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Anwendungsorientierte Analysis 3

Aufgaben
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In Schulversuchen wird die Lösung eines chemischen Stoffes mit Salzsäure versetzt. Dadurch zerfällt der Stoff und dessen Konzentration $c$ sinkt im Laufe der Zeit $t$.
$v$ ist die momentane Änderungsrate der Konzentration $c$.
Im Folgenden sind $c$ in Mol pro Liter $\left(\dfrac{\text{mol}}{l}\right)$ und die Zeit $t$ in Sekunden $(s)$ angegeben.
4.1
In einem ersten Versuch wird die Konzentration $c$ in Abhängigkeit von $t$ modelliert durch:
$c(t)=0,05 \cdot \mathrm{e}^{-0,017 \cdot t}$; $t\geq 0.$
4.1.1
Ermittle den Zeitpunkt, zu dem nur noch $10\,\%$ der Anfangskonzentration vorhanden sind.
Gib den Wert von $v$ drei Minuten nach Versuchsbeginn an.
In welcher Einheit wird $v$ gemessen?
(4 P)
4.1.2
Eine der unten stehenden drei Abbildungen zeigt das Schaubild der Funktion $c$. Entscheide welche. Erläutere, warum die beiden anderen Schaubilder nicht in Frage kommen.
Abb. 1: Schaubilder
Abb. 1: Schaubilder
(2 P)
#schaubild
4.2
Unter anderen Bedingungen berechnet sich die momentane Änderungsrate $v$ zum Zeitpunkt $t$ durch $v(t)=-0,007 \cdot \mathrm{e}^{-0,07 \cdot t}$; $t\geq 0$.
Die Anfangskonzentration des Stoffes ist dann $0,125 \, \frac{\text{mol}}{\text{l}}$.
Bestimme, wie viel Prozent der Anfangskonzentration langfristig übrig bleibt.
(4 P)
#änderungsrate
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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4.1.1
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt ermitteln
Die Anfangskonzentration zur Zeit $t=0$ wird durch $c(0)$ beschrieben. Der Zeitpunkt $t_1$ zu dem nur noch $10\,\%$ der Anfangskonzentration vorhanden sind kann durch die Gleichung $c(t_1)=0,1 \cdot c(0)$ bestimmt werden. Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} c(t)&=& 0,1 \cdot c(0) \\[5pt] 0,05 \cdot \mathrm{e}^{-0,017 \cdot t}&=& 0,1 \cdot 0,05 \cdot \mathrm{e}^{-0,017 \cdot 0} \\[5pt] 0,05 \cdot \mathrm{e}^{-0,017 \cdot t}&=& 0,1 \cdot 0,05 \\[5pt] 0,05 \cdot \mathrm{e}^{-0,017 \cdot t}&=& 0,005 & \quad \scriptsize \mid \, :0,05 \\[5pt] \mathrm{e}^{-0,017 \cdot t}&=& 0,1 & \quad \scriptsize \mid \, \ln(\,) \\[5pt] -0,017 \cdot t&=& \ln(0,1) & \quad \scriptsize \mid \, :(-0,017) \\[5pt] t&=& -\dfrac{\ln(0,1)}{0,017} \\[5pt] &\approx& 135,45 \\[5pt] \end{array}$
$t \approx 135,45$
Somit ist nach ungefähr $135,45$ Sekunden nur noch $10\,\%$ der Anfangskonzentration vorhanden.
$\blacktriangleright$  Wert bestimmen und Einheit angeben
Die momentane Änderungsrate der Konzentration $c$ wird durch die Ableitungsfunktion von $c$ beschrieben. Für die momentane Änderungsrate folgt somit die folgende Funktionsgleichung mit der Kettenregel:
$\begin{array}[t]{rll} c(t)&=& 0,05 \cdot \mathrm{e}^{-0,017 \cdot t} \\[5pt] v(t)&=& c'(t) \\[5pt] &=& 0,05 \cdot (-0,017) \cdot \mathrm{e}^{-0,017 \cdot t}\\[5pt] &=& -0,00085 \cdot \mathrm{e}^{-0,017 \cdot t}\\[5pt] \end{array}$
$v(t)= \dotsc$
Somit folgt für drei Minuten also entsprechend $180$ Sekunden nach Versuchsbeginn:
$\begin{array}[t]{rll} v(180)&=& -0,00085 \cdot \mathrm{e}^{-0,017 \cdot 180} \\[5pt] &\approx& -0,0000399 \end{array}$
$v(180)\approx -0,0000399$
Somit beträgt die momentane Änderungsrate nach drei Minuten etwa $-0,0000399 \, \dfrac{\text{mol}}{\text{l} \cdot \text{s}}$. Die Einheit lautet hierbei $\dfrac{\text{mol}}{\text{l} \cdot \text{s}}$.
