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Anwendungsorientierte Analysis 3

Aufgaben
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4.
Ein Wetterballon startet auf Meereshöhe und sendet mit ansteigender Höhe Daten des entsprechenden Luftdrucks. Bei seinem Flug wird der vom Ballon gemessene Luftdruck $p$ in $\text{hPa}$ (Hektopascal) in Abhängigkeit von der Höhe $h$ (in $\text{km}$) näherungsweise durch die Funktion $p$ mit $p(h)= 1.013\cdot \mathrm e^{-0,126\cdot h};$ $0\leq h\leq 11,$ modelliert.
4.1
Bestimme den Luftdruck auf Meereshöhe.
Ermittle die Höhe, bei der ein Luftdruck von $787\,\text{hPa}$ gemessen wird.
(3 BE)
4.2
Bestimme die prozentuale Abnahme des Luftdrucks, wenn die Höhe um einen Kilometer zunimmt.
(2 BE)
#prozent
4.3
Berechne den mittleren Wert des Luftdrucks, dem der Ballon bei seinem Aufstieg von Meereshöhe bis auf $11\,\text{km}$ Höhe ausgesetzt ist.
(3 BE)
4.4
Interpretiere die folgende Näherungsformel im Sachzusammenhang:
$p(h+5,5)\approx \frac{p(h)}{2};$ $0\leq h\leq 5,5$
(2 BE)

(10 BE)
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Lösungen
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4.1
$\blacktriangleright$  Luftdruck auf Meereshöhe bestimmenAnwendungsorientierte Analysis 3
Die Meereshöhe entspricht der Höhe $0\,\text{km}:$
$\begin{array}[t]{rll} p(0)&=& 1.013\cdot \mathrm e^{-0,126\cdot 0} \\[5pt] &=& 1.013 \end{array}$
Auf Meereshöhe beträgt der Luftdruck $1.013$ Hektopascal.
$\blacktriangleright$  Höhe ermitteln
$\begin{array}[t]{rll} p(h) &=& 787 \\[5pt] 1.013\cdot \mathrm e^{-0,126\cdot h} &=& 787 &\quad \scriptsize \mid\; :1.013\\[5pt] \mathrm e^{-0,126\cdot h}&=& \frac{787}{1.013}&\quad \scriptsize \mid\; \ln\\[5pt] -0,126\cdot h &=& \ln \frac{787}{1.013} &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,126) \\[5pt] h &\approx& 2,00 \end{array}$
$ h \approx 2,00 $
In einer Höhe von ca. $2\,\text{km}$ wird ein Luftdruck von ca. $787\,\text{hPa}$ gemessen.
4.2
$\blacktriangleright$  Prozentuale Abnahme bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} p(h)&=& 1.013\cdot \mathrm e^{-0,126\cdot h} \\[10pt] p(h+1)&=& 1.013\cdot \mathrm e^{-0,126\cdot (h+1)} \\[5pt] &=& 1.013\cdot \mathrm e^{-0,126\cdot h - 0,126} \\[5pt] &=& 1.013\cdot \mathrm e^{-0,126\cdot h}\cdot \mathrm e^{- 0,126} \\[5pt] &=& \mathrm e^{- 0,126} \cdot p(h) \end{array}$
$ p(h+1)=\mathrm e^{- 0,126} \cdot p(h) $
Wenn die Höhe um einen Kilometer zunimmt, verändert sich also der Luftdruck um den Faktor
$\mathrm e^{- 0,126} \approx 0,8816 = 88,16\,\%$
Der Luftdruck einen Kilometer höher beträgt also noch $88,16\,\%.$ Er fällt also um $11,84\,\%.$
Wenn die Höhe um einen Kilometer zunimmt, nimmt der Luftdruck um ca. $11,84\,\%$ ab.
4.3
$\blacktriangleright$  Mittleren Luftdruck berechnen
Gesucht ist der mittlere Funktionswert von $p$ im Intervall $[0;11].$ Mit der entsprechenden Formel erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{m} &=& \frac{1}{11-0} \cdot \displaystyle\int_{0}^{11}p(h)\;\mathrm dh \\[5pt] &=& \frac{1}{11} \cdot \displaystyle\int_{0}^{11} 1.013\cdot \mathrm e^{-0,126\cdot h}\;\mathrm dh \\[5pt] &=& \frac{1}{11} \cdot \left[-\frac{1.013}{0,126}\cdot \mathrm e^{-0,126\cdot h}\right]_0^{11} \\[5pt] &=& \frac{1}{11} \cdot \left(-\frac{1.013}{0,126}\cdot \mathrm e^{-0,126\cdot 11}- \left(-\frac{1.013}{0,126}\cdot \mathrm e^{-0,126\cdot 0} \right)\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{11} \cdot \left(-\frac{1.013}{0,126}\cdot \mathrm e^{-0,126\cdot 11}+ \frac{1.013}{0,126} \right) \\[5pt] &\approx& 548,11 \end{array}$
$ \overline{m} \approx 548,11 $
Bei seinem Aufstieg von Meereshöhe auf $11\,\text{km}$ Höhe ist der Ballon im Mittel einem Luftdruck von ca. $548,11\,\text{hPa}$ ausgesetzt.
#integral#mittelwertvonfunktionen
4.4
$\blacktriangleright$  Formel interpretieren
$p(h+5,5)$ ist der Luftdruck nach dem die Höhe $h$ um $5,5\,\text{km}$ gestiegen ist.
$\frac{p(h)}{2}$ bedeutet, dass sich der Luftdruck der Höhe $p(h)$ halbiert.
Die angegebene Näherungsformel besagt also:
Bei einem Anstieg des Ballons aus einer Höhe $h$ $(0\leq h\leq 5,5)$ um $5,5\,\text{km}$ halbiert sich der Luftdruck in etwa.
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