Marie und Pierre Curie entdeckten 1898 gemeinsam das radioaktive Isotop Radium 226. Für dieses ist bekannt, dass die Halbwertszeit etwa 1600 Jahre beträgt. Die Halbwertszeit gibt an, wie viel Zeit vergeht, bis von einer gegebenen Menge eines zerfallenden Stoffes nur noch die Hälfte vorhanden ist. Die Kerne von Radium zerfallen und geben dabei eine sogenannte -Strahlung ab. Der Zerfall der Radiumkerne kann mit der Funktion mit ; beschrieben werden. Dabei sind und geeignete Konstanten und ist die zum Zeitpunkt in Jahren nach Beobachtungsbeginn vorhandene Masse von Radium 226 in Gramm in

Ermittle den Wert von sowie die Masse einer Probe zu Beobachtungsbeginn, falls 20 Jahre danach noch Radium vorhanden sind.

Erläutere im Sachkontext, welcher Zeitpunkt mit dem Ansatz bestimmt werden kann.

Es wird nun eine andere Probe betrachtet. Für die Modellierung von deren Zerfall gelten:
und .

Gib den Zeitpunkt an, an dem am meisten Radium zerfällt und bestimme zu diesem Zeitpunkt die Änderungsrate von

Beweise, dass die folgende Aussage wahr ist: „Zu jedem beliebigen Zeitpunkt gilt: Der Anteil, der Jahre später von der Masse noch vorhanden ist, hängt nur von ab.“

---

Zum Zeitpunkt beträgt der Anfangsbestand Nach 1600 Jahren ist nur noch die Hälfte des Anfangbestandes vorhanden. Daraus folgt: Außerdem soll gelten: Die Masse zu Beginn entspricht ca. 100 Gramm.

ist der Wert zum Zeitpunkt t und ist der Wert des Anfangsbestandes. ist die Differenz zwischen diesen Werten und entspricht somit dem Wert, der bereits zerfallen ist. Mit dem Ansatz wird folglich der Zeitpunkt bestimmt, zu dem bereits 90 % des Anfangbestandes zerfallen ist.

Da für alle gilt, ist streng monoton steigend.
Die Änderungsrate des Bestands wird also immer größer, bleibt aber negativ. Der Zerfall wird also immer langsamer. Der Zeitpunkt mit dem schnellsten Zerfall ist also direkt zu Beginn der Beobachtung bei Änderungsrate zum Zeitpunkt

Der Bestand Jahre später wird mit beschrieben. Der Anteil hängt folglich nur von ab.