#funktionswert#ableitung
4.1.2
$\blacktriangleright$  Schaubilder beschreiben
Die Abbildung $B$ zeigt das Schaubild der Funktion $c$.
Die Abbildung $C$ kommt hierbei nicht in Frage, da die Funktionswerte in der Abbildung negativ sind für Werte von $t\geq 0$ und die Konzentration $c$ durch die Funktion $c(t)=0,05 \cdot \mathrm{e}^{-0,017 \cdot t}$ beschrieben wird, wobei die Funktion $\mathrm{e}^x$ für alle $x \in \mathbb{R}$ größer Null ist.
Die Abbildung $A$ zeigt ein Schaubild, welches zuerst rechtsgekrümmt und für größere Werte von $t$ linksgekrümmt ist. Somit besitzt das dargestellte Schaubild einen Wendepunkt. Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt an der Stelle $t_1$ lautet $c''(t_1)=0$. Für die zweite Ableitung der Funktion $c(t)$ folgt mit der Kettenregel:
$\begin{array}[t]{rll} c'(t)&=&−0,00085\cdot \mathrm{e}^{-0,017 \cdot t} \\[5pt] c''(t)&=& −0,00085\cdot (-0,017) \cdot \mathrm{e}^{-0,017 \cdot t} \\[5pt] &=& +0,00085\cdot 0,017 \cdot \mathrm{e}^{-0,017 \cdot t} \\[5pt] \end{array}$
$c''(t)=\dotsc$
Da die Funktion $\mathrm{e}^x$ für alle $x \in \mathbb{R}$ größer Null ist, kann die notwendige Bedingung für eine Wendestelle nicht erfüllt sein und damit kann die Abbildung $A$ nicht das Schaubild der Funktion $c$ darstellen.
#funktionswert#wendepunkt
4.2
$\blacktriangleright$  Prozentanteil bestimmen
Die Konzentration zur Zeit $t$ kann mit der Stammfunktion $c_c(t)$ der Funktion $v(t)$ beschrieben werden. Für die Stammfunktion $c_c(t)$ der Funktion $v(t)$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} v(t)&=& -0,007 \cdot \mathrm{e}^{-0,07 \cdot t} \\[5pt] c_c(t)&=& \dfrac{-0,007 }{-0,07} \cdot \mathrm{e}^{-0,07 \cdot t} +C \\[5pt] &=& 0,1 \cdot \mathrm{e}^{-0,07 \cdot t} +C \\[5pt] \end{array}$
$c_c(t)=\dotsc $
Für die Integrationskonstante $C$ folgt mit der Bedingung $c(0)=0,125$:
$\begin{array}[t]{rll} c_c(0) &=& 0,125 \\[5pt] 0,1 \cdot \mathrm{e}^{-0,07 \cdot 0} +C &=& 0,125 \\[5pt] 0,1 +C &=& 0,125 & \quad \scriptsize \mid \, -0,1\\[5pt] C &=& 0,025 \end{array}$
$C=0,025$
Somit gilt für die Konzentration zur Zeit $t$ die Funktion $c_c(t)=0,1 \cdot \mathrm{e}^{-0,07 \cdot t} +0,025$. Da die Konzentration langfristig betrachtet wird, muss der Grenzwert für $t\rightarrow \infty$ betrachtet werden.
Für den Anteil $p$ der Anfangskonzentration folgt somit:
$\begin{array}[t]{rll} p&=& \dfrac{\lim\limits_{t\to\infty} \left( 0,1 \cdot \mathrm{e}^{-0,07 \cdot t} +0,025 \right) }{0,125}\\[5pt] &=& \dfrac{ \left( 0 +0,025 \right) }{0,125}\\[5pt] &=& \dfrac{ 0,025}{0,125}\\[5pt] &=& 0,2 \\[5pt] \end{array}$
$p=0,2$
Somit bleibt langfristig $20\,\%$ der Anfangskonzentration übrig.
#grenzwert#stammfunktion
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