Anwendungsorientierte Analysis 2
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Ein Marktforschungsinstitut ermittelt zu Beginn des Jahres 2021 einen Marktanteil von 
der rein elektrisch angetriebenen Autos (E-Autos) unter allen neu zugelassenen Autos.
Die zukünftige Entwicklung dieses Marktanteils zum Zeitpunkt 
wird im Folgenden durch die Funktion 
mit 
modelliert, wobei in Monaten ab Beginn des Jahres 2021 gemessen wird.
Beispielsweise ist 
der Marktanteil, den man zu Beginn des Monats Februar im Jahr 2021 für die E-Auto Neuzulassungen erwartet.
3.1
Beurteile, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
(1)
Zu Beginn des Monats Februar 2023 wird etwa jedes sechste neu zugelassene Auto ein E-Auto sein.
(2)
Der Marktanteil der E-Autos wird im Jahr 2025 erstmalig 
übersteigen.
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3.2
Begründe, dass der Marktanteil der neu zugelassenen E-Autos um mehr als 
pro Jahr zunimmt.
2
3.3
Ermittle den durchschnittlichen Marktanteil der E-Autos unter allen neu zugelassenen Autos von Beginn des Jahres 2021 bis einschließlich 2025.
3
3.4
Im Folgenden wird mit der Funktion 
mit die gesamte Anzahl der monatlich neu zugelassenen Autos zum Zeitpunkt modelliert, wobei die vergangene Zeit in Monaten ab Beginn des Jahres 2021 ist.
Formuliere eine Frage im Sachzusammenhang, die durch die Bestimmung des Werts des Integrals
beantwortet werden kann.
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3.1
(1)
Der Beginn des Monats Februar 2023 wird durch 
beschrieben.
Die Aussage ist also wahr.
(2)
Für den Zeitpunkt, zu dem der Marktanteil genau beträgt gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(t) &=& 0,5 \\[5pt]
0,06\cdot \mathrm e^{0,04\cdot t} &=& 0,5 &\quad \scriptsize \mid\; :0,06 \\[5pt]
\mathrm e^{0,04\cdot t} &=& \frac{25}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \ln\\[5pt]
0,04\cdot t &=& \ln\left(\frac{25}{3}\right) &\quad \scriptsize \mid\;: 0,04 \\[5pt]
t &\approx& 53,01
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/7ca4bf7230aafa68b5d50c0a1a30d68c98f8397f44c147600c069593e0114c95?color=5a5a5a)
Für 
beträgt der Marktanteil der neu zugelassenen E-Autos ca. 
Dies entspricht dem Beginn des Monats Juni 2025.
Die Aussage ist also wahr, da der Marktanteil im Juni bzw. spätestens im Juli 2025 übersteigt.
Die Aussage ist also wahr, da der Marktanteil im Juni bzw. spätestens im Juli 2025
3.2
Der Wachstumsfaktor des Marktanteils pro Monat beträgt 
Für ein Jahr ergibt sich der Wachstumsfaktor:
Pro Jahr nimmt der Marktanteil der neu zugelassenen E-Autos also um ca. 
zu.
3.3
Gesucht ist der durschnittliche Funktionswert von im Bereich von 
(Anfang des Jahres 2021) bis 
(Anfang des Jahres 2026 bzw. Ende des Jahres 2025).
![\(\begin{array}[t]{rll}
& & \dfrac{1}{60-0}\cdot \displaystyle\int_{0}^{60}f(t)\;\mathrm dt \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{60}\cdot \displaystyle\int_{0}^{60}0,06\cdot \mathrm e^{0,04\cdot t}\;\mathrm dt \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{60}\left[\dfrac{3}{2}\cdot \mathrm e^{0,04\cdot t}\right]_0^{60} \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{60} \cdot \left( \dfrac{3}{2}\cdot \mathrm e^{0,04\cdot 60}- \dfrac{3}{2}\cdot \mathrm e^{0,04\cdot 0} \right) \\[5pt]
&\approx& 0,25\\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/2b34bb6cb715ea974438776f0a189dfbd8d5742393f5a23b88cc07ce598a2c90?color=5a5a5a)
Von Beginn des Jahres 2021 bis Ende des Jahres 2025 beträgt der durschnittliche Marktanteil der E-Autos unter allen neu zugelassenen Autos ca. 
3.4
Eine passende Frage ist also: Wie viele E-Autos wurden in Deutschland im Zeitraum von Anfang April 2021 bis Ende März 2024 insgesamt neu zugelassen?