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Aufgabe II 1.1

Ein Kartenstapel besteht aus 4 Assen, 3 Königen, 2 Damen und 3 Buben.
a)
Mara zieht nacheinander 3 Karten. Gezogene Karten behält sie.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse:
\(A:\)
Sie zieht genau 2 Asse.
\(B:\)
Sie zieht mindestens eine Dame.
\(C:\)
Sie zieht ein Ass, einen König und einen Buben.
(6 BE)
b)
Mara zieht nacheinander 30 Karten. Dabei notiert sie sich jeweils das Bild der gezogenen Karte und legt sie dann zurück in den Stapel. Der Stapel wird vor jedem Zug gemischt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sie dabei genau 20 Asse zieht.
(3 BE)
c)
Mara fügt dem Stapel nun 8 Karten hinzu und zieht wieder 30-mal mit Zurücklegen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 16 Asse gezogen werden, soll mehr als \(50\,\%\) betragen.
Ermittle die Anzahl an Assen, die Mara dem Stapel mindestens hinzufügen muss.
(4 BE)

Aufgabe II 1.2

Eine Befragung der Schüler einer Schule hat ergeben:
  • \(72\,\%\) der Befragten nutzen ihr Smartphone länger als 4 Stunden pro Tag.
  • \(51\,\%\) der Befragten sind mit ihrem aktuellen Notendurchschnitt unzufrieden.
  • \(31\,\%\) der Befragten nutzen ihr Smartphone länger als 4 Stunden pro Tag und sind mit ihrem aktuellen Notendurchschnitt zufrieden.
a)
Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler sein Smartphone höchstens 4 Stunden pro Tag nutzt und mit seinem aktuellen Notendurchschnitt unzufrieden ist.
(4 BE)
b)
Die SMV der Schule behauptet, dass die beiden Ereignisse „Zufriedenheit mit dem aktuellen Notendurchschnitt“ und „Nutzung des Smartphones höchstens 4 Stunden am Tag“ stochastisch unabhängig voneinander sind.
Beurteile diese Behauptung aus mathematischer Sicht.
(3 BE)

Aufgabe II 2

Man kann annehmen, dass \(20\,\%\) aller Frauen bevorzugt die linke Hand zum Beispiel zum Schreiben und Werfen verwenden. Es werden mehrere Frauen befragt.
a)
Nenne zwei Voraussetzungen, die erfüllt sein müssen, damit eine Zufallsgröße binomialverteilt ist.
(2 BE)
b)
Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
\(A:\)
Von 3 befragten Frauen ist keine Linkshänderin.
\(B:\)
Von 5 befragten Frauen sind genau 2 Linkshänderinnen.
(4 BE)
c)
Bestimme die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses:
\(C:\)
Die Anzahl an Linkshänderinnen unter 120 befragten Frauen ist größer als 15, aber kleiner als 35.
(3 BE)
d)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(D\) lässt sich wie folgt berechnen:
\(P(D) = 10 \cdot 0,2^9 \cdot 0,8 + 0,2^{10}\)
Beschreibe ein dazu passendes Ereignis \(D\) im Sachzusammenhang.
(2 BE)
e)
Ermittle, wie viele Frauen man mindestens befragen muss, damit sich unter diesen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(99\,\%\) mindestens eine Linkshänderin befindet.
(4 BE)
f)
Es kursiert das Gerücht, dass die Linkshändigkeit unter Studentinnen der Physik deutlich weiter verbreitet ist als im Rest der weiblichen Bevölkerung. An einer Universität werden zwölf Physik-Studentinnen befragt. Vier von ihnen geben an, bevorzugt die linke Hand zu verwenden.
Lara behauptet: „Eigentlich werden statt vier Linkshänderinnen nur 2,4 erwartet, also bestätigt die Befragung das Gerücht.“
Omar widerspricht: „Dass allgemein von 12 Frauen vier oder mehr Linkshänderinnen sind, hat eine Wahrscheinlichkeit von über \(20\,\%.\) Mit dieser Befragung kann man das Gerücht also nicht bestätigen.“
Beurteile diese beiden Behauptungen.
(5 BE)