Stochastik

Aufgabe II 1.1

Ein Kartenstapel besteht aus 4 Assen, 3 Königen, 2 Damen und 3 Buben.

Mara zieht nacheinander 3 Karten. Gezogene Karten behält sie.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse:

$A:$

Sie zieht genau 2 Asse.

$B:$

Sie zieht mindestens eine Dame.

$C:$

Sie zieht ein Ass, einen König und einen Buben.

(6 BE)

Mara zieht nacheinander 30 Karten. Dabei notiert sie sich jeweils das Bild der gezogenen Karte und legt sie dann zurück in den Stapel. Der Stapel wird vor jedem Zug gemischt.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sie dabei genau 20 Asse zieht.

(3 BE)

Mara fügt dem Stapel nun 8 Karten hinzu und zieht wieder 30-mal mit Zurücklegen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 16 Asse gezogen werden, soll mehr als $50\,\%$ betragen.

Ermittle die Anzahl an Assen, die Mara dem Stapel mindestens hinzufügen muss.

(4 BE)

Aufgabe II 1.2

Eine Befragung der Schüler einer Schule hat ergeben:

$72\,\%$ der Befragten nutzen ihr Smartphone länger als 4 Stunden pro Tag.
$51\,\%$ der Befragten sind mit ihrem aktuellen Notendurchschnitt unzufrieden.
$31\,\%$ der Befragten nutzen ihr Smartphone länger als 4 Stunden pro Tag und sind mit ihrem aktuellen Notendurchschnitt zufrieden.

Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler sein Smartphone höchstens 4 Stunden pro Tag nutzt und mit seinem aktuellen Notendurchschnitt unzufrieden ist.

(4 BE)

Die SMV der Schule behauptet, dass die beiden Ereignisse „Zufriedenheit mit dem aktuellen Notendurchschnitt“ und „Nutzung des Smartphones höchstens 4 Stunden am Tag“ stochastisch unabhängig voneinander sind.

Beurteile diese Behauptung aus mathematischer Sicht.

(3 BE)

Aufgabe II 2

Man kann annehmen, dass $20\,\%$ aller Frauen bevorzugt die linke Hand zum Beispiel zum Schreiben und Werfen verwenden. Es werden mehrere Frauen befragt.

Nenne zwei Voraussetzungen, die erfüllt sein müssen, damit eine Zufallsgröße binomialverteilt ist.

(2 BE)

Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

$A:$

Von 3 befragten Frauen ist keine Linkshänderin.

$B:$

Von 5 befragten Frauen sind genau 2 Linkshänderinnen.

(4 BE)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses:

$C:$

Die Anzahl an Linkshänderinnen unter 120 befragten Frauen ist größer als 15, aber kleiner als 35.

(3 BE)

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $D$ lässt sich wie folgt berechnen:

$P(D) = 10 \cdot 0,2^9 \cdot 0,8 + 0,2^{10}$

Beschreibe ein dazu passendes Ereignis $D$ im Sachzusammenhang.

(2 BE)

Ermittle, wie viele Frauen man mindestens befragen muss, damit sich unter diesen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ mindestens eine Linkshänderin befindet.

(4 BE)

Es kursiert das Gerücht, dass die Linkshändigkeit unter Studentinnen der Physik deutlich weiter verbreitet ist als im Rest der weiblichen Bevölkerung. An einer Universität werden zwölf Physik-Studentinnen befragt. Vier von ihnen geben an, bevorzugt die linke Hand zu verwenden.

Lara behauptet: „Eigentlich werden statt vier Linkshänderinnen nur 2,4 erwartet, also bestätigt die Befragung das Gerücht.“

Omar widerspricht: „Dass allgemein von 12 Frauen vier oder mehr Linkshänderinnen sind, hat eine Wahrscheinlichkeit von über $20\,\%.$ Mit dieser Befragung kann man das Gerücht also nicht bestätigen.“

Beurteile diese beiden Behauptungen.

(5 BE)

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Aufgabe II 1.1

Im Kartenstapel befinden sich insgesamt $4+3+2+3=12$ Karten.

$P(A)=3\cdot \dfrac{4}{12}\cdot \dfrac{3}{11}\cdot \dfrac{8}{10}=\dfrac{12}{55}$

$P(B)=1-P(\overline{B})=1-\dfrac{10}{12}\cdot \dfrac{9}{11}\cdot \dfrac{8}{10}$ $=\dfrac{5}{11}$

$P(C)=6\cdot \dfrac{4}{12}\cdot \dfrac{3}{11}\cdot \dfrac{3}{10}=\dfrac{9}{55}$

Die Zufallsvariable $X$ gibt die Anzahl der gezogenen Asse an und ist binomialverteilt mit $n=30$ und $p=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}.$ Mit dem Taschenrechner folgt:

