endprodukt Matrix $P$ durch die Tabelle folgendermaßen gegeben ist:
$P=\pmatrix{5&4\\4&3}$
Durch Lösen der Gleichung für die Rohstoff-Endprodukt Matrix folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P&=& P_1 \cdot P_2\\[5pt] \pmatrix{5&4\\4&3}&=& \pmatrix{1&1&a\\2&1&1} \cdot \pmatrix{1&0\\0&2\\2&1} \\[5pt] \pmatrix{5&4\\4&3}&=& \pmatrix{1+2 \cdot a&2+a\\2+2&2+1} \\[5pt] \pmatrix{5&4\\4&3}&=& \pmatrix{1+2 \cdot a&2+a\\4&3} \\[5pt] \end{array}$
$ \pmatrix{5&4\\4&3}= \pmatrix{1+2 \cdot a&2+a\\4&3} $
Somit folgt für $a$:
$\begin{array}[t]{rll} 5&=&1+2\cdot a &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] 4&=&2\cdot a &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] 2&=& a \end{array}$
Damit besitzt $a$ den Wert $2.$
#matrizenmultiplikation
1.1.2.1
$\blacktriangleright$  Behauptung überprüfen
Es soll die Gleichung $\overrightarrow{v}=P \cdot \pmatrix{5\\10}$ gelten. Hierbei ist $\overrightarrow{v}=\pmatrix{v_1\\v_2}$ und $v_1$ gibt die Menge des Rohstoffes $R1$ an, die benötigt wird und $v_2$ die Menge des Rohstoffes $R2$, die benötigt wird. Somit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}&=&P \cdot \pmatrix{5\\10} \\[5pt] &=&\pmatrix{5&4\\4&3} \cdot \pmatrix{5\\10} \\[5pt] &=& \pmatrix{5\cdot 5 + 4 \cdot 10\\4 \cdot 5 + 3 \cdot 10} \\[5pt] &=& \pmatrix{25 + 40\\20 + 30} \\[5pt] &=& \pmatrix{65\\50} \\[5pt] \end{array}$
Daraus folgt, dass für $5$ ME des Endproduktes $E1$ und $10$ ME des Endproduktes $E2$ insgesamt $65$ ME des Rohstoffes $R1$ und $50$ ME des Rohstoffs $R2$ benötigt werden.
#matrizenmultiplikation
1.1.2.2
$\blacktriangleright$  Inverse begründen
Die Rohstoff-Endprodukt Matrix lautet nach der gegebenen Tabelle $P=\pmatrix{5&4\\4&3}$. Für die Inverse muss nun $D \cdot P = \pmatrix{1&0\\0&1}$ gelten.
Mit $D_1$ folgt für die Matrizenmultiplikation:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{-3&2\\2&-6} \cdot \pmatrix{5&4\\4&3}&=& \pmatrix{-15+8 & -12+6\\10-24& 8-18} \\[5pt] &=& \pmatrix{-7 & -6\\-14& -10} \quad\neq \pmatrix{1&0\\0&1} \end{array}$
$\pmatrix{-7 & -6\\-14& -10} \quad\neq \pmatrix{1&0\\0&1}$
Mit $D_2$ folgt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{-3&5\\5&-4} \cdot \pmatrix{5&4\\4&3}&=& \pmatrix{-15+20 & -12+15\\25-16& 20-12} \\[5pt] &=& \pmatrix{-5 & 3\\9& 8} \quad\neq \pmatrix{1&0\\0&1} \end{array}$
$\pmatrix{-5 & 3\\9& 8} \quad\neq \pmatrix{1&0\\0&1}$
Mit $D_3$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{-3&4\\4&-5} \cdot \pmatrix{5&4\\4&3}&=& \pmatrix{-15+16 & -12+12\\20-20& 16-15} \\[5pt] &=& \pmatrix{1 & 0\\0& 1} \end{array}$
$\pmatrix{1 & 0\\0& 1}=\pmatrix{1 & 0\\0& 1}$
Somit ist $D_3$ die Inverse der Rohstoff-Endproduktmatrix.
$\blacktriangleright$  Menge der Endprodukte bestimmen
Die Anzahl der hergestellten Endprodukte $E_1$ kann durch $n_1$ und die Anzahl der hergestellten Endprodukte $E_2$ kann durch $n_2$ bezeichnet werden. Somit ist die Lösung der Gleichung $P \cdot \overrightarrow{n}=\pmatrix{43\\33}$ mit $\overrightarrow{n}=\pmatrix{n_1\\n_2}$ gesucht. Es folgt mit der Inversen $D_3$:
$\begin{array}[t]{rll} P \cdot \overrightarrow{n}&=& \pmatrix{43\\33} & \quad \scriptsize \mid \, D_3 \cdot \\[5pt] D_3 \cdot P \cdot \overrightarrow{n}&=& D_3 \cdot \pmatrix{43\\33}\\[5pt] \overrightarrow{n}&=& \pmatrix{-3&4\\4&-5} \cdot \pmatrix{43\\33}\\[5pt] &=& \pmatrix{-129 +132\\172-165} \\[5pt] &=& \pmatrix{3\\7} \\[5pt] \end{array}$
$\overrightarrow{n}=\pmatrix{3\\7} $
Somit werden $3$ ME des Endproduktes $E_1$ und $7$ ME des Endproduktes $E_2$ an diesem Tag produziert.
