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Stochastik 1

Aufgaben
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1.
Bei einem $10$-$\text{km}$-Lauf werden die Läufer auf halber Strecke an einem Stand versorgt. Die Organisatoren bieten jedem Läufer jeweils genau einen Becher Wasser und ein Stück Obst als Versorgung an.
Aufgrund der Erfahrung aus früheren Wettbewerben nimmt man folgende Wahrscheinlichkeiten an:
  • $80\,\%$ der Läufer nehmen einen Becher Wasser.
  • $30\,\%$ der Läufer nehmen ein Stück Obst.
  • $5\,\%$ der Läufer nehmen nur ein Stück Obst und kein Wasser.
#wahrscheinlichkeit
1.1
Berechne die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse:
Von fünf Läufern nehmen genau vier Läufer einen Becher Wasser.
Von sechs Läufern nehmen mindestens zwei Läufer ein Stück Obst.
ein Läufer nimmt nur einen Becher Wasser und kein Obst.
(7 BE)
1.2
Beurteile folgende Aussage:
„Wenn ein Läufer einen Becher Wasser zu sich nimmt, so beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass er dann auch ein Stück Obst zu sich nimmt, mehr als $30\,\%.$“
(3 BE)
1.3
Insgesamt nehmen an dem Lauf $2.500$ Läufer teil.
1.3.1
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als $2.050$ Läufer einen Becher Wasser nehmen.
(2 BE)
1.3.2
Nach dem Lauf sollen die Wahrscheinlichkeiten überprüft werden, die aus der Erfahrung der früheren Wettbewerbe resultierten.
Tatsächlich haben genau $1.950$ Läufer einen Becher Wasser genommen. Fasse dieses Ergebnis als Stichprobe auf.
Prüfe, ob die ursprünglich angenommene Wahrscheinlichkeit von $80\,\%$ in dem zugehörigen Vertrauensintervall mit Vertrauenswahrscheinlichkeit $99\,\%$ liegt, das sich aus der Stichprobe ergibt.
(3 BE)

(15 BE)
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse berechnenStochastik 1
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Läufer einen Becher Wasser nimmt, beträgt $80\,\% =0,8.$ Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Läufer keinen Becher Wasser nimmt, beträgt also $20\,\% =0,2.$
Dafür, dass von fünf Läufern genau vier einen Becher Wasser nehmen, gibt es genau fünf Möglichkeiten: Entweder nimmt der erste Läufer keinen Becher Wasser oder der zweite Läufer nimmt keinen Becher Wasser, oder der dritte Läufer nimmt keinen Becher Wasser, usw.
Damit ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeit:
$\begin{array}[t]{rll} P(A) &=& 0,2\cdot 0,8\cdot 0,8\cdot 0,8\cdot 0,8 + 0,8\cdot 0,2\cdot 0,8\cdot 0,8\cdot 0,8 +… + 0,8\cdot 0,8\cdot 0,8\cdot 0,8\cdot 0,2 \\[5pt] &=& 5\cdot 0,2\cdot 0,8^4 \\[5pt] &=& 0,4096 \\[5pt] &=& 40,96\,\% \end{array}$
$ P(A)=40,96\,\% $
Verwende nun das Gegenereignis von $B.$ Dies bedeutet, dass keiner oder ein Läufer ein Stück Obst nimmt.
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& 1- P(\overline{B}) \\[5pt] P(\overline{B})&=& 0,7^6 + 0,3\cdot 0,7^5 + 0,7\cdot 0,3\cdot 0,7^4 + … +0,7^5\cdot 0,3 \\[5pt] &=& 0,7^6 + 6\cdot 0,3\cdot 0,7^5 \\[5pt] &=& 0,420175 \\[5pt] \end{array}$
$ P(\overline{B})=0,420175 $
Es ist also
$P(B)= 1- 0,420175 = 0,579825 \approx 57,98\,\%$
$ P(B)\approx 57,98\,\% $
Für Ereignis $C$ kannst du eine Vierfeldertafel erstellen. Bezeichne mit $W$ das Ereignis, dass ein Läufer einen Becher Wasser nimmt, mit $O$ das Ereignis, dass ein Läufer ein Stück Obst nimmt:
$W$$\overline{W}$Gesamt
$O$$0,25$$0,05$$0,3$
$\overline{O}$$0,55$$0,15$$0,7$
Gesamt$0,8$$0,2$$1$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Läufer also einen Becher Wasser aber kein Stück Obst nimmt, beträgt $P(W\cap \overline{O}) = 0,55 = 55\,\%.$
#pfadregeln#vierfeldertafel
1.2
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit $P_W(O).$ Mit der Vierfeldertafel aus dem vorherigen Aufgabenteil folgt:
$P_W(O) = \dfrac{P(O\cap W)}{P(W)} = \dfrac{0,25}{0,8} = 0,3125 = 31,25\,\% > 30\,\%$
$ P_W(O) = 31,25\,\% > 30\,\%$
Die Aussage stimmt also.
#bedingtewahrscheinlichkeit
1.3.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Betrachte die Zufallsvariable $X,$ die unter $2.500$ Läufern die zufällige Anzahl der Läufer beschreibt, die einen Becher Wasser nehmen. Diese kann als binomialverteilt angenommen werden. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du dann mit deinem WTR bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} P(X > 2.050)&=& 1- P(X\leq 2.050) &\quad \scriptsize \mid\; WTR \\[5pt] &\approx& 1- 0,9947 \\[5pt] &=& 0,0053 \\[5pt] &=& 0,53\,\% \end{array}$
$ P(X > 2.050)\approx 0,53\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $0,53\,\%$ nehmen mehr als $2.050$ Läufer einen Becher Wasser.
#binomialverteilung
1.3.2
$\blacktriangleright$  Vertrauenintervall überprüfen
Ein Vertrauensintervall hat allgemein folgende Form:
$I = \left[h-c\cdot \sqrt{\dfrac{h\cdot (1-h)}{n}} \,;\, h+c\cdot \sqrt{\dfrac{h\cdot (1-h)}{n}} \right]$
$ I=… $
Dabei ist der Stichprobenumfang $n= 2.500.$ Aus der Tabelle deiner Merkhilfe kannst du für die geforderte Vertrauenswahrscheinlichkeit $99\,\%$ den Wert $c=2,58$ ablesen.
$h$ ist die relative Häufigkeit der Läufer, die in der Stichprobe tatsächlich einen Becher Wasser genommen haben:
$h = \dfrac{1.950}{2.500} = 0,78$
Damit erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} I &=& \left[ 0,78-2,58\cdot \sqrt{\dfrac{0,78\cdot (1-0,78)}{2.500}} \,;\, 0,78+2,58\cdot \sqrt{\dfrac{0,78\cdot (1-0,78)}{2.500}} \right] \\[5pt] &\approx& \left[ 0,758625\, ; \, 0,801375 \right] \\[5pt] \end{array}$
$ I\approx \left[ 0,758625\, ; \, 0,801375 \right] $
Es ist $80\,\% = 0,8 \in I.$ die ursprünglich angenommene Wahrscheinlichkeit von $80\,\%$ liegt also im Vertrauensintervall, das sich bei einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von $99\,\%$ durch die Stichprobe ergibt.
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