$P(X=20)\approx 0,00015=0,015\,\%$

Gesamtzahl der Karten im Stapel: $12+8=20$

Wenn $a$ die Anzahl der hinzugefügten Asse angibt, folgt für die neue Wahrscheinlichkeit, ein Ass zu ziehen:

$p=\dfrac{4+a}{20}$

Die Zufallsvariable $Y_a$ ist binomialverteilt mit $n=30$ und $p=\dfrac{4+a}{20}.$ Gesucht ist das kleinste $a,$ sodass gilt:

$\begin{array}[t]{rll} P(Y_a\geq 16)&\gt& 0,5 \\[5pt] 1-P(Y_a\leq 15)&\gt& 0,5 \end{array}$

Systematisches Testen verschiedener Werte von $a$ liefert:

$1-P(Y_6\leq 15)\approx 0,39$

$1-P(Y_7\leq 15)\approx 0,643$

Mara muss somit mindestens 7 Asse hinzufügen.

Aufgabe II 1.2

$S:$ Ein Schüler nutzt sein Smartphone länger als 4 Stunden am Tag

$Z:$ Ein Schüler ist mit seinem Notenschnitt zufrieden

	$Z$	$\overline{Z}$	$\Sigma$
$S$	$0,31$	$0,41$	$0,72$
$\overline{S}$	$0,18$	$0,10$	$0,28$
$\Sigma$	$0,49$	$0,51$	$1$

Aus der Vierfeldertafel lässt sich ablesen, dass die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P\left(\overline{S}\cap \overline{Z}\right)=0,1=10\,\%$ beträgt.

$P\left(Z\cap \overline{S}\right)=0,18$

$P(Z)\cdot P\left(\overline{S}\right)=0,49\cdot 0,28=0,1372$

Wegen $P\left(Z\cap \overline{S}\right)\neq P(Z)\cdot P\left(\overline{S}\right)$ sind die beiden Ereignisse nicht stochastisch unabhängig voneinander.

Aufgabe II 2

Die jeweiligen Versuche müssen voneinander unabhängig sein.
Die Wahrscheinlichkeit $p$ muss über das gesamte Experiment hinweg konstant bleiben.

$P(A)=0,8^3=0,512=51,2\,\%$

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& \pmatrix{5\\2}\cdot 0,2^2\cdot 0,8^3 \\[5pt] &=& 10 \cdot 0,04 \cdot 0,512 \\[5pt] &=& 0,2048 \\[5pt] &=& 20,48\,\% \end{array}$

Die Zufallsvariable $X$ gibt die Anzahl der Linkshänderinnen an und ist binomialverteilt mit $n=120$ und $p=0,2.$ Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt:

$\begin{array}[t]{rll} P(C)&=& P(15\lt X\lt 35) \\[5pt] &=& P(X\leq 34)-P(X\leq15) \\[5pt] &\approx& 0,9895-0,0218 \\[5pt] &=& 0,9677 \\[5pt] &=& 96,77\,\% \end{array}$

$D:$

Von 10 befragten Frauen sind mindestens 9 Linkshänderinnen.

Die Zufallsvariable $Y$ gibt die Anzahl der Linkshänderinnen an und ist binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p=0,2.$ Es soll gelten:

$\begin{array}[t]{rll} P(Y\geq 1)&\geq& 0,99 \\[5pt] 1-P(Y= 0)&\geq& 0,99 \\[5pt] 1-0,8^n&\geq& 0,99 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] -0,8^n&\geq& -0,01 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1)\\[5pt] 0,8^n&\leq& 0,01 &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] n\cdot \ln(0,8)&\leq& \ln(0,01) &\quad \scriptsize \mid\; :\ln(0,8) \\[5pt] n&\geq& \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,8)} \\[5pt] n&\geq& 20,6 \end{array}$

Da $n$ nur ganzzahlige Werte annimmt, folgt für den gesuchten Wert $n=21.$

Laras Argumentation basiert darauf, dass die beobachtete Zahl $4$ deutlich über dem Durchschnitt von $2,4$ liegt, was sie als Bestätigung dafür nimmt, dass das Gerücht wahr wäre. Gerade bei einer, wie hier, sehr kleinen Stichprobe sind größere Abweichungen von dem Mittelwert allerdings schnell möglich. Somit kann die Abweichung in diesem Fall nicht als Bestätigung der Behauptung verwendet werden.

Omar argumentiert richtigerweise, dass Schwankungen in kleinen Gruppen wie hier naturgemäß auftreten können. Er weist darauf hin, dass, selbst bei einer unveränderten Wahrscheinlichkeit für die Linkshändigkeit, die Möglichkeit einer solchen Abweichung bei einer Befragung von nur $12$ Personen mit $20\,\%$ ziemlich hoch ist. Seine Aussage macht somit, ohne, dass sie alleine in der Lage wäre die Behauptung zu widerlegen, deutlich mehr Sinn.

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