#einheitsmatrix#inversematrix#matrizenmultiplikation
1.1.2.2
$\blacktriangleright$  Übergangsmatrix angeben
Die Bewertung der Wasserqualität mit einem Stern lässt sich durch $A$ bezeichnen. Die Bewertung mit zwei Sternen mit $B$ und die drei Sterne Bewertung mit $C$. Es folgt mit den angegebenen Wahrscheinlichkeiten die folgende Übergangsmatrix $M$:
von:$A$$B$$C$
$A$$\begin{pmatrix}0,8&0,05&0\\[2pt]0,2&0,7&0,2\\[2pt]0&0,25&0,8\end{pmatrix}$
nach:$B$$M=$
$C$
Tabelle
$\blacktriangleright$  Langfristigen Anteil bestimmen
Die Verteilung, welche sich langfristig einstellt, nennt sich stationäre Verteilung $\pi=\pmatrix{\pi_1\\\pi_2\\\pi_3}$ und wird durch die folgenden Gleichungen bestimmt:
$ M \cdot \pi= \pi$ und $\pi_1+\pi_2+\pi_3=1$
Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{0,8&0,05&0\\0,2&0,7 &0,2\\0 & 0,25 & 0,8}\cdot \pmatrix{\pi_1\\\pi_2\\\pi_3} &=& \pmatrix{\pi_1\\\pi_2\\\pi_3} \\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{0,8&0,05&0\\0,2&0,7 &0,2\\0 & 0,25 & 0,8}\cdot \dotsc $
Somit folgen die Gleichungen:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 0,8 \cdot \pi_1 +0,05 \cdot \pi_2&=& \pi_1 &\quad \scriptsize\mid\;-0,8\cdot \pi_1\\ \text{II}\quad& 0,2 \cdot \pi_1 +0,7 \cdot \pi_2+ 0,2 \cdot \pi_3&=& \pi_2 &\quad \\ \text{III}\quad& 0,25 \cdot \pi_2 +0,8 \cdot \pi_3&=& \pi_3 &\quad \scriptsize\mid\;-0,8\cdot \pi_3 \\ \hline \text{I}\quad& 0,05 \cdot \pi_2&=& 0,2 \cdot \pi_1 &\quad \scriptsize\mid\; \cdot 5\\ \text{II}\quad& 0,2 \cdot \pi_1 +0,7 \cdot \pi_2+ 0,2 \cdot \pi_3&=& \pi_2 &\quad \\ \text{III}\quad& 0,25 \cdot \pi_2 &=& 0,2 \cdot \pi_3 &\quad \scriptsize\mid\; \cdot 5 \\ \hline \text{I}\quad& 0,25 \cdot \pi_2&=& \pi_1 \\ \text{II}\quad& 0,2 \cdot \pi_1 +0,7 \cdot \pi_2+ 0,2 \cdot \pi_3&=& \pi_2 \\ \text{III}\quad& 1,25 \cdot \pi_2 &=& \pi_3 \\ \end{array}$
$\text{I}: \dotsc$
Durch Einsetzen der Gleichungen $\text{I}$ und $\text{III}$ in die Gleichung $\text{II}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 0,2 \cdot 0,25 \cdot \pi_2 +0,7 \cdot \pi_2+ 0,2 \cdot 1,25 \cdot \pi_2&=& \pi_2 \\[5pt] 0,05 \cdot \pi_2 +0,7 \cdot \pi_2+ 0,25 \cdot \pi_2&=& \pi_2 \\[5pt] \pi_2&=& \pi_2 \\[5pt] \end{array}$
$\pi_2= \pi_2$
Dies ist eine wahre Aussage und somit folgt mit der Bedingung für eine stationäre Verteilung und den Gleichungen $\text{I}$ und $\text{III}$:
$\begin{array}[t]{rll} \pi_1+\pi_2+\pi_3&=&1\\[5pt] 0,25 \cdot \pi_2 +\pi_2+1,25 \cdot \pi_2&=& 1\\[5pt] 2,5 \cdot \pi_2&=& 1 & \quad \scriptsize \mid \, :2,5\\[5pt] \pi_2&=& 0,4 \\[5pt] \end{array}$
$\pi_2=0,4 $
Somit folgt für $\pi_1$ mit der Gleichung $\text{I}$:
$\begin{array}[t]{rll} \pi_1&=& 0,25 \cdot \pi_2\\[5pt] &=& 0,25 \cdot 0,4\\[5pt] &=& 0,1 \\[5pt] \end{array}$
Entsprechend folgt für $\pi_3$ mit der Gleichung $\text{III}$:
$\begin{array}[t]{rll} \pi_3&=& 1,25 \cdot \pi_2 \\[5pt] &=& 1,25 \cdot 0,4\\[5pt] &=& 0,5 \\[5pt] \end{array}$
Somit lautet die stationäre Verteilung $\pi=\pmatrix{0,1\\ 0,4\\ 0,5}$
Somit folgt, dass der Anteil der zum Baden ungeeigneten Strände langfristig $\pi_1=0,1=10\,\%$ beträgt.
#stationäreverteilung
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